11.2.2三角形的外角课件-2021—2022学年人教版八年级数学上册（26张）

11.2.2
第十一章 三角形
【学习目标】
1．掌握三角形外角的概念；
2．掌握三角形的外角的性质；
3．能利用三角形的外角性质解决实际问题。
【课前预习】
1．给出下列命题：①三角形的一个外角等于两个内角和；②若∠A+∠B=∠C，则△ABC是直角三角形；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外．正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法正确的是（　　）
A． 的算术平方根是3 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．带根号的数都是无理数 D．三角形的一个外角大于任意一个内角
3．如果一个三角形的三个外角度数的比为1：4：4，则此三角形为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．饨角三角形 D．黄金三角形
4．三角形的一个外角等于相邻内角的4倍，则此三角形的一个外角的度数是 （ ）
A．45° B．135° C．36° D．144°
5．设a，b，c是某三角形的三个内角，则a+b，b+c，a+c中（ ）
A．至少有两个钝角 B．三个都可能是锐角
C．有两个锐角、一个钝角 D．有两个钝角、一个锐角
【课前预习】答案
1．A
2．B
3．C
4．D
5．A
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角是三角形的什么角呢？这就是本节课我们要学习的内容：三角形的外角.
新课导入
【学习探究】
A
B
C
D
　 如图，把△ABC 的一边BC 延长，得到∠ACD．这个角还是三角形的内角吗？
　 概念：
　　三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形的外角的概念
画一个△ABC ，你能画出它的所有外角吗？请动手试一试．同时想一想△ABC的外角共有几个呢？
每一个三角形都有６个外角．
每一个顶点相对应的外角都有２个,它们相等.
注：每个外角与相应的内角互为补角．
A
B
C
D
E
若∠BAC＝55°，∠ B=60°，试求∠ ACB, ∠ACD, ∠CAE的度数．
分别是65°，115°，125°
图中哪些角是三角形的内角，哪些角是三角形的外角？
内角有：∠B,∠BAC,∠ACB.
外角有:∠EAC,∠ACD.
　 通过上题的计算，你发现∠ACD， ∠CAE与三角形的内角之间有怎样的数量关系呢？请你试着用自己的语言说一说．你能简述一下推导过程吗？
∠ACD= ∠BAC+∠B; ∠ACD+ ∠ACB=180°.
∠CAE= ∠ACB+∠B; ∠CAE+ ∠BAC=180°.
A
B
C
D
E
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
每一个三角形都有6个外角．
总结归纳
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
三角形的外角的性质
二
问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角
∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
D
证明：过C作CE平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
验证结论
三角形内角和定理的推论
A
B
C
D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
知识要点
例1 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC
的度数.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°.
解：
F
A
C
D
E
B
典例精析
例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，
∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
E
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，
∠C=30°，求∠BDC的度数.
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
A
B
C
D
(
(
20 °
30 °
解法一：连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你发现了什么结论？
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
E
)
1
解法二：延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC
=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
)
2
F
解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
总结
三角形的外角和
三
例3 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法吗？
解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
∠CBF +∠2=180 ° ②，
∠ACD +∠3=180 ° ③，
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
解法三：过A作AM平行于BC，
∠3＝ ∠4
B
C
1
2
3
4
A
∠2＝ ∠BAM，
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360°
M
∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM，
结论：三角形的外角和等于360°.
思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？
D
E
F
【课后练习】
1．下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形的内角和是180° B．两直线平行，内错角相等
C．三角形的外角大于任何一个内角 D．同旁内角互补，两直线平行
2．下列命题中真命题的是（ ）
A．同旁内角互补 B．三角形的一个外角等于两个内角的和
C．若 a?=b?，则a=b D．同角的余角相等
3．若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（　　　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．△ABC的三条外角平分线相交构成一个△A1B1C1，则△A1B1C1（ ）
A．一定是直角三角形 B．一定是钝角三角形
C．一定是锐角三角形 D．不一定是锐角三角形
5．如果一个三角形中的其中一个外角等于与它相邻的内角，那么这个三角形是(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
6．在非直角三角形ABC中，∠A＝50°，高BD和高CE所在的直线相交于点H，则∠BHC＝___．
7．上午9时，一艘船从A处出发以20海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，若在A处测得灯塔C在北偏西34°，且∠ACB＝ ∠BAC，则灯塔C应在B处的________．
8．在△ABC中，若∠A=35°，∠B=68°，则与∠C相邻的外角等于______°
9．从A沿北偏东60°的方向行驶到B，再从B沿南偏西20°方向行驶到C，则∠ABC=______.
10．.己知，在△ABC中，AD是BC边上的高线，且∠ABC=26°，∠ACD=55°，则∠BAC=_______.
【课后练习】答案
1．C 2．D 3．D 4．C 5．A
6．50°或130°．
7．北偏西85°．
8．103°．
9．40
10．29°或99°