2.1.1 椭圆的定义与标准方程(2) 教案-湘教版数学选修2-1（Word版）

《2.2.1椭圆及其标准方程》教学设计
教材：人教A版《数学》选修2—1
内容和内容解析
1.内容
本节课是《普通高中课程标准实验教科书》人教A版选修2—1第二章《圆锥曲线与方程》第二节《椭圆及其标准方程》的第一课时。
2.内容解析
在必修二中学生已经学习了直线的方程、圆的方程，在本章的第一节，学生又对一般的曲线与方程有了明确的认识，在此基础上学习椭圆这种既熟悉又陌生的曲线，是对“由已知得到曲线的方程，再由方程研究曲线的性质”这一解析几何重要思想方法的进一步深化，是本章也是整个解析几何的重要基础内容。整个2.2一节先学习椭圆的定义，利用定义推导椭圆的标准方程，然后利用椭圆的方程研究椭圆的性质。之后，继续以类似的模式研究双曲线和抛物线这两种具体的曲线。所以《椭圆及其标准方程》一节起着承上启下的作用，既是对坐标法研究曲线的一实战演练，也为后面两节双曲线、抛物线的学习提供了基本模式和理论依据。
从圆的画法及定义到椭圆的画法及定义，体现了高中数学非常重要的化归思想；从椭圆的定义到方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了高中数学另一重要思想方法——数形结合思想。
基于以上分析，确定本节的教学重点是椭圆定义的形成、椭圆的标准方程、理解体会坐标法的基本思想。
目标和目标解析
1.目标
（1）通过对椭圆定义的提炼和理解，让学生学会合作，感受数学定义的严谨、充分理解椭圆的定义、掌握定义的简单应用。
（2）体会椭圆标准方程的推导，提高学生的运算能力，并且让学生充分体会建立不同的坐标系对方程的影响。
（3）初步掌握求解椭圆的标准方程的两种方法。
2.目标解析
（1）通过小组合作画椭圆的过程，让学生体验与人合作的快乐。学生在类比圆的定义提炼椭圆定义时，往往会忽略常数大于false这一重要条件，在此通过引导让学生自己发现为什么要有这个条件以及缺少这个条件动点的轨迹会怎样，通过这个过程让学生思考、体会数学定义的严谨，充分理解椭圆的定义。
（2）推导椭圆标准方程时，让学生自由思考建立坐标系的方法，通过共同的分析以及各小组亲自动手操作的演练，发现最优的建系方式，即椭圆关于坐标轴对称时椭圆方程才最美，通过让学生自主的探索最优建系方式，将课堂的自主权交给学生，培养学生的探究精神；椭圆方程的化简是一难点，在这个过程中要鼓励学生养成勇于克服困难的意志品质、提高学生的运算能力。
（3）通过对椭圆两种标准方程的学习，培养学生严谨的分类思想；通过求椭圆标准方程例题的学习，培养学生规范书写解题格式的意识。
教学问题诊断分析
1.学生在必修二已经学习了直线和圆的方程，对解析几何坐标法有了初步的认识，在本章第一节明确了曲线与方程的定义，所以学生基本具备了坐标法研究曲线的思想方法。但由于学生学习解析几何时间有限、内容较浅、计算能力一般，而且高二学生相对高一和高三较为浮躁，所以学习过程中依然困难较大。主要表现在方程推导过程害怕困难、不敢前行，所以教学时应适度引导、适当鼓励。
2.教学的另一个问题是得到焦点在y轴的椭圆的标准方程。学生即使发现坐标系是false轴与false轴交换了位置，可能也不敢非常肯定最后得到的方程就是false与false交换位置，所以教学时需要引导学生从更严谨的代数式子出发，得出焦点在false轴的椭圆的标准方程。
基于以上分析，本节的教学难点为椭圆标准方程的推导和化简，坐标法的应用。
教学策略分析
根据本节课的特点，在教法学法上，采取教师为主导，学生为主体的启发探究式教学方法。课堂在教师的引导下，让学生实验、合作、讨论、探究、思考、展示、发现、总结等，充分展示学生的思维。
教学支持条件分析
根据本节课的特点，准备画椭圆工具：纸板、细绳、图钉，让学生小组合作，共同实验探究；利用多媒体课件辅助教学，并利用几何画板展示椭圆的形成及其特殊情况，帮助学生更好的理解。
教学用具：纸板、细绳、图钉、多媒体课件、几何画板画椭圆等。
