第一章 小结与复习(1) 教案-湘教版数学选修2-1（Word版）

微专题：平面上动圆圆心轨迹的探究

Ⅰ.教学内容安排： 湘教版选修2—1第二章小结与复习第一课时（例1拓展与探究）
Ⅱ.教学目标设计：
1.认知目标
（1）掌握圆的定义及基本性质；尤其是两圆相切的性质.
（2）掌握轨迹问题的一般求法；
（3）了解利用《几何画板》作动点轨迹的好处和意义.
2.能力目标：使学生在问题的研究过程中，进一步地领会求动点轨迹的思想方法，更深一步地了解、运用圆的定义和性质来分析问题的能力，培养学生的观察能力、空间想象能力、综合运用知识解决问题的能力.
3.情感目标
（1）增强问题的直观性，激励学生的学习兴趣和动机.特别是对抽象能力不强的学生能给予较大帮助，树立他们学好数学的信心.
（2）运用辩证唯物主义思想：运动与静止、变与不变的对立统一关系.
Ⅲ.教学内容分析：
本节课的重点是动圆圆心轨迹的求法，进一步了解圆的定义和性质；难点是怎样充分利用圆的性质来分析问题.
本堂课是一节探究课，主要让学生通过对问题的分析和探索，熟练地运用圆的性质解题，掌握数形结合、等价转化等数学思想.
Ⅳ.教学对象研究
虽然本节课的内容及主要知识学生已经学过，但是真正掌握的学生不多，主要是学生对一些常见问题的基本处理方法比较生疏，尤其是运用性质来分析问题、解决问题，就更加薄弱了。因此，在教学中，立足于学生的这种状况，可以通过发挥学生的想象力以及多媒体动画演示等手段，深入浅出地在观察之中升华规律性知识，并根据学生的现场反应随时确定教学进程和教学方法.
Ⅴ.教学方法设计
根据本节课的内容和学生实际水平，采用的主要是启发式的教学方法和讲练结合，并利用计算机辅助教学.
在教学中，采用启发式的教学方法，引导学生展开丰富的想象力，直观地感受动点的轨迹方程，再引导学生运用所学的圆的性质找出问题的突破口，而讲练结合，使学生能很快得出此题型的轨迹方程的求法，从而发展学生等价转换、数形结合等数学思想，培养学生综合运用知识解决问题的意识.
Ⅵ.教学环境设计
动点的轨迹具有高度的抽象性和概括性的特点，学生光凭想象很难得出轨迹，所以本节课要采用《几何画板》来辅助完成本节课的教学工作.
上课时，对于每个问题准备采取这样的步骤：首先给出问题，全体学生一起分析得出问题的突破口，然后请学生想象轨迹，再一边分析提示，一边动画演示，最后制作轨迹，根据制作的轨迹，要求同学们在变化的过程中找到相应的不变的结论和规律.
Ⅶ.教学过程设计
一.复习回顾（课件演示）
1.直线与圆相切、两圆外切、两圆内切的有关定理等内容。
2.椭圆、双曲线、抛物线的定义和相关的概念等知识。
二.创设情景（微课视频）
某乐队在某地演出时，把演出场地画成一个圆形，若在圆内异于圆心false的一定点false处装一个扩音设备，圆弧上安装一个在圆上运动的扩音设备false，为了使演出时的音响达到最好的效果，演唱者P必须与扩音设备false、圆心false三点共线，且始终与两个扩音设备的距离相等。探究演唱者P在演出场地内走动的路线是如何？同时，如何从中提炼出数学问题呢？
分析：点P轨迹实际上是：运动线段false的垂直平分线与半径false的交点集合.
变式1：如图，已知定点A在定圆false的内部，在圆false上有一个动点false，过点A、false作一直线false与⊙false相交于点false，连接false、false.过点A作false的平行线交false于点false，探究点false在⊙false上运动时，点false的轨迹方程.（2016全国Ⅰ卷模型）
变式2：如图，已知定点A在定圆false的内部，探究动圆P过A且与⊙false相内切的圆心的轨迹方程（展示课题）
三.课题探究
（一）已知定点和定圆，求解动圆圆心P的轨迹方程
1.相关问题
（1）定点在定圆外时
【问题】已知定点A（-3，0），定圆⊙false：false，
①动圆P过点A且与⊙false相外切，求点P轨迹方程（课件1）
②动圆P过点A且与⊙false相内切，求点P轨迹方程（课件2）
③动圆P过点A且与⊙false相切，求点P轨迹方程（课件3）
【分析】false与定圆半径的数量关系
【结果】①有false（双曲线的左支）
②有false（双曲线的右支）
③有false（双曲线）
（2）定点在定圆内，且不与圆心重合时
【问题】已知定点A（-3，0），定圆⊙false：false，动圆P过点A
【探究】动圆P且与⊙false相外切，相内切，相切时，动点P的轨迹方程（课件4）
2.相关结论
（1）定点在定圆外时
（2）定点在定圆内，且不与圆心重合时，
（二）已知定直线和定圆，求解动圆圆心P的轨迹方程
1.相关问题：
（1）定直线和定圆相离时
【问题】已知定圆⊙false：false，
①若定直线false：false，满足动圆P与定直线相切且与定圆相外切，求点P的轨迹（课件5）。
②若定直线false：false，满足动圆P与定直线相切且与定圆相内切，求点P的轨迹（课件6）。
【分析】false定圆半径
【结果】①有false（抛物线）
②有false（抛物线）
（2）定直线和定圆相切时
【问题】已知定直线false：false，定圆⊙false：false，
【探究】动圆P与定直线相切且与定圆相外切，或与定圆相内切时，动点P的轨迹（课件7）

