2.3.1抛物线及其标准方程 课件-湘教版数学选修2-1（24张PPT）

2.3.1　抛物线及其标准方程
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思考:在平面内, 与一个定点F和一条定直线l 距离相等的点的轨迹是什么?
自主探究:
几何画板探究轨迹
可见，这个聚焦点是抛物线的一个特殊点。我们学过的哪一类函数的图象是抛物线呢?
1、抛物线的定义:
在平面内，与一个定点F和一条定直线l (l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫抛物线.
M
·
F
l
·
焦点
d
准线
点F叫抛物线的焦点,
直线l 叫抛物线的准线.
问题2:平面内满足什么条件的点的轨迹是抛物线?
化 简
列 式
设 点
建 系
以过点F且垂直于直线 l 的直线为x轴,垂足为K.以FK的中点O为坐标原点建立直角坐标系xOy.
x
K
y
O
F
M
l
·
·
·
（x,y）
设M（x，y）是抛物线上任意一点，
H
设点M到l的距离为d．
d
由抛物线的定义，抛物线就是点集：
2、抛物线的标准方程：
（p＞0），
化 简
两边平方,整理得
x
K
y
O
F
M
l
·
·
·
（x, y）
H
d
P的几何意义是:
焦点到准线的距离（焦准距）
方程y2 = 2px（p＞0）为焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程。
证 明
思考：什么是标准方程？如何建立坐标系使得所求的方程为标准方程？
（书本第59页）：如果建立的坐标系满足条件：原点是焦点到准线的垂线段的中点，一条坐标轴指向焦点从而垂直于准线，所得的方程就称为标准方程。
问题4：如何求其它三种标准方程？
F
M
l
N
·
·
F
M
l
N
·
·
F
M
l
N
·
·
O
O
O
x
y
x
y
x
y
K
K
K
问题3：抛物线的标准方程还有哪些不同形式?
准线方程
焦点坐标
标准方程
焦点位置
图形
3、抛物线标准方程的四种形式：
x轴的
正半轴上
x轴的
负半轴上
y轴的
正半轴上
y轴的
负半轴上
y2=2px
(p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
F(-
-
-
-
.
.
.
.
准线方程
焦点坐标
标准方程
焦点位置
图形
x轴的
正半轴上
x轴的
负半轴上
y轴的
正半轴上
y轴的
负半轴上
y2=2px
(p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
F(-
-
-
-
.
.
.
.
问题5：已知抛物线的标准方程，如何判断它的焦点位置？如何求焦点坐标和准线方程？
（1）一次项的变量为x，焦点就在x轴上；
一次项的变量为y，焦点就在y轴上；
（3）若焦点在x轴上，焦点横坐标与一次项系数的关系为： .
若焦点在y轴上，焦点纵坐标与一次项系数的关系为： .
提升总结
（2）一次项系数为正，焦点就在正半轴上.
一次项系数为负，焦点就在负半轴上.
问题6：已知抛物线的标准方程为y2=mx（m≠0）或x2=my（m≠0）,如何判断它的焦点位置?如何求焦点坐标和准线方程？
思考：为什么说二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是一条抛物线？
例1:（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x,则它的
焦点坐标为 ，准线方程为 ．
（2）已知抛物线的焦点是F(0,-2)，则它的标准
方程为 .
（3）已知抛物线的准线方程为x=1，则它的标准
方程为 .
x2=-8y
用待定系数法求抛物线标准方程,应先确定抛物线的形式，再求P值.
【小结】
y2=-4x
求下列抛物线的焦点坐标与准线方程.
(1)y=8x2；
(2)x2+8y=0.
焦点 , 准线
焦点 ，准线
求抛物线焦点坐标和准线方程要先化为抛物线的标准方程，再求解。
【变式】
【小结】
例2：一种卫星接收天线的轴截面如图(1)所示。卫
星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天
线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)
为4.8m,深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线
的标准方程和焦点坐标.
即p=5.76.
解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合.
设抛物线的标准方程是
?抛物线的标准方程是 ,
焦点坐标是（2.88，0）
由已知条件可得，点A的坐标是（0.5，2.4），代入方程得
x
y
O
A
B
.
F
今天我们学习了哪些知识与方法？
知识
方法
思想
1、课本P61页课后练习1、2、3
2．求过点（4，-2）的抛物线的标准方程.
5. 求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程.
课后作业：
谢 谢 指 导！
解：因为抛物线经过第四象限，
所以可设抛物线的方程为y2 = 2p1x（p1 ＞0）
或x2 =-2p2y（p2 ＞0）
把点（4，-2）代入得p1=1/2或p2=4，
故抛物线方程为y2 = x 或 x2 =-8y
练习：已知抛物线经过点（4，-2）, 求它的标准方程。
求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的
标准方程.
y2=16x或x2=-12y