教学过程设计
1.直观感知，认识椭圆
（1）导入语
师：在必修二的课本中，我们一起研究了一种非常完美的图形，大家还记得吗？
生：圆。
师：是圆。今天，我们要研究一种和圆有点像而且也非常优美的图形——椭圆，来学习椭圆及其标准方程。
设计意图：导入语强调完美、优美词语，激发学生的研究热情。并且联系学生已经学过的圆，在一定程度上打消学生的畏难情绪。
（2）展示椭圆印象
师：提到椭圆，我想大家并不陌生。大到太阳系，德国著名天文学家开普勒告诉我们：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳。小到我们身边，椭圆形的镜子、盘子、表等等，这些都给我们以椭圆印象。
设计意图：展示太阳系、生活中熟悉的椭圆模型，让学生感受椭圆来源于生活，服务于生活。
2.动手实验，合作探究
（1）回忆圆的画法和定义
师：大家知道这些人为制造的椭圆模型是如何准确的画出来的吗？有没有一种类似于画圆的方式可以画出椭圆呢？先思考，利用一根没有弹性的细绳，如何画一个圆？
师：在一个平面内，将绳子的一端固定在一点false处，拉紧绳子，笔尖沿着绳子的另一端点移动一周，这样就能画出一个圆。所以，圆的定义是：平面内，到定点的距离等于定长的点的集合。
设计意图：从学生熟悉的圆的画法和定义入手，给学生学习新知铺垫台阶，更容易理解新知，并感受数学中的化归（类比）思想。
（2）小组合作画椭圆
师：画圆时我们固定了绳子的一个端点，那么如果固定绳子的两个端点，画出的轨迹是什么呢？请大家拿出作图工具，小组合作，共同完成实验。两边的同学将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，中间的同学套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，看看会画出什么。
师：大家都画完了，我发现各小组画出的都是这个图形（展示），是——椭圆。原来用这个方式就可以画出椭圆。
设计意图：小组合作画出椭圆，学会与人合作，充分感受椭圆的生成过程。
3.构建新知，深刻理解
（1）椭圆定义的归纳和理解
师：回顾画图过程，请大家认真观察并思考，在画的过程中，有哪些变量？哪些定量？（几何画板演示椭圆的形成）
生：线段false和false的长度是变量，而线段false与false的长度和不变，线段false的长度是不变的。
师：非常好，观察的很认真，那线段false和false的长度在变化，而线段false的长度不变是因为什么？
生：因为点false在运动，而false没有动。
设计意图：指导学生观察总结，让学生自己发现规律。因为几何画板上展示了各线段长度的值，所以学生在回答时容易只说长度的关系，而忽略长度变化或不变背后的原因，所以需提示学生说出动点和定点。
师：我们来梳理一下。因为有一个动点，两个定点，所以这个动点到这两定点的距离一直是变化的，而这两定点间的距离不变。还有，这个动点到这两定点的距离和是不变的，这个距离和就是画图过程中的绳长。根据这个关系，类比圆的定义，请大家试着归纳椭圆的定义。
生：平面内，到两个定点的距离的和是定值的点的集合。
师：嗯，基本是正确的，请坐。数学定义是非常严谨的。一起来看椭圆定义的准确表述。根据刚才我们的分析以及同学的回答，你觉得在定义中哪些地方需要注意？
学生与老师共同发现椭圆定义中的关键词语：平面内、两个定点、和、常数，常数大于false等。
师：定义中为什么要求常数大于false？
生：动点在运动过程中与两定点形成三角形，三角形两边之和大于第三边。
师：思路很好，想到了三角形边的关系。再细致一些，（教师演示）如果动点与false在一条直线上就不是三角形了，但是也能看出来常数大于false。注意一下特殊情况。那么如果常数等于false，点false的轨迹是什么呢？
学生充分发表意见，如直线、射线、线段等。
教师用几何画板展示：当常数等于false，点false的轨迹是线段false。
