2.1.1 椭圆的定义与标准方程 课件-湘教版数学选修2-1（26张PPT）

2.1.1 椭圆的定义与标准方程
开普勒第一定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在所有椭圆的一个焦点上.
开普勒（德国）
1571——1630
1.利用一根没有弹性的细绳，如何画一个圆？
·
O
A
圆的定义：
平面内，到定点的距离等于定长的点的集合.
2.利用一条没有弹性的
细绳，如何画一个椭圆？
小组合作，完成实验
2.利用一根没有弹性的
细绳，如何画一个椭圆？
在画椭圆的过程中？有哪些变量？哪些定量？
一个动点，两个定点
动点到两定点的距离变化，两定点间的距离不变
动点到两定点的距离的和是定值
平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆.
注
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
1.椭圆的定义
①若常数 ，则点 的轨迹是线段 ；
②若常数 ，则点 的轨迹不存在.
常数，常数
（1）建系设点；（2）写出点集；（3）列出方程；（4）化简方程；（5）检验（无特殊情况可省略）.
观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系？
求曲线的方程的一般步骤是什么？
2.椭圆的标准方程
2.椭圆的标准方程
2c
常数=2a
c
常数=a
(x,y)
(x,y)
一二三四
小组
五六七八
小组
①
②
③
④
由椭圆的定义，椭圆就是集合
如图，以过焦点 的直线
为 轴，线段 的垂直平分线
为 轴，建立平面直角坐标系.
设 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 ，
与 和 的距离的和等于正常数 ，
则 的坐标分别是
2.椭圆的标准方程
，得： .
移项，得：
两边平方，得：
两边再平方，得：
，则两边同除以
整理，得：
合并同类项，整理，得：
得：
令
2.椭圆的标准方程
2.椭圆的标准方程
焦点在x轴上的
椭圆的标准方程
①
②
2c
常数=2a
焦点在x轴上的
椭圆的标准方程
a?=b?+c?
2.方程的左边是两项分式
平方和的形式，右边是1.
3.方程左边两个分母大小
不等，以大小定 ，
焦点跟着大的走.
1.“标准方程”的含义.
焦点在x轴上的椭圆的标准方程： .
焦点在y轴上的椭圆的标准方程： .
2.椭圆的标准方程
方程认知
椭圆方程有特点，
分式平方加相连，
分母较大焦点定，
右边是1记心间.
a
c
b
几何量三角形
2.椭圆的标准方程
小组讨论：请在图中找出表示a，b，c 的线段.
小组合作
a，b，c的再认识
练习 判断下列椭圆的焦点在哪个轴上，求出a，b，
并写出焦点坐标.
解：
知识应用，提高能力
四.
1.小试身手
既
定
轴
又
定
量
（1）焦点在 轴上， ， ，
焦点坐标为 ， ；
（2）方程即为 ，
焦点在 轴上，
焦点坐标为 ， .
， ，
例 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 ，
并且经过点 ，求它的标准方程.
2.典例分析
例 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 ，
并且经过点 ，求它的标准方程.
待定系数法
解法一：
因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
所以所求椭圆的标准方程为： .
2.典例分析
由已知 ，所以 .
①
又由已知，得： .
②
联立①②，解得： .
例 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 ，
并且经过点 ，求它的标准方程.
定义法
解法二：
因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
所以 .又因为 ，所以 .
所以所求椭圆的标准方程为： .
知识应用，提高能力
四.
2.典例分析
由椭圆定义知
定义
图形
方程
焦点
注
； 既定轴又定量
类比思想
数形结合思想
定义法
待定系数法
思
想
方
法
1.书面作业：课本49页1，2
3.思考题：一个动圆与已知圆
外切，与圆 内切，求这个动
圆圆心的轨迹方程.
2.历史上，椭圆标准方程的推导方法可谓
“百花齐放，各显神通”，请同学们课下
查阅相关资料，了解椭圆标准方程的其他推导方法.
4.折纸游戏：准备一张圆形纸片，用笔在除圆心外
的任何一个地方做一个记号，如点一点F（图1）,
然后开始折纸，每次将纸片折起一角，使折起部分
的圆弧通过点F，将纸抹平，得到一条折痕（图2）.继续这样折下去，得到若干条折痕.最后将纸片展
平，观察众多折痕包围着的是一个怎样的图形，会
发现折痕围着的是椭圆形的光滑区域（图3）.
结合课本49页第7题，思考上述折纸原理（图4）.

人并不是只有一个圆心的圆圈，他是一个有两个焦点的椭圆.事实是一个点，思想是另一个点.
——（法）雨果
谢谢指导！
将①代入②，得：
去分母，得：
整理，得：
解得：
（舍去负值），
所以 .
所以原方程组的解为：
①
②
解方程组
知识应用，提高能力
四.
2.典例分析
谢 谢