2.1.1 椭圆的定义与标准方程(3) 教案-湘教版数学选修2-1（Word版）

《椭圆的定义及其标准方程》教学设计

一、教材分析（含重点）
本节课是选修2-1中的第二章第一节第一课时的内容,其主要内容是研究椭圆的定义及其标准方程,属于概念性知识。从知识上讲，本节是在直线和圆的基础上,对解析法的再一次运用,同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲,为进一步研究双曲线,抛物线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲,三种圆锥曲线独编为一章,体现椭圆的重要地位。解析几何的意义主要表现在数形结合的思想上，在研究椭圆定义和方程的过程中,几何直观观察和代数严格推导相互结合,同时要借助圆作类比,用类比的思想为学生的思维搭桥铺路.因此本节课内容起到了承上启下的重要作用,是本章和本节的重点.
教学重点:椭圆的定义及其标准方程.
二、学情分析（含难点）
学生已经建立圆的概念和方程的经历，还有曲线与方程，初步认识了解析几何的特征，并且已经初步体验到了数形结合的基木思想，学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力。关于概念的获得，学生容易通过几何图形发现轨迹上的点的特征·但学生不容易形成概念体系并用精准的语言描述。在概括椭圆的定义时，需要老师作适当的启发，然后再用数学语言进行精确的描述，推导椭圆标准方程时会遇到两个困难，首先是坐标系如何建立才能使椭圆方程更简单，需要类比圆的方程的建立方法，根据椭圆的对称性建文直角坐标系。其次是如何化简方程使其最简洁。而学生已有的知识与能力不能完全胜任独立解决这两个问题的要求，需要教师作适当的讲解。
教学难点及突破策略
1、本节课的教学难点是椭圆概念的生成和椭圆标准方程的推导与化简；
2、突破策略:通过设计课前导学案，利用表格构建模型，引导学生类比建立圆的方程的方法，及通过数学实验，抽象概况椭圆的概念；经过学生独立思考与小组合作交流讨论，在椭圆上建立合适的直角坐标系；化简动点满足的代数方程时，引导学生注意观察方程的特点，对其进行移项变形后再通过平方运算进行化简，配合教师现场展示。
三、教学目标
（一）知识与技能
1、理解椭圆、椭圆的焦点和焦距的定义；
2、掌握椭圆标准方程的推导过程；
3、会求一些简单的椭圆的标准方程．
（二）过程与方法
通过数学实验，让学生观察猜想归纳，培养学生自主地获取知识的能力，开拓学生探究发现能力，体会类比思想、数形结合思想和坐标法。
（三）情感态度、价值观
1、通过探究性学习，获得成功的喜悦、培养学好数学的信心；
2、帮助学生树立运动、变化观点，培养学生勇于进取精神和良好心理素质；
3、经历观察、探究等学习活动，培养尊重事实、实事求是的科学态度．
四、策略及其说明（含智慧课堂应用）
为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用：1、翻转课堂和课前导学案结合教学法，课前利用智学平台发布微课——《椭圆概念》，让学生独立完成课前导学案，为课堂的小组合作探究交流做好基础；2、“问题－探究”小组合作学习和数学实验教学法，通过设计有效指引，用环环相扣的问题激发学生学习兴趣和调动小组合作学习将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.启发学生发现问题，思考问题，理解问题，解决问题.特别在椭圆的标准方程的推导过程中采用精心设计的“表格”教学法，类比学生熟悉的圆的方程的推导方法来推导出不熟悉的新知识；3、利用智慧课堂平台，把课堂上的五个问题的反馈练习进行精准立即反馈学生掌握情况，及时开展有针对性的辅导，从而有效的对本节的重点与难点进行突破.
五、教学基本流程
课前观看微课《椭圆概念》→ 课前导学案（5个问题）→课堂小组交流课前导学案并进行数学实验→小组展示课前导学案的成果（“定性”认识椭圆）→问题1（完成表格，类比圆的方程推导方法，推导椭圆的方程）→问题1.1、1.2、1.3（对表格知识运用的练习反馈，利用智慧平台及时精准反馈掌握情况）→问题2：对椭圆标准方程的理解（利用智慧平台及时精准反馈掌握情况）→问题3：能根据条件写出椭圆的标准方程→达标训练（利用智慧平台及时精准反馈掌握情况）→课堂小结（学生归纳小结、教师评价）
六、教学过程
课前导学案：
问题1：类比直线方程的推导方法，推导出圆的方程？
直线的点斜式方程推导
圆的方程推导
几何
要素
直线的几何要素：一个 和
（或者两个点）
1、圆的定义：平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是 ，定长是 。
2、圆的几何要素：
第一步：
建系
设点
389890377190619760379730391795377190直线l经过点P0（x0,y0），且斜率为k
y ·P(x,y)
·P0（x0,y0）
16319577470 0 x
l
设点P（x,y）是直线l上不同于点P0（x0,y0）的任意一点
845820278130一个圆的圆心为A(a,b), 半径为r
787400635401320473710 y ·M（x,y）
·A(a,b),
0 x
设圆上任意一点M（x,y）
第二步：
x,y满足的等量关系
斜率不变:
false= k
第三步：
用x,y表示，整理
化简
false
点斜式： false
第四步：
检验
1、直线l上的每一个点的坐标满足方程；
2、坐标满足方程的每一点都在直线l上。
【问题1的结论】：
我们把方程 称为圆心为A(a,b), 半径为r的圆的标准方程
特别地当圆心坐标是（0，0），半径为r的圆的标准方程为：
问题2：圆的标准方程有什么特征？
例如：它含有 a，b，r 3个参数；还有：
问题3：能快速由圆的标准方程找出它的圆心和半径？
(1) (2) x2+ y2+2x -4y -5=0
问题4：已知圆心为false的圆经过点false和false,且圆心在false上,求圆心为false的圆的标准方程.你能用多少种方法解决？（参考答案： false）
【设计意图】问题1~4：让学生回归圆的方程推导过程，建立解决求椭圆方程的模型。
问题5：把圆的定义进行稍微的修改:
平面内与两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹存在吗？若存在，轨迹是什么？轨迹方程是什么？
（每位同学准备一条小绳子，自己动手探究一下，预习课本P38~40）
【设计意图】通过旧知的衍生提出问题，引导猜想，再通过数学实验检验猜想，生成椭圆的概念，培养学生数学素养。
研学过程：
开场：小组交流讨论课前导学案，代表展示成果（5分钟完成）
【设计意图】通过“问题－探究”小组合作学习和数学实验，培养学生的合作能力，让学生互相纠正构建概念。