师：再思考，常数小于false呢？
学生容易发现此时线段false和false就无法相交形成false的轨迹了。
师：所以椭圆的定义中，我们一定要求常数大于两定点间的距离。其中两个关键定点false叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
教师引导学生共同写出椭圆定义的符号语言：
false。
教师升华总结：符号语言更清晰的揭示了椭圆定义的本质：是距离和为常数。两个距离是一种合作关系，只有这两者在一起，才能开出常数这朵美丽的花。
设计意图：通过学生对定义的归纳、对关键词的理解，让学生体会数学定义的严谨，更好的理解椭圆定义；通过教师对椭圆定义符号语言的强调，揭示椭圆定义的本质，帮助学生更深刻地理解椭圆定义。
（2）椭圆标准方程的推导
师：请大家回忆，求曲线方程的一般步骤是什么？
生：建系设点、写出点集、列出方程、化简方程、检验（无特殊情况省略）。
师：首先，建系。观察椭圆的形状，大家觉得如何建立坐标系？
学生充分发表见解。
教师总结学生提到的几种建系方式：方式一，以false所在直线为false轴，线段false中点为原点；方式二，以false所在直线为false轴，以一个焦点、比如false为原点；方式三，以false所在直线为false轴，以椭圆与false轴交点为原点；方式四，任意建立坐标系。肯定学生提到的建系方式一定都能求出方程，但引导学生思考建系的原则：充分利用已知条件中的定点、定直线，使点的坐标简单；图形关于坐标轴对称。继续引导学生发现前两种建系方式较为理想，方式一中图形关于坐标轴对称，点的坐标简单，方式二中false的坐标非常简单，对一些同学很有吸引力，方式三和方式四中点的坐标不好写，所以后两种建系方式不再考虑。
设计意图：在求曲线的方程时，如何建立坐标系是关键。先让学生充分发表意见，再引导学生反思建系的原则。经过思考后大部分同学认为第一种建系方式简单，但也有同学犹豫方式二，因为false就是原点，坐标非常有吸引力。所以此处主要比较前两种建系方式。
学生活动：分小组比较第一、二两种建系方式，第一、二、三、四小组用方式一，五、六、七、八小组用方式二，列出方程，化简方程。
教师观察学生推导的过程，适当指导、鼓励。在学生基本完成后，共同分析推导的过程。
师：先看第一种建系方式，请第二组最先做出来的这位同学展示一下。
（在化简方程时学生会有先移项再平方和方程两边直接平方两种思路，这里请先移项再平方的学生展示）
学生展示并讲解自己的推导思路。
教师给予肯定评价。
师：讲的清楚细致，非常棒，掌声鼓励一下！刚才这位同学说到这个式子两边直接平方我也看到有同学试了，大家看（投影两边直接平方的化简过程）确实很复杂，左边会出现根号下四次的形式，难以进行下去。所以一个方程中含有两个根式，应该是先将两个根式放在等式两边，再平方化简。方程中有一个根式时，需将这个根式单独放在方程一边，平方化简。所以第二种建系方式在化简方程的时候也应该先移项再平方。我们再看一下第二种建系方式，请某同学给大家展示一下。
学生展示并讲解自己的推导思路。
师：好的，最后想变形的再优美一些，对大家要求比较高，那么方式二的方程是什么呢？别着急，我们一会来揭秘。先回到位置上。通过这两种建系方式的对比，大家应该体会到哪种建系方法好？
生：第一种。
设计意图：解析几何的计算对学生来说比较困难，在课堂上给学生时间推导椭圆的方程，暴露学生的问题，及时讲评、纠正；分小组比较两种建系方式的繁简，让学生切身体会第一种建系方式更简单。
师：现在我们沿着第一种方式继续往下看。false这个方程能变得再简洁些吗？左边有false，有false，而右边是false.所以可以同除以false，等式两边同时除以一个数要考虑一下它是不是false？想一想，会是false吗？为什么？根据椭圆定义false，并且大于false，所以false和false一定都是正数。放心大胆的除！得到这样一个方程：false。为了美观的需要，false能否也写成平方形式？我们刚说过它是正数，所以可以写，令false，则得到：false这样一个简洁对称的方程。根据false与false的关系，有false。
