2021—2022学年度人教版初中八年级上册数学
课时过关培优小训练
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11．2.1 三角形的内角
第1课时 三角形内角和定理
1．如图
，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，则∠AED的度数为(
)
?A
.40°
?B
.60°
?C
.80°
?D
.120°
2．将一副直角三角板按图
摆放，则图中锐角∠α的度数是(
)
?A
.45°
?B
.60°
?C
.70°
?D
.75°
3．如图
，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B，C处开工挖出“?V?”字形通道．如果∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，那么∠A的度数是(
)
?A
.75°
?B
.80°
?C
.85°
?D
.90°
4．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ）
A．90°
B．100°
C．130°
D．180°
5．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
6．如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=65°，则∠3=（ ）
A．65°
B．70°
C．75°
D．85°
7．如图
，已知△ABC是一个任意三角形．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：过点A作DE∥
，
∴∠B＝∠
，∠C＝∠
)．
∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝
，
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝
．
于是可以得到三角形三个内角的和等于
．
8.如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为_______
9.已知△ABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为________度．
10.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=____________.
11.一个角是80°的等腰三角形的另两个角为____________.
12.如图，已知，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E、F，点G在直线EF上，GH⊥AB，若∠EGH=32°，则∠DFE的度数为____________.
13．如图
，在△BCD中，BC＝4，BD＝5.
(1)求CD的取值范围；
(2)若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
14．
如图
，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为AD延长线上一点，PE⊥BC于点E，已知∠ACB＝80°，∠B＝24°，求∠P的度数．
15．
如图
，在△ABC中，BP，CP交于△ABC内一点P.
(1)已知BP，CP分别是∠ABC与∠ACB的平分线，当∠A＝50°时，求∠P的度数；
(2)当∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB时，∠P＝90°＋∠A成立吗？请说明理由．
参考答案
1．
B
2．
D
3．
A
4.B
5.C
6.C
7．BC
DAB
EAC
两直线平行，内错角相等
180°
平角的定义
180°
等量代换
180°
8.
70°
9.
120
10.
140°
11.
80°，20°或50°，50°．
12.
58°
13．
解：(1)∵BC＝4，BD＝5，
∴BD－BC即1(2)∵AE∥BD，∠BDE＝125°，
∴∠AEC＝180°－∠BDE＝55°.
又∵∠A＝55°，
∴∠C＝180°－∠AEC－∠A＝70°.
14．
解：在△ABC中，∠ACB＝80°，∠B＝24°，
∴∠BAC＝180°－∠ACB－∠B＝76°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC＝38°.
在△ACD中，∠ACD＝80°，∠CAD＝38°，
∴∠ADC＝180°－∠ACD－∠CAD＝62°，
∴∠PDE＝∠ADC＝62°.
∵PE⊥BC于点E，
∴∠PED＝90°，
∴∠P＝180°－∠PDE－∠PED＝28°.
15．
解：(1)∵BP，CP分别是∠ABC与∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB.
∵∠A＝50°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－50°＝130°，
∴∠1＋∠2＝∠ABC＋∠ACB＝(∠ABC＋∠ACB)＝65°，
∴∠P＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－65°＝115°.
(2)∠P＝90°＋∠A成立．
理由：∠P＝180°－∠1－∠2
＝180°－(∠ABC＋∠ACB)
＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A.2021—2022学年度人教版初中八年级上册数学
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第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11．2.1 三角形的内角
第2课时 直角三角形的性质与判定
1．如图
，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝40°，则∠D的度数为(
)
?A
.40°
?B
.50°
?C
.60°
?D
.70°
2．
在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则(
)
?A．必有一个内角等于30°
?B．必有一个内角等于45°
?C．必有一个内角等于60°
?D．必有一个内角等于90°
3．
△ABC的内角分别为∠A，∠B，∠C，下列能判定△ABC是直角三角形的条件是 (
)
?A．∠A＝2∠B＝3∠C
?B．∠C＝2∠B
?C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
?D．∠A＋∠B＝∠C
4．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A．
165°
B．
120°
C．
150°
D．
135°
5．将一副直角三角板按图
摆放，则图中锐角∠α的度数是(
)
A.45°
B.60°
C.70°
D.75°
6．△ABC的内角分别为∠A，∠B，∠C，下列能判定△ABC是直角三角形的条件是 (
)
A.∠A＝2∠B＝3∠C
B.∠C＝2∠B
C.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
D.∠A＋∠B＝∠C
7．如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是（ ）
A．
∠A＞∠1＞∠2
B．
∠2＞∠1＞∠A
C．
∠A＞∠2＞∠1
D．
∠2＞∠A＞∠1
8.．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．
9.△ABC中，若∠C－∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．
10．如图
，在?Rt?△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，求∠B，∠A的度数．
11．如图
，在△ABC中，AD⊥BC，∠1＝∠B.求证：△ABC是直角三角形．
12.如图
，在△ABC中，CM⊥AB于点M，∠ACB的平分线CN交AB于点N，过点N作ND∥AC交BC于点D.若∠A＝78°，∠B＝50°.求：
(1)∠CND的度数；
(2)∠MCN的度数．
13．如图
①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.
(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；
(2)如果∠BAC是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？
①
②
14.如图
①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高．
(1)求证：∠DAC＝∠ABC；
(2)如图②，△ABC的角平分线CF交AD于点E，求证：∠AFE＝∠AEF.
①
②
参考答案
1．
A
2．
D
3．
D
4．A
5．D
6．D
7．B
8．钝角
9．直角
10．解：设∠A＝x，则∠B＝2x.
由题意，得x＋2x＝90°，
解得x＝30°，则2x＝60°，
∴∠B＝60°，∠A＝30°.
11．证明：∵AD⊥BC，
∴在Rt△ABD中，∠B＋∠BAD＝90°.
又∵∠B＝∠1，∴∠1＋∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
12．
解：(1)在△ABC中，∵∠A＝78°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝52°.
又∵CN平分∠ACB，∴∠ACN＝∠ACB＝26°.
∵ND∥AC，∴∠CND＝∠ACN＝26°.
(2)在△ACN中，∠ANC＝180°－(∠A＋∠ACN)＝180°－(78°＋26°)＝76°.又∵CM⊥AB，∴∠MCN＝90°－76°＝14°.
13．
解：(1)∠1＝∠2.理由如下：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形，∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝∠2.
(2)结论仍然成立．理由如下：
∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°，
∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°.
又∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.
14．证明：(1)∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°.
∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＋∠ACB＝90°，
∴∠DAC＝∠ABC.
(2)∵CF是△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF.
∵∠BAC＝∠ADC＝90°，
∴∠AFE＋∠ACF＝∠CED＋∠BCF＝90°，
∴∠AFE＝∠CED.
又∵∠AEF＝∠CED，∴∠AFE＝∠AEF.
