3.3直线的方向向量_教案-湘教版数学选修2-1（Word版）

直线的方向向量
【教学目标】
课程目标：
学会用向量表示直线或点在直线上的位置，用向量方法求证直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行，用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角。
过程与方法：
以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。
情感、态度与价值观：
通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；让学生体会双曲线方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。
【教学重难点】
重点：直线的方向向量，平行关系的论证，用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角。
难点：直线的方向向量，平面的共面向量的选取及其表示。
【教学方法】
采用师生互动的方式，通过让学生动脑思考、动手作图、动口议论、小组合作，充分发挥学生的积极性和主动性，教师合理引导学生归纳总结。
【教学内过程】
一、复习回顾：
1．两个向量与的夹角公式：______________________________________；
2．__________________________；__________________________；
3．共面向量定理：________________________________________________________；
（引导学生从已有认知出发，即从学生已具备的平面向量相关知识出发，为类比出空间向量夹角和数量积概念做铺垫，学生在学案上填写，同位互相检查。）
二、新课学习：
1．用向量表示直线或点在直线上的位置：
给定一个定点和一个向量，再任给一个实数，以为起点做向量 ①
这时P的位置被的值完全确定。易知，当在实数集中取遍所有值时，点P的轨迹是______________________________________________________________，反之，在直线l上任取一点P，一定_______________________________，使得=__________。
向量方程①通常称作__________________________，向量称为该直线的___________。
473837046228000向量方程①还可作如下表示：对空间任一个确定的点O，点P在直线l上的充要条件是：存在_______的实数，满足等式。②
若在l上取，
则②可化为=_________________=_____________________，
即=________________________。③
①或②或③都叫做空间直线的______________________，它们都与平面的直线向量参数方程相同。
探究：观察到方程中的系数满足，这与点A，P，B三点共线有关系吗？
（1）若令t＝0或1，则点P在直线AB的什么位置？
（2）若令t＝或2，则点P在直线AB的什么位置？
（3）若令t＝－1，则点P在直线AB的什么位置？
中点的向量表示式：_____________________________________
488474410666800例1．已知点A（2，4，0），B（1，3，3），以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：
（1）AP：PB=1：2； （2）AQ：QB=-2．
求点P和点Q的坐标。
（先由学生给出方法，然后教师给出完整过程，规范解题步骤）
2．用向量的方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行
设直线和的方向向量分别为和，则由向量共线的条件，得：
//或与重合_______________________________。
已知两个不共线向量和与平面共面，一条直线的一个方向向量为，则由共面向量定理，可得：
平面或在平面______________________________________________。
由共面向量定理，我们还可以得到：
如果A、B、C三点不共线，则点M在平面ABC内的充要条件是：存在一对实数，使向量表达式=______________________________成立。
已知两个不共线的向量和与平面共面，则由两平面平行的判定与性质，得：
427799536512500或与重合____________________________________
例2 已知正方体，点分别是面对角线，的中点，求证：侧面；；并且。
3．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角
设两条直线所成的角为，则直线方向向量间的夹角与____________或____________。
306705032067500如图，设直线和的方向向量分别为和，则有：
5334000____________________
______________________
00____________________
______________________

例3 已知正方体中，点分别是棱与对角线的中点，求证：；。3533775-9906000
346710072136000例4 已知三棱锥，，，分别是棱的中点。求直线与所成的角的余弦值。
注：（1）如能建立空间直角坐标系，有关向量可用坐标表示；
（2）建坐标系不便，可选取基向量表示其他向量；
小结：从以上几个例子，可以看到，用向量方法解几何题的一般步骤是：把线段转化为向量来表示，并通过已知向量表示________________，或选用_________________表示其他向量，然后通过向量运算去计算或证明。
三、总结反思
学生从知识、题型与方法、数学思想三个方面总结，然后同桌交流各自的看法，最后教师找一名学生回答，其他学生进行补充，教师适当引导。