2.1.1椭圆的定义与标准方程_教案-湘教版数学选修2-1（Word版）

椭圆的定义与标准方程
【教学目标】
（1）知识目标：
①掌握椭圆的定义及其标准方程；
②通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法。
（2）能力目标：通过自我探究、操作、数学思想(待定系数法)的运用等，从而提高学生实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力。
（3）情感目标:在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会形数美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。
【教学重难点】
重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程；
难点：椭圆标准方程的建立和推导。
【教学过程】
（一）设置情景，导入新课
1．(借助多媒体)先演示本章开头语中用一个倾斜平面截圆锥，可以得到截口曲线(椭圆)；今天我们就着手研究这个内容。
(进而出示本节研究的课题的教学目标)
2．(借助多媒体)展示图片
274320013335
【设计意图】让学生明确椭圆与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系，激发学生的求知欲。
（二）尝试画图、形成感知
1．动手画椭圆
（1）请学生拿出课前准备的硬纸板、细线、铅笔，同桌一起合作画椭圆。
（2）动画演示椭圆的形成过程。(动画1)
2．同学们作完图、观察完演示后，思考下面问题：
（1）结合实验，你应如何给椭圆下定义？定义含有几个要点？
（2）在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？
（3）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
（4）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
3．教师再进一步明确椭圆概念、焦点、焦距概念，强调形成椭圆的条件。
（三）探究椭圆的标准方程
1．复习求动点的轨迹方程的基本步骤
(由学生回答，不正确的教师给予纠正)
2．椭圆标准方程的探求
（1）建系
让学生自己动手试一试如何恰当地建立坐标系。
教师巡回察看各个同学的建系情况，然后让几个同学说出自己建系的依据，师生共评，寻找最佳方案。
【学情预设】学生可能会建系如下几种情况：
方案一：把F1．F2建在x轴上，以F1F2的中点为原点；
方案二：把F1．F2建在x轴上，以F1为原点；
方案三：把F1．F2建在x轴上，以F2原点；
方案四：把F1．F2建在x轴上，以F1F2与x轴的左交点为原点；
方案五：把F1．F2建在x轴上，以F1F2与x轴的右交点为原点；
经过比较确定方案一。
以两定点、所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系(如图1)。设，则，。
已知图形，建立直角坐标系的一般要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系。
（2）设点
设为椭圆上的任意一点，与、的距离的和等于()。
由定义得到椭圆上点的集合为。
4044950187960（图1）
（图1）
（3）列式
将条件式代数化，得
(*)
（4）化简
先让学生各自在练习本上自行化简，教师巡视.
预测学生问题：①若学生采用两次平方的方法化简，最后应得到
(* *)
在此过程中，教师一边巡视，一边给予指导和提示，然后选出1—2位学生的推导过程展示出来，并请学生本人作简要陈述。
然后教师提出：有无较为简单的方法化简(*)式呢？
请学生观察式子，
引导学生联想等差中项的定义：“成等差数列”，
知，，成等差数列，
可设
再设法消去，即可将(*)式化简为(* *)式。
若学生先想到利用等差中项的概念式化简得(* *)式，则教师提出采用两次平方的方法请学生一试，也可得(* *)式。
②的引入
由椭圆的定义可知，，，
4383405397510让点运动到轴正半轴上(如图2)，由学生观察图形自行获得，的几何意义，进而自然引进，此时，于是得，
两边同时除以，得椭圆的标准方程为:
。
③教师对标准方程的说明
ⅰ.椭圆的标准方程既简洁整齐，又对称和谐；
ⅱ.上述方程表示焦点在轴上，中心在坐标原点的椭圆，其中；
ⅲ.以上的推导过程，没有证明“以满足方程的实数对为坐标的点都在椭圆上”，有兴趣的同学可在课后自行证明；
ⅳ.如果椭圆的焦点在轴上，并且焦点为，则椭圆方程为，这也是椭圆的标准方程，它可以看成将方程中的对换而得到的；
ⅴ.对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较与与项分母的大小即可。若项分母大，则焦点在轴上；若项分母大，则焦点在轴上。
ⅵ.对椭圆的两种标准方程，都有，焦点都在长轴上，且a．b．c始终满足
（四）实例演练
4546600676910例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程。
分析：有两种解题思路：
思路1：利用椭圆定义(椭圆上的点到两个焦点、的距离之和为常数2，求出值，再结合已知条件和、、间的关系求出的值，进而写出标准方程；
思路2：先根据已知条件设出焦点在轴上的椭圆方程的标准方程，再将椭圆上点的坐标代入此方程，并结合、、间的关系求出、的值，从而得到椭圆的标准方程为。