3.1空间中向量的概念和运算_教案-湘教版数学选修2-1（Word版）

空间中向量的概念和运算
【教学目标】
1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
2．会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
3．能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。
【教学重难点】
认识空间向量并学会相关计算。
【教学过程】
在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量；
平面向量的表示方法：
几何表示法：_________________________
字母表示法：_________________________
（注意：向量手写体一定要带箭头）
平面向量的模表示_________________，记作____________
一些特殊的平面向量：
零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性）
单位向量：______________________________
（强调：都只限制了大小，不确定方向）
相等向量：____________________________
相反向量：____________________________
平面向量的加法：
571500000
1943100000平面向量的减法：
平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
（1）|λa|＝|λ||a|
（2）当λ＞0时，λa与a同向；
当λ＜0时，λa与a反向；
当λ＝0时，λa＝0.
向量加法和数乘向量满足以下运算律
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
数乘结合律：λ（）=
师：刚才我们复面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢？请同学们先阅读课本。
师：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间）
师：空间向量与平面向量有什么联系？
485775071437500生：向量在空间中是可以平移的。空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示。因此我们说空间任意两个向量是共面的。所以凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量。即：
49149009906000因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量。
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。即：
。
（3）两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立。
因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则。
师：（1）怎样的向量叫做共线向量？
（2）两个向量共线的充要条件是什么？
（3）空间中点在直线上的充要条件是什么？
（4）什么叫做空间直线的向量表示式？
（5）怎样的向量叫做共面向量？
（6）向量p与不共线向量A、B共面的充要条件是什么？
（7）空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？
（结合自学指导，略作解答）
1．共线（平行）向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：平行于，记作：。
注意：零向量与任意向量都是共线向量。
2．共线向量定理：
对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一）。
推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式①，其中向量叫做直线的方向向量。在上取，则①式可化为或②（要知道这个推论的条件）
492950519050师：如何证明这两个推论呢？
因为l∥a，满足AP=ta，又因AP=OP-OA，所以OP=OA+ta，若在l上取AB=a，则有OP=OA+tAB，进一步，因为AB=OB-OA，所以OP=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB
师：若当时，点P是什么？向量OP会怎样？
生：点是线段的中点，此时③
师：所以把①和②都叫空间直线的向量表示式，也叫做空间直线的向量参数方程，③是线段的中点公式。
师：结合推论的条件，请同学们思考，空间中的任意直线是由哪些因素确定的？
生：空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定。
师：共线向量定理及其推论有何应用？
生：与平面向量一样，可以判断空间任意三点共线。
3．共面向量：
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
师：根据定义，说明空间任意的两向量都是共面的，为什么？
生：因为总可以找到一个平面，使得这两个向量和平面平行
师：空间中任意三个向量是不是一定共面呢？什么情况下三个向量共面？
生：不一定，比如（自举例）。
4．共面向量定理：
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使。
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①
上面①式叫做平面的向量表达式。
师：这与平面向量基本定理类似，a，b叫做基底。
师：共面向量定理和推论有何应用？
生：可以判断四点共面。
补充：证明平面AC∥平面EG。
∵，
又∵，
∴
所以，平面平面。
例2．已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？
解：由题意：，
∴，
∴，即，
所以，点与共面。
推广：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式（其中）的四点是否共面？
（独立完成，写在练习本上思考处，请一位同学上黑板板书）
解：∵，
∴，
∴，
∴点与点共面。
注意：可作为结论来判断四点共面。
课堂小结：
1．共线向量、共线向量定理及其推论，以此来判断三点共线（与平面向量类似）
2．共面向量、共面向量定理及其推论，可判断空间四点共面。