问题1：类比圆的标准方程的推导方法，推导出椭圆的方程？
（5分钟独立完成，2分钟小组讨论）
圆的标准方程推导
椭圆的标准方程推导
几何
要素
1、圆的定义：平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心 ，定长是 半径 。
2、圆的几何要素： 圆心 、半径
1、椭圆的定义：平面内与两个定点F1， F2
的距离的和 等于常数（大于 |F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点叫做椭圆的 焦点，两个焦点间的距离叫做焦距2c，与两个定点的距离的和记为 2a
2、椭圆的几何要素： 2a 2c
第一步：
建系
设点
（解决问题1.2）
845820278130一个圆的圆心为A(a,b), 半径为r
788035635401320473710 y ·M（x,y）
·A(a,b),
0 x
设圆上任意一点M（x,y）
一个椭圆的焦距为2c，与两个定点的距离的和为2a
973455635
设椭圆上任意一点M（x,y）F1(-c,0),F2(c,0)
第二步：
x,y满足的等量关系
|MA|=r
第三步：
用x,y表示，整理
化简
false
化简得：(x―a)2＋(y―b)2＝r2
化简得： x2+(y+2)2+x2+(y-2)2
第四步：
检验
1、圆上的每一个点的坐标满足方程；
2、坐标满足方程的每一点都在圆上。
结构特征
（解决问题1.3）
false它含有 a，b，r 3个参数，三个平方，两个完全平方差
-114300113030
【问题1的结论】：
我们把方程 称为焦点在 轴的椭圆的标准方程，
两个焦点为： ，其中 false=
【设计意图】类比圆的标准方程的推导方法，独立推导出椭圆的方程，再进行小组交流，共同分享并解决问题。PPT展示结合。
问题1.1：椭圆的定义应用
1、下列说法中,正确的是(　　)
A.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆
B.到点M(0,-3),N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
D.到点M(0,-3),N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆
【设计意图】利用智慧课堂平台发送题目，及时反馈对椭圆的定义的掌握情况。
问题1.2：“a”的几何意义？你能在图上找到长度为a的线段吗？（小组合作探究）
1397001270
A B
【设计意图】为化简椭圆的方程做好铺垫。
问题1.3：如果焦点 F1，F2 在y轴上，其它条件不变，那么椭圆的标准方程？

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
x2a2+y2b2=1(a>b>0)

图形


焦点坐标
F1(-c,0),F2(c,0)

a,b,c的关系
false
标准方程的结构特征

【设计意图】归纳椭圆标准方程的两种情况，通过表格让学生建立两者的联系与区别。
问题2：对椭圆标准方程的理解
例1 、判断下列椭圆的焦点位置
1、x25+y24=1 2、false 3、false 4、false:
-1143000
【解后反思】：

变式1：若方程x225-m+y2m+9=1表示椭圆,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-9,25) B.(-9,8)∪(8,25) C.(8,25) D.(8,+∞)

变式2：若方程x225-m+y2m+9=1表示焦点在x轴的椭圆,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-9,25) B.(-9,8)∪(8,25) C.(8,25) D.(8,+∞)
源:
-1143000
【解后反思】：

【设计意图】利用智慧课堂平台发送题目，及时反馈对椭圆标准方程的掌握情况。
问题3：能根据条件写出椭圆的标准方程？
例2、(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);
(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);
科
-1143000
【解后反思】：
变式1：经过点A(3,-2)和点B(-23,1).

-1143000
【解后反思】：
【设计意图】能根据条件写出椭圆的标准方程.
六、达标训练： (4分钟自主完成)
1.已知F1,F2为两定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=16,则动点M的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
2.如果椭圆false上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是 ；过椭圆false的焦点F1做直线AB,交椭圆于A、B两点，那么△AB F2的周长是
3..椭圆的两个焦点分别为F1(-8,0),F2(8,0),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为(　　)
A.x236+y2100=1 B.x2400+y2226=1 C.x2100+y236=1 D.x220+y212=1
4.若方程false表示椭圆,则k的取值范围是　　　　　　　　　　.
【设计意图】利用智慧课堂平台发送题目，及时反馈对本节课的教学目标的达成情况。
七、课堂小结：
请归纳一下本节学习了什么内容？用了怎样的思想方法与技巧处理？
【设计意图】让学生在小组内分享，再让学生代表展示。
八、板书设计：
采用智慧课堂课件分享功能，即时重点难点内容发送学生做好笔记，传统黑板留作小组成果展示用。