2.2.1 双曲线的定义与标准方程 教案-湘教版数学选修2-1（Word版）

《双曲线及其标准方程》教学设计
一、教学目标
（1）理解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程.
（2）通过定义及标准方程的挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生观察问题、探究问题、归纳问题的能力.
（3）亲历双曲线及其标准方程的获得过程，体会数学的理性与严谨，感受数学美的熏陶.
二、教学重点及难点
重点：理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程.
难点：双曲线标准方程的推导.
三、教学过程
教师活动
预设学生活动
设计意图
课前布置学生完成小课题研究
《圆锥曲线的由来》
小组展示成果
学生通过课前的探究，通过网上寻找资料，了解圆锥曲线的历史文化知识。培养学生的敢于研究的科学精神和探索意识。
1、知识回顾
问题1：椭圆的定义是什么？
问题2：若把椭圆定义中的“与两定点的距离之和”改为“距离之差”，这时轨迹又是什么呢？
引导学生思考
通过一个知识冲突的教学情景，由和到差，加强新旧知识的联系。通过学生类比和与差，促进学生思考，激发他们的求知欲望．
2、观察动画、动手作图
取出一条拉链，随着拉链的拉开闭合，通过观察，引导学生思考拉链拉开的两部分长度的内在联系．播放这个拉链的演示实验，让学生观察动画，了解双曲线的画法．最后教师指出这两条曲线合起来叫双曲线，其中每一条叫双曲线的一支，顺利引入课题．
学生动手画图.
通过观察动画和动手作图，使学生从空洞的数学分析转化为感受图形的实际变化．这一环节使学生体会双曲线定义的获得过程，培养了学生观察、归纳能力．
观察思考问题：
1、在作图过程中哪些线段是变量？哪些线段是定量？
2、参照椭圆的定义，这些常量可以用什么符号来表示？
3、这个常量之间大小关系是怎样的？
观察、思考并回答有关问题
对照椭圆的有关知识，体会圆锥曲线知识的一致性和统一性。
1、定义的归纳
（1）提出问题1：这条曲线上的点满足的条件?同样使学生找到另一条曲线上的点满足的条件．
提出问题2：用一个数学式子表达这两条曲线上的点满足的条件．
根据讨论总结出：| |MF1|-|MF2| | = 2a 2a是定值, 2a < |F1F2|. 通过以上分析，由学生归纳双曲线定义．
思考、讨论、归纳.
通过自主探究，体会双曲线任一点所满足的条件，提高学生分析问题、归纳问题的能力．
（2）通过椭圆和双曲线的定义的学习,知道它们是满足一定条件的点的轨迹,让学生发现两个定义的区别.教师总结学习定义的作用,可以用来判断曲线的形状．
类比记忆.
通过师生、生生的交流合作，使学生理解双曲线定义．学会利用定义判断曲线形状．
提出问题：为什么要强调条件0<2a<2c?
若a等于0，a等于c,a大于c对应轨迹是什么？
讨论、实验探究。回答问题。
观看视频a变化时的曲线。
进一步强化定义的理解和掌握。
2、标准方程的推导
（1）了解了双曲线的定义后，我们下面来研究一下双曲线的标准方程怎样推导，请大家类比椭圆方程的推导过程,说出双曲线标准方程推导步骤是什么?
提问回答.
进一步巩固用类比的方法解决圆锥曲线的问题．由于学生没有学习一般曲线的轨迹推导步骤,所以不用上升的理论太高,只需让学生类比椭圆即可.
（2）推导过程
①建 系 以false所在直线为false轴,线段false的中点为原点,建直角坐标系.
②设点 设双曲线上任意一点false,false,false
③列 式 false即false④化 简 得
false false
令false(false)代人得
false
这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在false轴上.
推导方程.
讨论：以上是焦点在false轴上的情况，对于焦点在false轴上的情形是什么样的呢？
在第四步化简过程中，由于学生已经学习过椭圆标准方程的化简，学生根据两方程形式的相似性，学生很容易使用同样的方法化简.此环节使学生经历双曲线标准方程的获得过程，体验数形结合思想在解决几何问题的优越性，形成锲而不舍的钻研精神和科学的态度．
3、方程的对比
推导出双曲线的两种标准方程后，让学生通过找出他们的相同点、不同点，自己探究出根据标准方程判断焦点位置的方法。
分组讨论
通过对比，形象记忆.
false练习1、判断下列方程哪些表示双曲线？
（1） （2）

（3） （4）

练习2、方程 是否表示双曲线？
学生口答
第一题让学生学会利用方程判断曲线的形状和求焦点坐标，第二题让学生深化利用双曲线标准方程判断焦点位置的方法.
例1 已知两定点为false，求动点M到F1、F2的距离的差的绝对值等于6的轨迹方程.
变式1、若已知F1 (0，-5)，F2(0，5) .
变式2、例1改求“动点M到F1、F2的距离的差等于6的轨迹方程”.
思考、练习
本例题既考察了定义的理解，又考察了待定系数法求曲线方程.变式1、通过定点位置的变化引起方程形式的变化，强化两种方程形式的区别与联系.变式2、让学生深刻体会定义中关键词“绝对值”的必要性，体会数学的理性和严谨.
例2、已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
作答。之后思考下列问题
思考:根可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置. 现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?
通过生活中的事例，体会数学知识的应用。了解圆锥曲线知识在科学、军事、及生活领域的应用。
作业：1.P55 2、3 2. P61A组1、2
3.课后小课题：上网搜索趣味游戏《双曲线折纸》，折纸作出双曲线和椭圆。
4.补充练习：如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？
5.折纸与补充练习之间逻辑关系？
让学生深化利用双曲线标准方程判断焦点位置的方法.
通过布置课后小课题，培养学生科学探索的精神和创新精神。增加学生的知识面和学习数学的趣味性。
八、PPT、板书设计
双曲线及其标准方程
1.双曲线定义： 例1.略
双曲线标准方程：
九、教学反思
1、学生对双曲线的定义中的关键词：差，绝对值，false有非常清晰的理解，对双曲线的标准方程及其标准方程中a，b，c的关系有深刻的认识，对例题的解决水到渠成.
2、对椭圆的定义和双曲线的定义的区别和联系有深刻的理解；对椭圆的两个标准方程与双曲线的两个标准方程的形式有了清晰的认识。能结合各自定义说出各自标准方程中的a，b，c的关系.
3、加强了学生的代数运算能力的培养，使学生更深层次的体验了类比发现法、数形结合数学思想方法，为双曲线的定义及其标准方程第二节的学习打下了坚实的基础，为《双曲线的几何性质》的学习即"由数到形"作了坚实铺垫和准备。