设计意图：学生通过化简方程已经体会到第一种建系方法简单，所以自然的引导学生按照方式一继续往下化简方程，得到最终方程形式。
师：好，现在根据这个方程，大家能写出方式二的方程吗？想想两种建系方式对比，false轴是一样的，false轴的变化可以通过图形的左右平移来体现。我们知道要想利用图形平移，方式一和方式二中量的关系应该是一致的。我们不妨令方式二中false也是false，常数为false。类比函数图像的平移，此时图形向右平移了false个单位，所以最后得到的方程应该是false换成false，很好。这样我们得到方式二的方程。当然这里我们仅仅是类比，具体图形平移的理论依据会在选修4系列学到。哪个方程更简洁、对称？
生：第一种。
师：这里焦点是在false轴上的，所以这两个方程都称为焦点在false轴上的椭圆的标准方程，但在高中阶段我们只研究这种形式更优美的椭圆方程。
设计意图：第一种建系方式的方程已经得到，要得到第二种建系方式的方程继续化简对学生来说比较困难，所以考虑利用图形平移的方式得到方程，但是图形平移具体的理论依据没有学，只有利用函数图像平移类比，此处学生应该好理解。
师：还有没有其它的建系方式，能够让椭圆方程也这么简洁、对称呢？
生：焦点在false轴：以false所在直线为false轴，线段false的中垂线为false轴。
师：此时的方程需要像刚才重新推导一遍吗？有没有更简单的方法得到？
生：false轴和false轴交换了位置，所以最后的方程也是交换false的位置就行。
师：大家同意吗？有的同学有点怀疑，那我们用更严谨的代数形式看一下。焦点在false轴时，焦点坐标是false，我们刚才的方程是这样，焦点在false轴同样写出两个根式的和等于false这个形式。两式对比我们发现，false与false交换了位置，所以我们当然有理由大胆推测，最后的两方程对比也应该是交换false的位置。得到焦点在false轴上的椭圆的标准方程是false，当然也会有false这个关系。
设计意图：通过对比得到焦点在false轴的椭圆的标准方程，体会数学中的化归思想。
师：现在，观察一下这两个方程。①首先它们的名字，椭圆的标准方程，标准方程特指焦点的中点在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程，它是最简洁对称的椭圆方程。②整体来看，方程的左边是两项分式的平方和，右边是1。③具体来看，左边两个分母是不相等的，都有false，焦点在false轴时false下面对应的是false，焦点在false轴时false下面对应的是false。那么给我们一个椭圆方程，如何确定谁是false，谁是false？嗯，应该是以大小定false。如何确定焦点所在轴？false和false谁下面对应的数大，焦点就在那个轴上。我们用四句话总结一下，大家一起读一遍，认真体会。④除了false，推导的过程还用到了false，这三者之间的重要关系是false。这是三角形中勾股定理的形式，最大的是false，而false的大小关系是不定的。那么在椭圆中，会不会真的有这样一个直角三角形让它的三边就是false呢？我们以焦点在false轴上的椭圆为例。请大家小组讨论，试着在图中找出表示false的线段。
学生活动：小组讨论找出表示false的线段，并展示成果。
师：三角形false包含了椭圆方程所涉及的false三个量。我们将它叫做椭圆的几何量三角形。并且在这里，大家应该进一步体会到推导标准方程设false的好处了，不然这里就会出现分数形式。
设计意图：让学生充分理解椭圆标准方程的特点，并意识到椭圆标准方程所涉及的false三个量的几何意义。
4.知识应用，提高能力
练习 判断下列椭圆方程的焦点位置，求出false，并写出焦点坐标。
（1）false；（2）false.
