2.3.2抛物线的简单几何性质_教案-湘教版数学选修2-1（Word版）

抛物线的简单几何性质
【教学目标】
（一）知识教学点
使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质。
（二）能力训练点
从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。
（三）学科渗透点
使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题。
【教学重难点】
1．重点：抛物线的几何性质及初步运用。
（解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出。）
2．难点：抛物线的几何性质的应用。
（解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用。）
【教学过程】
情境设置：
由一名学生回答，教师板书。
问题抛物线的标准方程是怎样的？答为：抛物线的标准方程是。
与椭圆、双曲线一样，通过抛物线的标准方程可以研究它的几何性质。
下面我们根据抛物线的标准方程：来研究它的几何性质。
探索研究：
1．抛物线的几何性质
（1）范围
因为，由方程可知，所以抛物线在轴的右侧，当的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
（2）对称性
以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称。我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
（3）顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当时，因此抛物线的顶点就是坐标原点。
（4）离心率
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知
其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得，教师用小黑板给出来表让学生填写。
再向学生提出问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？
学生和教师共同小结：
（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；
（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；
（4）抛物线的离心率是确定的，为1．
例题分析：
例1．已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形。
求标准方程，请一名学生演板，教师予以纠正。画图可由教师讲解，步骤如下：
由求出的标准方程，变形为，根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标，得
0
1
2
3
4
……
0
1
2．8
3．5
4
……
描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分（如图）。
然后说明利用抛物线的通性，能够方便地画出反映抛物线基本特征的草图。
例2．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为，灯深，求抛物线的标准方程和焦点位置。
解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径。
抛物线的标准方程为，由已知条件可得点的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：，
所以所求抛物线的标准方程为，焦点坐标是。
（三）随堂练习
1．求适合下列条件的抛物线方程
①顶点在原点，关于轴对称，并且经过点
②顶点在原点，焦点是
③顶点在原点，准线是
④焦点是，准线是
2．一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是m，跨度是m，求拱形的抛物线方程
答案：1．①②③④
2．（要选建立坐标系）
（四）总结提炼
抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大。它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线。
【作业布置】
1．顶点在原点、焦点在轴上，且过点的抛物线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
3．若垂直于轴的直线交抛物线于点，且，则直线的方程为__________。
4．抛物线形拱桥，当水面宽时，水面离拱顶为，若水下降，则此时水面宽为___________。
5．抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左顶点，求抛物线方程。
6．若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别是10和6，求的横坐标及抛物线方程。
答案：1．B 2．C 3． 4． 5． 6．9，