11.2.1三角形的内角课件：2021—2022学年人教版八年级数学上册（28张）

11.2
第十一章三角形
【学习目标】
1.了解三角形的内角；
2.掌握用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.
3.了解辅助线的作用,能准确、规范地利用辅助线进行证明.规范推理过程,能够独立完成简单的证明过程
4.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题
【课前预习】
1．若一个三角形三个内角度数的比为5:4:9，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形D．不能确定
2．△ABC中，已知：∠A=40°∠B=50°，则△ABC中按角分类是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．斜三角形
3．在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD平分∠BAC，则∠ADC的度数为（ ）
A．50° B．80° C．90° D．100°
4．在△ABC中，∠A=75°，∠B=40°，则∠C的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
5．在△ABC中，∠A=70°，若∠B、∠C的平分线BE、CF交于点O，则∠BOC的度数为（ ）
A．115° B．125° C．135° D．110°
【课前预习】答案
1．A
2．B
3．D
4．A
5．B
探索并证明三角形内角和定理
在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
【学习探究】
方法：度量、剪拼、折叠
B
B
C
C
A
A
A
B
B
C
A
A
B
B
C
A
B
B
C
C
方法：度量、剪拼、折叠
A
B
C
方法：度量、剪拼、折叠
1　运用度量的方法，得出的三个内角的和都是180°吗？为什么？
不一定，测量可能会有误差．　　　
讨论
2　通过度量、剪拼或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的三个内角和等于180°，但我们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数个，我们如何能得出“所有的三角形的三个内角的和都等于180°”这个结论呢？
需要通过推理去证明．　　　
三角形三个内角的和等于180°.
F
2
1
E
C
B
A
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
A
C
B
C
B
证明：过点A作EF∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
想一想 同学们还有其他的方法吗？
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
证法3：过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE
(两直线平行,内错角相等).
∠EAB+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补).
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
C
B
A
E
知识要点
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
运用三角形内角和定理
例1　如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°， ∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数．
解：∵　由∠BAC=40 ° ， AD 是△ABC 的角平分线，得
∠BAD = ∠BAC = 20°.
在△ABD中，
∠ADB =180°– ∠B – ∠BAD
=180° – 75° – 20°
=85°.
北
北
C
A
B
D
E
例2　如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB 呢？
解：
∠CAB=∠BAD - ∠CAD
=80 °- 50 °
=30 °.
过C 点作正南方向线，则有
　∠1 = ∠3 ，∠2 = ∠4
（两直线平行，内错角相等），
∴∠ACB = ∠1 + ∠2
= ∠3 + ∠4
= 50°+ 40°
= 90°
（等量代换）．
北
北
C
A
B
D
E
南
3
4
1
2
A
B
C
探索直角三角形的性质
　　在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度数吗？为什么？你能求出∠A +∠B 的度数吗？
利用上面的结果，你能得出什么结论？
　　直角三角形的两个锐角互余．　　
A
B
C
　　直角三角形可以用符号“Rt△”表示，
直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
A
B
C
在Rt△ABC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠A +∠B =90°．　　
　　此性质的几何推理格式该怎样表示？
　　例3　如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
C
D
E
A
B
解：在Rt△AEC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠CAE +∠AEC =90°
（直角三角形两锐角互余）．
在Rt△BDE 中，
∵　∠D =90°，
　　例3　如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
C
D
E
A
B
解：∴　∠DBE +∠BED =90°
（直角三角形两锐角互余）．
∵　∠AEC =∠BED
（对顶角相等），
∴　∠CAE =∠DBE
（等角的余角相等）．
探索直角三角形的判定
　　我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？
　　利用三角形内角和定理可得：
有两个角互余的三角形是直角三角形．　　
　　类比性质的几何推理格式，判定的几何推理格式又该怎样表示？
推理格式：
在Rt△ABC 中，
∵　∠A +∠B =90°，
∴　△ABC 是直角三角形．
A
B
C
【课后练习】
1．若一个三角形的三个内角的度数之比为1：3：4，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形
2．下列说法中错误的是（　　）
A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：2：4，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A＝ ∠B﹣∠C，则△ABC为直角三角形C．在△ABC中，若∠A＝ ∠B＝ ∠C，则△ABC为直角三角形D．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形
3．一个三角形的三个内角中（ ）
A．至少有一个等于90°B．至少有一个大于90°C．不可能有两个大于89°D．不可能都小于60°
4．在△ABC中，∠A+∠C=∠B，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．△ABC 的三个顶点分别为A，B，C，给出下列条件：①∠A+∠B=∠C；②∠A:∠B:∠C=2:3:5；③∠A=90°；④∠A=∠B=∠C，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有(? ? ? ? )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则∠A=_________．
7．已知AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，∠B＝50°．若∠DAE＝10°，则∠BAC＝_____°．
8．在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠C，则∠B＝____度．
9．在△ABC中，∠C＝90°，如∠A比∠B小24°，则∠A＝_____度．
10．若一个三角形三个内角度数的比为1：3：6，则其最大内角的度数是________．
【课后练习】答案
1．B 2．D 3．D 4．B 5．C
6．30
7．60或100
8．60
9．33
10．108°