2.1.2《椭圆的简单几何性质》教学设计-湘教版数学选修2-1（Word版）

2.1.2《椭圆的简单几何性质》教学设计
教材分析
1、教材的地位和作用
本节课是湘教版2003课标版教科书高中数学选修2-1第2章第1节第2课时：椭圆的简单几何性质。
在本节课之前，学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程，这是通过曲线建立方程
的探究。本节课是结合椭圆的图形发现几何性质再利用椭圆的方程探究椭圆的几何性质，是数与形的完美结合，让学生在了解如何用曲线的方程研究曲线的性质的基础上，充分认识到“由数到形，由形到数”的转化，为后继研究解析几何中其它曲线的几何性质奠定了基础。
2、教材的内容安排和处理
本课为椭圆的简单几何性质这部分内容的第一课时，主要介绍椭圆的简单几何性质及其初步运用，在解析几何中，利用曲线的方程讨论曲线的几何性质对学生来说是第一次，因此可根据学生实际情况及认知特点，改变教材中原有的研究顺序，引导学生先从观察具体图形入手，按照通过图形发现性质，利用方程去说明性质的理解和运用，同时注重对学生研究方法的思想渗透，然后通过教师的合理的的情境创设，师生共同讨论研究，学生的亲身实践，使学生加强对数形结合思想的应用。
3、重点、难点
教学重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程
教学难点：利用曲线方程研究曲线的几何性质的基本方法和离心率是用来刻画椭圆的圆扁程度的过程。
（二）学情分析
我所任教的班级是高中理科普通班，学生的数学基础较实验班弱一些，学生对于问题的独立分析能力需要提高，基于这种特殊情况我积极鼓励他们的参与，调动他们的学习热情，让学生的思维活跃起来，在教学上运用多媒体辅助，结合图形启发引导，组织学生合作探究等多种形式教学。
（三）教学目标
按照课程标准和所教学生的实际情况，我制定本节课的教学目标如下：
知识与技能
（1）通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并正确的画出它的图形（简图）运用几何性质解决一些简单的问题。
（2）培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力及运用数形结合思想解决实际问题的能力。
过程与方法：
通过学生亲身的实践体验，利用椭圆的方程讨论椭圆的几何性质，经历由形到数，由数到形的思想跨越，感知用代数的方法探究几何性质的过程，进一步体会数形结合思想在数学中的重要地位。
情感、态度与价值观：
通过自然和谐的教学氛围，建立师生、生生之间的交流互动，团结协作。培养学生专研探究的品质和态度以及学生的研究问题的技能，同时通过对椭圆几何性质的发现让学生得到美的感受和探究之后成功的喜悦。
（四）教学方法与手段
教学方法：
激发兴趣引导发现、合作探究等
教学手段：
课程标准要求立体几何的教学要直观感知，操作确认。对于本节内容我严格按照课标要求。教学上利用多媒体辅助手段，课堂上通过创设情境引导学生形象直观地体验由数到形的过渡，便于学生观察、认识、探究、发现、归纳。
（五）教学过程
一、复习引入
1、椭圆的标准方程：false，false （false）
2、椭圆标准方程a2,b2,c2的关系式。
二、新课讲解：
1、椭圆的对称性（以焦点在x轴上的椭圆为例）
在椭圆上任取一点P(x,y)则它关于x轴的对称点P1 (x,-y)，关于y轴的对称点P2 (-x, y)，关于原点的对称点P3 (-x,-y)，然后把P1 ，P2， P3的坐标分别代入方程：false（false）则方程不变，则曲线关于y轴对称；曲线关于x轴对称；曲线关于原点对称。所以曲线关于x轴、y轴、原点对称，坐标轴为对称轴，原点为对称中心。椭圆的对称中心也叫椭圆的中心。
2、椭圆的顶点：椭圆与对称轴的交点
在椭圆方程false（a>b>0），令y=0，得x=±a，因此椭圆和x轴有两个交点,A1(-a，0)，A2（a，0）；令x=0，得y=±b，因此椭圆和y轴有两个交点B1(0，b)，B2（0，-b）则椭圆与坐标轴共有4个交点。它们是椭圆的顶点。因此椭圆共有四个顶点：A1(-a，0)，A2（a，0），B1(0，b)，B2（0，-b）。
线段false叫椭圆的长轴，长度为2a；线段false叫椭圆的短轴，长度为2b。
其中a，b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围， 对称性， 顶点。因而只需少量描点就可以较正确的作图了。
3、范围：
由A1(-a，0)，A2（a，0），B1(0，b)，B2（0，-b）的坐标可知椭圆上的点的坐标满足falsefalse，可知椭圆落在x=±a,y=±b所围成的矩形框中。（或者由标准方程可知，椭圆上点的坐标（x，y）满足不等式：false，false，即有x24．离心率：椭圆焦距与长轴长之比e=ca(0合作探究：用几何画板演示椭圆当长轴不变的情况下将焦距变大或者变小椭圆的圆扁程度发生变化（或者将一长度固定的细绳的两个端点作为椭圆的焦点，用铅笔笔尖拉紧绳子，在平面上画一个椭圆，然后将焦距增大或缩小，观察椭圆的“圆”、“扁”程度的变化）。
∵a>c>0∴离心率的范围为：false
经过探究我们发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同。这种扁平性质由什么来决定呢？考察椭圆形状与false的关系：
当false则b就越小，对应的椭圆变扁；反之当false，则b就越接近于a，对应的椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，此时椭圆变成圆，方程变为x2+y2=a2.
填下列表格：
三、例题与练习
【例1】求椭圆false的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。
解：把已知方程化成标准方程false
所以，false，
因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为false，离心率false，两个焦点分别为false，椭圆的四个顶点是false，false。
【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）长轴长等于20，离心率e=35
（2）经过点P（-3，0），Q（0,2）
（1）解：∵2a=20??????∴a=10
?????????????????????∵ e=ca=35 ??????????∴c=6
∴b2=64∴x2100+y264=1或y2100+x264=1
（2）解：①由椭圆的几何性质，椭圆的焦点在x轴上，且点P，Q
分别是椭圆的一个端点，所以a=3，b=2，椭圆的标准方
为x29+y24=1
②设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m），将点
P（-3，0），Q（0,2）的坐标代入方程，求出m=19 ，n=14
练习：1、求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率和顶点坐标。
（1）9x2+y2=81
(2)x225+y2m=1(m>0且m≠25)
34671003213102、已知焦点在x轴上的椭圆mx2+5y2=5m的离心率e=105，则m的值.
四、小结：请同学们结合椭圆的图形总结本节课的知识点
方程
x2a2+y2b2=1(a>b>0)
y2a2+x2b2=1(a>b>0)
范围
x≤a，y≤b
x≤b，y≤a
对称性
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
同前
顶点坐标
(-a，0)，（a，0）， (0，b)，
（0，-b）
(-b，0)，（b，0）， (0，a)，（0，-a）
焦点坐标
（c，0），(-c，0)
(0，c)，（0，-c）
半长轴
长半轴长为a，短半轴长为b，a>b
同前
离心率
e=ca(0(e越接近于1越扁)
同前
a,b,c的关系
c2=a2-b2
同前
同时完成下面的表格：
五、课后作业：已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m >0）的离心率 e=32，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。