2.2.1双曲线的定义与标准方程_教案-湘教版数学选修2-1（Word版）
文档属性
| 名称 | 2.2.1双曲线的定义与标准方程_教案-湘教版数学选修2-1（Word版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 37.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-07 10:02:50 | ||
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文档简介
双曲线的定义与方程
【教学目标】
1．知识与技能
通过梳理双曲线的定义与方程的知识，认识双曲线的定义与方程的性质，运用双曲线的定义与方程解决实际问题。
2．过程与方法
引导学生梳理、表达相应的教学内容。在梳理过程中，可以针对学生的实际情况，布置不同的任务，采用自主学习与合作学习相结合的方式组织教学活动。
3．情感、态度与价值观
让学生逐渐养成借助直观理解概念、进行逻辑推理的思维习惯，以及独立思考、合作交流的学习习惯，引导学生感悟课程特征，适应数学学习。
【教学重难点】
重点：双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程。
难点：定义中“差的绝对值”、a与c的大小关系的理解与标准方程的建立。
【教学过程】
一、课题导入
师：椭圆的定义是什么？
(学生口述椭圆的定义，教师利用CAI课件把椭圆的定义和图象放出来。)
师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件
｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数)(2a>｜F1F2｜)的动点P的轨迹叫椭圆。下面，我们来做这样一个实验：
(同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题)
师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”(板书课题)
二、定义探究
师：我们知道满足几何条件｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数)的动点P的轨迹是椭圆，那双曲线应该是点P满足什么几何条件的轨迹呢？
(引导学生从刚才的演示实验中寻找答案：
｜PF1｜-｜PF2｜=2a或｜PF2｜-｜PF1｜=2a)
师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下。
(播放双曲线flash生成动画，验证几何条件)
师：实验证明当点P满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果｜PF1｜＞｜PF2｜，则得到曲线的右支，如果｜PF2｜＞｜PF1｜则得到曲线的左支，能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？
（引导学生思考，此时只需在||-||=2a左边加上绝对值）
师：作为此时差的绝对值2a与||大小关系怎么样？
（结合图象，学生分析：应该2a<||）
(在上述讨论的基础上引导学生类比椭圆定义概括出双曲线的定义，教师板书)
三、方程推导
师：平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题，借助于曲线的方程来揭示曲线的性质。下面我们来探究双曲线的方程。首先请回忆椭圆的标准方程是什么？
(学生口述教师板书椭圆的标准方程)
师：椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程。
(学生在草稿纸上试着完成，教师板书方程的推导过程)
建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为P(x、y)，｜F1F2｜=2c，并设F1(-c，0)，F2(c，0)。
由两点间距离公式，得
｜PF1｜=，｜PF2｜=
由双曲线定义，得
｜PF1｜-｜PF2｜=±2a 即
-=±2a
化简方程
=±2a+
两边平方，得
(x+c) 2+y2=4a2±4a+(x-c)2+y2
化简得：
cx-a2=±
两边再平方，整理得
(c2-a2)x2-a2y2=a2 (c2-a2)
(为使方程简化，更为对称和谐起见)
由2c-2a＞0，即c＞a，所以c2-a2＞0
设c2-a2=b2 (b＞0)，代入上式，得
b2x2-a2y2=a2b2
也就是
师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质。这一简化的方程称为双曲线的标准方程。结合图形再一次理解方程中a＞0，b＞0的条件是不可缺少的。b的选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有特殊的几何意义。具有c2=a2+b2，区别其与椭圆中a2=b2+c2的不同之处。
师：与椭圆方程一样，如果双曲线的焦点在y轴上，这时双曲线的标准方程形式又怎样呢？
（引导学生类比椭圆得到焦点在y轴上时双曲线的标准方程：此方程也是双曲线的标准方程，板书标准方程）
师：如何记忆这两个标准方程？
(师生共析：双曲线的方程右边为1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相
应的坐标轴为焦点所在坐标轴。用一句话概括“以正负定焦点”)
四、巩固内化
例：已知两定点，求到这两点的距离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。
变式：(1)若两定点为则轨迹方程如何？
变式：(2)若两定点为则轨迹方程如何？
(例由师生共同分析共同完成，(1)、(2)由学生完成)
方法总结：求双曲线标准方程，先定位再定量。
五、课堂小结
(1)双曲线的定义及其标准方程；
(2)把握方程中的3个常数a，b，c间的关系: c2=a2+b2。如何确定焦点位置，会求双曲线的标准方程；
（3）体会双曲线标准方程的探究过程，感受数学知识的和谐，对称美。
师：（给出彗星运行的图片）唐代诗人李贺曾在《梦天》中写到：“一泓海水杯中泻”，描写的是在茫茫夜空中出现彗星的美丽情景。彗星的轨道有三种：椭圆、抛物线、双曲线，在已算出的彗星中其轨道为双曲线的大约为49%，双曲线是我们平面解析几何中一类重要的曲线，它在我们生活中也很常见：（给出实物图片）有人说双曲线好似细腰的花瓶，有人说双曲线是高脚杯两侧最唯美的轮廓线，还有人说双曲线就是一对悲伤的恋人，彼此相依却无缘相聚，种种想象赋予了双曲线丰富而神秘的内涵，为什么人们会对它如此的着迷？它又有哪些性质呢？有待同学们在今后的学习中去继续探讨！
