2.3.1抛物线的定义与标准方程_教案-湘教版数学选修2-1（Word版）

抛物线的定义与标准方程
【教学目标】
1．知识与技能
通过梳理抛物线的定义与标准方程的知识，认识抛物线的定义与标准方程的性质，运用抛物线的定义与标准方程解决实际问题。
2．过程与方法
引导学生梳理、表达相应的教学内容。在梳理过程中，可以针对学生的实际情况，布置不同的任务，采用自主学习与合作学习相结合的方式组织教学活动。
3．情感、态度与价值观
让学生逐渐养成借助直观理解概念、进行逻辑推理的思维习惯，以及独立思考、合作交流的学习习惯，引导学生感悟课程特征，适应数学学习。
【教学重难点】
重点：抛物线的定义与标准方程知识的理解。
难点：了解抛物线的定义与标准方程并能应用它解决问题。
【教学过程】
405765078105一、复习引入：
1．椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内的常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率。
38957254889502．双曲线的第二定义：一动点到定点F的距离与到一条定直线的距离之比是一个内的常数，那么这个点的轨迹叫做双曲线 其中定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数e是双曲线的离心率。
3．问题：到定点距离与到定直线距离之比是定值e的点的轨迹，当01时是双曲线。此时自然想到，当e=1时轨迹是什么？
4076700146050若一动点到定点F的距离与到一条定直线的距离之比是一个常数时，那么这个点的轨迹是什么曲线？
把一根直尺固定在图板上直线L位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着真心直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角标顶点C的长(即点A到直线L的距离)，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F 用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线。
二、讲解新课：
1．抛物线定义：
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
2．推导抛物线的标准方程：
3858260518160如图所示，建立直角坐标系，设|KF|=(>0)，那么焦点F的坐标为，准线的方程为，设抛物线上的点M(x，y)，则有。
化简方程得 。方程叫做抛物线的标准方程。
（1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F(，0)，它的准线方程是
（2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，。这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下。
3．抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF|=(>0)，则抛物线的标准方程如下：

（1）， 焦点:，准线：
（2）， 焦点:，准线：
（3）， 焦点:，准线：
（4） ， 焦点:，准线：
相同点：（1）抛物线都过原点；（2）对称轴为坐标轴；（3）准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即。
不同点：（1）图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为；（2）开口方向在X轴(或Y轴)正向时，焦点在X轴(或Y轴)的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴(或Y轴)负向时，焦点在X轴(或Y轴)负半轴时，方程右端取负号。
点评：（1）建立坐标系是坐标法的思想基础，但不同的建立方式使所得的方程繁简不同，布置学生自己写出推导过程并与课文对照可以培养学生动手能力、自学能力，提高教学效果，进一步明确抛物线上的点的几何意义。
（2）猜想是数学问题解决中的一类重要方法，请同学们根据推导出的（1）的标准方程猜想其它几个结论，非常有利于培养学生归纳推理或类比推理的能力，帮助他们形成良好的直觉思维——数学思维的一种基本形式。另外，让学生推导和猜想出抛物线标准方程所有的四种形式，也比老师直接写出这些方程给学生带来的理解和记忆的效果更好。
（3）对四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程进行完整的归纳小结，让学生通过对比分析全面深刻地理解和掌握它们。
三、讲解范例：
例1 （1）已知抛物线标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程
（2）已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程
分析：
（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的，所以只要求出p即可；
（2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p，问题易解。
解析：（1）p＝3，焦点坐标是(，0)准线方程是x＝－．
（2）焦点在y轴负半轴上，＝2，
所以所求抛物线的标准议程是．
例2 已知抛物线的标准方程是（1）y2＝12x，（2）y＝12x2，求它的焦点坐标和准线方程．
分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数p的值．
解：（1）p＝6，焦点坐标是(3，0)准线方程是x＝－3．
（2）先化为标准方程，，焦点坐标是(0，)，
准线方程是y＝－。
例3 求满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点坐标是F(－5，0)
（2）经过点A(2，－3)
分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况(如第（2）小题)。
解：（1）焦点在x轴负半轴上，＝5，
所以所求抛物线的标准议程是．
（2）经过点A(2，－3)的抛物线可能有两种标准形式：
y2＝2px或x2＝－2py．
点A(2，－3)坐标代入，即9＝4p，得2p＝
点A(2，－3)坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝
∴所求抛物线的标准方程是y2＝x或x2＝－y
四、课堂练习：
1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2＝8x （2）x2＝4y （3）2y2＋3x＝0 （4）
2．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F(－2，0)；
（2）准线方程是；
（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上；
（4）经过点A(6，－2)。
3．抛物线x2＝4y上的点p到焦点的距离是10，求p点坐标。