学生思考，举手回答，其他同学判断正误。
教师适当给予提示、点评，总结因为椭圆的标准方程有两种形式，要养成既定轴又定量的好习惯。
设计意图：通过练习强化理解椭圆方程的特点，并提醒学生在遇到椭圆标准方程的问题时要有定轴定量的意识。
例 已知椭圆的两个焦点坐标分别是false，false，并且经过点false，求它的标准方程.
学生充分思考，发表见解，提出两种解题思路，一是熟悉的待定系数法，二是利用本节所学的椭圆定义。
对于待定系数法，教师演板展示，规范解题格式，定义法投影展示（因录课教室黑板的限制，在录课时实际上两种方法都是投影展示的）。两种方法均需强调先定焦点所在轴、定椭圆的型，再找量的关系。对于两种方法所涉及的运算，如待定系数法解方程组，定义法求false，都让学生动手尝试，学生会发现待定系数法方程更难解，定义法false好求，进而总结已知焦点坐标和椭圆上一点求椭圆的标准方程，定义法更好。并进一步总结遇到具体求解椭圆标准方程的问题时如何选取合适的方法。
设计意图：初步让学生掌握求椭圆方程的两种方法：定义法和待定系数法，在遇到具体问题时能够选取合适的方法。
5.升华小结，梳理知识
师：本节我们就学到这里，大家回忆一下我们学习的主要内容是什么？
学生思考，得出主要学习了椭圆的定义和标准方程。
师：我们这节课用到了什么思想方法？
学生思考、回答。
教师及时提示和补充。
思想：类比思想、数形结合思想；方法：定义法、待定系数法。
设计意图：通过学生自主总结本节课的主要内容和思想方法，对本节课进行梳理总结，加深理解。
6.布置作业，巩固提升
（1）书面作业，课本49页1，2。
（2）历史上，椭圆标准方程的推导方法可谓“百花齐放，各显神通”，请同学们课下查阅相关资料，了解椭圆标准方程的其他推导方法。
（3）思考题：一个动圆与已知圆false外切，与圆false 内切，求这个动圆圆心的轨迹方程。
（4）折纸游戏：准备一张圆形纸片，用笔在除圆心外的任何一个地方做个记号，如点一点false（图1）,然后开始折纸，每次将纸片折起一角，使折起部分的圆弧通过点false，将纸抹平，得到一条折痕（图2）。继续这样折下去，得到若干条折痕。最后将纸片展平，观察众多折痕包围着的是一个怎样的图形，会发现折痕围着的是椭圆形的光滑区域（图3）。结合课本49页第7题，思考上述折纸原理（图4）。

设计意图：1.第一个书面作业，巩固本节课学习的内容；2.椭圆标准方程的推导历史上方法很多，但基于课堂时间的问题没能展开，所以布置成作业，供同学们课下探讨、发散思维；3.思考题和最后的折纸游戏都涉及到椭圆定义的理解应用，为下节课深刻理解椭圆定义做准备。
结束语：
法国著名作家雨果说过：“人并不是只有一个圆心的圆圈，它是一个有两个焦点的椭圆。事物是一个点，思想是另一个点。”希望大家今后学习的过程中，能够以事实为依据，积极主动的思考，祝同学们的学习更上一层楼！
设计意图：利用名人名言激励学生。