【教学目标】
1．知识与技能
通过梳理双曲线的定义与方程的知识，认识双曲线的定义与方程的性质，运用双曲线的定义与方程解决实际问题。
2．过程与方法
引导学生梳理、表达相应的教学内容。在梳理过程中，可以针对学生的实际情况，布置不同的任务，采用自主学习与合作学习相结合的方式组织教学活动。
3．情感、态度与价值观
让学生逐渐养成借助直观理解概念、进行逻辑推理的思维习惯，以及独立思考、合作交流的学习习惯，引导学生感悟课程特征，适应数学学习。
【教学重难点】
重点：双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程。
难点：定义中“差的绝对值”、a与c的大小关系的理解与标准方程的建立。
【教学过程】
一、课题导入
师：椭圆的定义是什么？
(学生口述椭圆的定义，教师利用CAI课件把椭圆的定义和图象放出来。)
师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件
｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数)(2a>｜F1F2｜)的动点P的轨迹叫椭圆。下面，我们来做这样一个实验：
(同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题)
师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”(板书课题)
二、定义探究
师：我们知道满足几何条件｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数)的动点P的轨迹是椭圆，那双曲线应该是点P满足什么几何条件的轨迹呢？
(引导学生从刚才的演示实验中寻找答案：
｜PF1｜-｜PF2｜=2a或｜PF2｜-｜PF1｜=2a)
师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下。
(播放双曲线flash生成动画，验证几何条件)
师：实验证明当点P满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果｜PF1｜＞｜PF2｜，则得到曲线的右支，如果｜PF2｜＞｜PF1｜则得到曲线的左支，能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？
（引导学生思考，此时只需在||-||=2a左边加上绝对值）
师：作为此时差的绝对值2a与||大小关系怎么样？
（结合图象，学生分析：应该2a<||）
(在上述讨论的基础上引导学生类比椭圆定义概括出双曲线的定义，教师板书)
三、方程推导
师：平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题，借助于曲线的方程来揭示曲线的性质。下面我们来探究双曲线的方程。首先请回忆椭圆的标准方程是什么？
(学生口述教师板书椭圆的标准方程)
师：椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程。
(学生在草稿纸上试着完成，教师板书方程的推导过程)
建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为P(x、y)，｜F1F2｜=2c，并设F1(-c，0)，F2(c，0)。
由两点间距离公式，得
｜PF1｜=，｜PF2｜=
由双曲线定义，得
｜PF1｜-｜PF2｜=±2a 即
-=±2a
化简方程
=±2a+
两边平方，得
(x+c) 2+y2=4a2±4a+(x-c)2+y2
化简得：
cx-a2=±
两边再平方，整理得
(c2-a2)x2-a2y2=a2 (c2-a2)
(为使方程简化，更为对称和谐起见)
由2c-2a＞0，即c＞a，所以c2-a2＞0
设c2-a2=b2 (b＞0)，代入上式，得
b2x2-a2y2=a2b2
也就是
师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质。这一简化的方程称为双曲线的标准方程。结合图形再一次理解方程中a＞0，b＞0的条件是不可缺少的。b的选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有特殊的几何意义。具有c2=a2+b2，区别其与椭圆中a2=b2+c2的不同之处。
师：与椭圆方程一样，如果双曲线的焦点在y轴上，这时双曲线的标准方程形式又怎样呢？
（引导学生类比椭圆得到焦点在y轴上时双曲线的标准方程：此方程也是双曲线的标准方程，板书标准方程）
师：如何记忆这两个标准方程？
(师生共析：双曲线的方程右边为1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相
应的坐标轴为焦点所在坐标轴。用一句话概括“以正负定焦点”)
四、巩固内化
例：已知两定点，求到这两点的距离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。
变式：(1)若两定点为则轨迹方程如何？
变式：(2)若两定点为则轨迹方程如何？
(例由师生共同分析共同完成，(1)、(2)由学生完成)
方法总结：求双曲线标准方程，先定位再定量。
五、课堂小结
(1)双曲线的定义及其标准方程；
(2)把握方程中的3个常数a，b，c间的关系: c2=a2+b2。如何确定焦点位置，会求双曲线的标准方程；
（3）体会双曲线标准方程的探究过程，感受数学知识的和谐，对称美。
师：（给出彗星运行的图片）唐代诗人李贺曾在《梦天》中写到：“一泓海水杯中泻”，描写的是在茫茫夜空中出现彗星的美丽情景。彗星的轨道有三种：椭圆、抛物线、双曲线，在已算出的彗星中其轨道为双曲线的大约为49%，双曲线是我们平面解析几何中一类重要的曲线，它在我们生活中也很常见：（给出实物图片）有人说双曲线好似细腰的花瓶，有人说双曲线是高脚杯两侧最唯美的轮廓线，还有人说双曲线就是一对悲伤的恋人，彼此相依却无缘相聚，种种想象赋予了双曲线丰富而神秘的内涵，为什么人们会对它如此的着迷？它又有哪些性质呢？有待同学们在今后的学习中去继续探讨！
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