2.2.1 双曲线的定义与标准方程 课件-湘教版数学选修2-1（23张PPT）

2.2.1 双曲线的定义与标准方程
课题《圆锥曲线的由来》
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椭圆的定义
和
等于常数
2a ( 2a > |F1F2| )
的点的轨迹.
平面内与两定点F1、F2的距离的
思考问题：
差
等于常数
的点的轨迹是什么呢？
平面内与两定点F1、F2的距离的
一.复习提问：
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线。
用拉链画双曲线的实验
用拉链画双曲线的实验
观察思考：
1、在作图过程中哪些线段是变量？哪些线段是定量？
2、参照椭圆的定义，这些常量可以用什么符号来表示？
3、这个常量之间大小关系是怎样的？
4、如图(A)，动点在运动过程中满足什么条件？其运动轨迹是什么？
5、如图(B)动点在运动过程中满足什么条件：其运动轨迹是什么？
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
用拉链画双曲线的实验
观察思考：
用拉链画双曲线的实验
观察思考：
6、这两种轨迹所对应的条件能能统一用一个式子来表示吗？
7、类比椭圆的定义，能否归纳出双曲线的定义？
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
o
F
2
F
1
M
平面内与两个定点F1，F2的距离的差
等于常数 的点的轨迹叫做双曲线.
的绝对值
（小于︱F1F2︱）
注意
| |MF1| - |MF2| | = 2a
2.双曲线的定义
(1)距离之差的绝对值
(2)常数要小于|F1F2|大于0
0<2a<2c
双曲线的定义
思考1：定义中为什么要强调|MF1|与|MF2|的差的绝对值？
思考2：定义中为什么强调常数2a要小于|MF1|且不等于0？（即0<2a<2c）？如果不对常数加以限制，动点的轨迹是什么？
当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹 ；
当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹 ；
双曲线的右支
双曲线的左支
F1
F2
M
F1
F2
M
若2a=2c，动点M的轨迹 ；
若2a>2c，动点M的轨迹 .
若2a=0，动点M的是轨迹___________________.
若0<2a<2c，动点M的是轨迹_____________.
线段F1F2的垂直平分线
双曲线
以F1、F2为端点的两条射线
不存在
因此，在应用定义时，首先要考查 .
2a与2c的大小
双曲线的定义
x
y
o
　　　设M（x , y）,双曲线的焦
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
F1
F2
M
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = + 2a
_
　　　以F1,F2所在的直线为X轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系
1. 建系.
2.设点．
3.列式．
|MF1| - |MF2|= 2a
？
4.化简.
3.双曲线的标准方程
令c2－a2=b2
y
o
F1
M
双曲线的标准方程
F
2
F
1
M
x
O
y
O
M
F2
F1
x
y
双曲线的标准方程
判断： 与 的焦点位置？
思考：对比椭圆的有关知识，如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点是在X轴上还是Y轴上？
结论：
看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上。
双曲线与椭圆之间的区别与联系
1.写出适合下列条件的双曲线的标准方程
(1)a=4,b=3,焦点在x轴上;
(2)焦点为F1(0,-6),F2(0,6),过点M(2,-5)
4.例题讲解
解：由双曲线的定义知点 的轨迹是双曲线.因为双曲线的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为
所求双曲线的方程为：
2. 已知 , 动点 到 、 的距离之差的绝对值为6，求点 的轨迹方程.
例题讲解
使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
3、已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
如图所示，建立直角坐标系xOy,
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
即 2a=680，a=340
x
y
o
P
B
A
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
PA-PB=2×340
又2c=800,c=400
c2－a2=b2
=144400
例题讲解
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
定义
图象
方程
焦点
a.b.c 的关系
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
F ( ±c, 0) 　 F(0, ± c)
5.课堂小结
定 义
方 程
焦 点
a.b.c的关系
F（±c，0）
F（±c，0）
a>0，b>0，但a不一定大于b，
c2=a2+b2
c最大
a>b>0，
c2=a2-b2
a最大
双曲线与椭圆之间的区别与联系
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
椭 圆
双曲线
F（0，±c）
F（0，±c）
作业：
1.P55 2、3 P61习题A组1、2
3.上网搜索趣味游戏《双曲线折纸》，折纸作出双曲线。
4.补充练习：如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？
5.思考折纸与补充练习
之间逻辑关系？
谢 谢