2.3.1 抛物线的定义与标准方程 教案-湘教版数学选修2-1（Word版）

《抛物线及其标准方程》教学设计
一、学习目标
1、理解掌握抛物线的定义，学会推导其标准方程；
2、能根据条件运用待定系数法求抛物线的标准方程；
3、会根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程；
二、学习重难点
理解抛物线的定义，能根据已知条件求抛物线的标准方程．
三、学习方法
预习课本内容，学生讨论，师生共同总结。
四、学习过程
1、新课引入：
观察音乐喷泉、射电望远镜、探照灯、太阳灶等四张图片，体会抛物线在生活中的实际应用。
设计意图：引导学生用数学的眼光观察世界。
2、问题情境：
从探照灯和太阳灶中可以发现，这个聚焦点是抛物线的一个特殊点。初中我们学过的二次函数的图象是一条抛物线。下面我们以函数y=x2的图象为例，研究一下这条抛物线上任意一点M（x,y）到定点F(0,1)的距离是多少?
思考: 在平面内, 与一个定点F和一条定直线l 距离相等的点的轨迹是什么?
设计意图：渗透从特殊到一般的思想，发展学生直观想象的能力。
2、实验探究：
如图：点false是定点，直线L为不经过点false的定直线，false是直线L上的任意一点，过点false作直线L的垂线false，线段false的垂直平分线m交于false点false，
408622538100则点false满足什么几何条件？拖动点false，则点false的轨迹是什么？
问题1：若定直线l 过点F，点false的轨迹是什么？
问题2：平面内满足什么条件的点的轨迹为抛物线？
设计意图：通过几何画板的直观感知，探究发现抛物线的定义；通过对抛物线定义的归纳，发展学生的抽象概括能力。
一、抛物线的定义：
在平面内，与一个定点F和一条定直线l (l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中点F叫做抛物线的 焦点 ，直线L叫做抛物线的 准线
二、求抛物线的标准方程
思考：设抛物线的焦点F到准线L的距离为常数P(P>0)，如何建立坐标系, 使求出抛物线的方程更简单呢？
第一步： 建系设点：取经过点false且垂直于直线false的直线为false轴，垂足为false，并使原点与线4088130391795段false的中点重合，建立直角坐标系false；设false，则焦点false坐标为false，准线false的方程为false；设点false为抛物线上任意一点.
第二步：建立等量关系：点false到false的距离为false，由抛物线定义知，抛物线就是点的集合
false.
第三步：化简：因为false，false，所以
false，平方化简得：false（false）.
把方程false叫做抛物线的标准方程. 其中false为正常数，表示焦点在false轴正半轴上.且false的几何意义是：焦点到准线的距离.
焦点坐标为false.准线方程为false.
问题3：在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系，可以得到不同形式的标准方程。那么，抛物线的标准方程还有哪些不同形式?
问题4：如何求其他三种抛物线的标准方程?
设计意图：通过类比推理，发展学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
2、填表：
图形
焦点位置
标准方程
焦点坐标
准线方程
x轴的正半轴上
false
(false)
false
false
x轴的负半轴上
false
（false）
false
false
y轴的正半轴上
（falsefalse
false
false
y轴的负半轴上
false
（false）
false
false
问题5：已知抛物线的标准方程，如何确定焦点坐标和准线方程？
一次项的变量为x（或y），焦点就在x轴（或y轴）上；一次项系数的正负决定了焦点位置和开口方向；
焦点坐标与一次项系数的关系： .
准线方程与一次项系数的关系： .
三、典例分析：
【例1】（1）已知抛物线的标准方程是false，求它的焦点坐标及准线方程；
（2）已知抛物线的焦点坐标是false ，求抛物线的标准方程；
（3）已知抛物线的准线方程为false，求抛物线的标准方程；
解:（1）依题意，焦点是false，准线方程是false：false.
（2）依题意，设抛物线方程为false（false），则false，false，
所以抛物线的方程为false.
（3）依题意，设抛物线为false（false），false，所以false，
所以抛物线方程为false.
变式：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y=8x2 （2）x2+8y=0
设计意图：发展学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
方法总结：
用待定系数法求抛物线标准方程,应先确定抛物线的形式，再求P值.
已知抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程时，要先化为抛物线的标准方程，再求解。
44672255743575例2：一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为false，深度为false,试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
解:如图建立直角坐标系，设抛物线方程为y2=2px (p0)，
由已知点false坐标为false，代入方程得
3943350215265false，解得false，
所以抛物线方程为false，焦点坐标为false．
设计意图：在实际问题中，从数学的视角分析问题，构建数学模型，最终解决问题。
四、课堂小结：
今天我们学习了哪些知识与方法？
五、课后作业：
1、课本59页课后练习1、2、3
2. 求过点（4，-2）的抛物线的标准方程.
3. 求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程.