（3）定直线和定圆相交时
【问题】已知定直线false：false，定圆⊙false：false，
【欣赏】动圆P与定直线相切且与定圆相外切，或与定圆相内切时，动点P的轨迹（课件8）
2.相关结论
（1）定直线和定圆相离时，
（2）定直线和定圆相切时，
（3）定直线和定圆相交时，
（三）已知两个定圆，求解动圆圆心P的轨迹方程
1.相关问题：
（1）两定圆外离时（课件9）
【问题】已知定圆A：false和定圆B：false，
①动圆P与两定圆都相外切，求点P的轨迹。
②动圆P与两定圆都相内切，求点P的轨迹。
③动圆P与两定圆一个相外切，一个相内切，求点P的轨迹。
【分析】false（定值）
【结果】①有false（双曲线的右支）
②有false（双曲线的左支）
③有false（双曲线）
（2）两定圆外切时（课件10）
【问题】已知定圆A：false和定圆B：false，
【探究】动圆P与两定圆都相外切；都相内切；一个相外切，一个相内切时，动点P的轨迹。
（3）两定圆相交时（课件11）
【问题】已知定圆A：false和定圆B：（x-3）2+y2=4，
【欣赏】动圆P与两定圆都相外切；都相内切；一个相外切，一个相内切时，动点P的轨迹。
（4）两定圆内切时（课件12）
【问题】已知定圆A：false和定圆B：false，
【探究】动圆P与两定圆都相外切；都相内切；一个相外切，一个相内切时，动点P的轨迹。
（5）两定圆内含（两圆心不相同）时（课件13）
【问题】已知定圆A：false和定圆B：false，
①动圆P与两定圆都相外切，求点P的轨迹。
②动圆P与两定圆都相内切，求点P的轨迹。
③动圆P与两定圆一个相外切，一个相内切，求点P的轨迹。
【分析】false（定值）
【结果】①轨迹不存在
②有false（椭圆）
③有false（椭圆）
（6）两定圆内含（两圆心相同）时（课件14）
【问题】已知定圆A：false和定圆B：false，
【探究】动圆P与两定圆都相外切；都相内切；一个相外切，一个相内切时，动点P的轨迹。
2.相关结论
（1）两定圆外离时，
（2）两定圆外切时，
（3）两定圆相交时，
（4）两定圆内切时，
（5）两定圆内含（两圆心不相同）时，
（6）两定圆内含（两圆心相同）时，
四.归纳总结
平面上动圆的圆心的轨迹主要是寻找动圆的圆心与两个定点的距离之和或差的大小关系，或与定点、定直线的距离的大小关系.
五.课堂练习
1．（自编）已知圆A：x2＋y2＋2x－15＝0和圆上一动点C，定点B(1，0)，若CB的垂直平分线交线段AC于点E，求点E的轨迹方程；
2．[2016·全国卷Ⅰ改编] 设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. 求点E的轨迹方程；


3. 定圆M:(x+false)2+y2=16, 动圆N过点F(false,0)且与圆M相切, 记圆心N的轨迹为E. 求轨迹E的方程;
六.课后练习
1．[2013·全国卷Ⅰ] 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C. 求曲线C的方程；
2．一动圆与圆false外切，同时与圆false内切，求动圆圆心false的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
3. 已知圆O:x2+y2=4, 点A(false,0) ,以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ. 求曲线Γ方程;
七.教后反思
1. 本堂课是一节探究课，对探究的问题，从具体情景中利用《几何画板》软件辅助学生观察、实验得到问题的求解方案，然后，引导学生想象、分析得出问题的初步结果；再启发学生在演示中归纳形成问题的准确结论，最后，要求学生在变化的过程中找到相应的不变规律。证明完全符合学生对事物的认知水平，课堂练习的检测得到体现。
2. 使用本人亲自录制的微课视频讲解，时间可以得到保证的同时，倍感亲切，目标导向明确，效果达成完美，为课题探究铺路。
3. 让本班同学上台讲解课堂练习，增强同学的自信，发挥同学的主观能动性，基于学生水平的学习能使同学们共同进步.
4. 不足之处：课堂练习时最好先让学生自己画图（半分钟），并用投影展示，在画不出图形的情况下，再用几何画板演示，会有更好的效果；在讲解例题时，PA+PB=定值，应向学生说明其定值与两定点之间的大小关系为宜.