2.3.2 抛物线的简单几何性质 教案-湘教版数学选修2-1（Word版）

2.3.2抛物线的简单几何性质(一)
教材分析
本节内容选自《湘教版选修2—1》第2.3.2节第一课时内容。本节通过类比椭圆、双曲线的几何性质，在学生已有抛物线定义、标准方程的基础上对其几何性质的研究，为利用性质解决实际问题提供了理论依据。让学生再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,学生不难掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等性质。对于抛物线几何性质的应用是学生学习的难点，教学中应强调几何模型与数学问题的转换。
本节是第一课时，在数学思想和方法上可与椭圆、双曲线的性质对比进行，着重指出它们的联系和区别，一方面丰富完善了圆锥曲线知识体系，另一方面也是“用方程研究曲线”这一基本方法的再次强化，体现了数学的和谐统一，为今后用代数方法研究几何问题打下了基础，起到了承上启下的重要作用。
二、教学目标
1、知识与技能目标
（1）掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
（2）能根据抛物线的方程对抛物线几何性质进行讨论。
2、过程与方法目标
（1）掌握抛物线的简单几何性质并会在实际问题中简单运用；
（2）训练自己用坐标法解题的能力。
3、科学素养目标
通过本节课的学习使学生进一步感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，培养学生独立思考、合作交流的良好个性品质。
三、教学重难点
教学重点：抛物线的几何性质；
（理由：学生在高一已经接触过抛物线的图形特征，当时是从函数角度简单研究了它的顶点、对称轴。现在，随着学生认知水平的提高需要从更高层面审视这种曲线的几何本质，并且抛物线的几何性质在实际生活中有广泛的应用，因此几何性质成为本节课的授课重点。）
教学难点：抛物线几何性质的应用。
（理由：从学生已有知识出发，学生往往注重对图形的直观感知，而忽视对方程中隐含条件的挖掘，另外，学生的应用意识、数学建模能力比较薄弱，所以本节课的难点为：抛物线几何性质的应用。）
四、教学方法及学法指导
教学方法：本课采用启发探究式的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，充分体现以学生为主体的教学理念，注重培养学生学习的独立性和自主性，使每个学生都能得到充分发展。教学中充分利用多媒体技术，辅助教学。
学法指导：根据本节课的特点，结合学生的实际，指导学生采用类比学习法，通过探究发现、合作交流、归纳反思等数学活动，倡导学生主动参与，培养学生良好的学习习惯和方法，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。
五、教学过程设计与分析
（一）复习引入：
抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线
（设计意图：抛物线的定义及标准方程由学生口述，老师展示结论。让学生回顾有关知识，为本课学习准备。）
图形



方程



焦点



准线



（二）研探新知
1、抛物线的几何性质
（1）范围
问题1：前面我们研究了椭圆与双曲线的哪些几何性质？是如何研究的？抛物线也有这些性质吗？
（设计意图：激活学生已有的知识结构，突出圆锥曲线体系研究的一贯性、系统性，使学生在头脑中形成清晰的主线，为下面学生的自主探究活动指明方向。这里如果学生回忆不起来用方程研究几何性质的方法，则可以举这样一个具体的例子：方程的几何性质如何得出的呢？教师进行适时的启发引导。）
问题2：你认为抛物线的范围如何？你是怎么理解的？
（设计意图：提出问题由学生完成，引导学生由“数学模型”到“数学问题”的解决问题的方法。并思考抛物线的几何性质。）
因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性
问题3：你认为抛物线的对称性如何？你是怎么理解的？
以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
（3）顶点
问题4：椭圆与双曲线的顶点是什么？类似的你认为抛物线的顶点是什么？
（设计意图：使学生掌握利用方程研究曲线的方法，使一个平淡的性质陈述过程成为学生的一次生动而有价值的主动探究、交流合作的学习体验。）
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．
（4）离心率
抛物线离心率的定义：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比。
e=1
（5）通径
问题5：椭圆与双曲线的通径是什么？大小是多少？
过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径.
思考：通径对图像有何影响？
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映
抛物线基本特征的草图.
2p越大，抛物线张口越大.
（设计意图：通过探究问题，循序渐进，层层深入，使学生感受“作形判数”“就数论形”间的相互转化，完成了对抛物线几何性质由定性到定量的认识飞跃。通过作图实践得出P对抛物线开口的影响并引导学生找出2P的几何意义。）
焦半径
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。
|PF|=x0+
归纳：抛物线的几何性质列表如下：
标准方程



图形



范围



对称性 轴 轴 轴 轴
顶点



离心率



通径 2p 2p 2p 2p
焦半径 x0+ -x0+ 0+ -0+
（设计意图：通过类比椭圆与双曲线的几何性质，从范围、对称性、顶点、离心率、焦半径公式方面研究抛物线的几何性质，并由学生归纳总结出其他三种标准方程的几何性质。）
2、应用举例
例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程．
（设计意图：巩固学生用所学的抛物线的几何性质去求抛物线的标准方程。此题采用讨论、代表发言、点评完善的活动形式，在生生互动中解决问题。）
解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，
所以 ，即
因此，所求的抛物线方程为．
例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
（设计意图：这道题目通过独立作答，难点突破，点拨反思的活动形式完成。教学中，让学生对比两种解法，体会选择恰当的数学方法的优越性）
解法一:弦长公式
解法二:焦半径公式
变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．
（设计意图：这道题目通过独立作答，难点突破，点拨反思的活动形式完成。教学中，让学生静下心来独立思考，然后采取欲擒故纵的策略，将评判权交给学生，通过错题的辨析，纠错的警醒，学生在“疑”中提高思考质量，在“改”中加深认识，在生生互动中突破难点。最后，通过反思整理，提高学习效率，养成良好的学习习惯。）
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．
证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则
｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线相切．
3、课堂练习：
P66练习、2、3
补充练习
（1）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=
（2）已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（ B ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
（3）求焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程
（设计意图： 通过直接应用、变形转化、灵活处理等使学生掌握抛物线的几何性质。）
4、课堂小结
本节课我们学习了哪些知识？体会了哪些思想方法？
（1）抛物线的范围、对称性、顶点、离心率、通径、焦半径及应用。
（2）数形结合、转化与化归、方程等思想方法。
（设计意图：让学生自己先总结本课所学知识，然后师生一起评价再优化，使学生清楚本课所学知识）
课后跟踪作业
（1）课本P66习题3 第5、9题
（2）同步导学第38—40页
（3）校本作业17—18板书设计
六、设计特色：
1、“数学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。本节课的设计充分体现以学生为主体的教育理念，大胆放手，通过独立思考与讨论交流相结合，在生生互动中突出重点，突破难点。
2、本节课从现实生活中寻找数学题材，使学生感受数学源于生活。再用所学知识解决实际问题，让学生体会数学服务于生活。整个课堂前后呼应，浑然一体。