2021—2022学年度人教版初中八年级上册数学
课时过关培优小训练
第十二章 全等三角形
三角形全等的判定
第1课时 三角形全等的判定(SSS)
1．在△ABC和△DEF中，如果AB＝FD，BC＝DE，CA＝EF，那么(
)
A．△ABC≌△DEF
B．△ABC≌△EDF
C．△ABC≌△DFE
D．△ABC≌△FDE
2．如图
，AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝(
)
A
.110°
B
.40°
C
.30°
D
.20°
3．如图
，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以判定(
)
A．△ABD≌△ACD
B．△BDE≌△CDE
C．△ABE≌△ACE
D．以上都不正确
4.
如图，AB=CD,BC=DA,E、F是AC上的两点，且AE=CF,DE=BF,，那么图中全等三角形共有（
）对
A．4对
B．3对
C．2对
D．1对
5
如图
，AB=CD，BC=AD，则下列结论不一定正确的是（
）.
A.
AB∥DC
B.
∠B＝∠D
C.
∠A＝∠C
D.
AB=BC
6.
如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x－2，2x－1，若这两个三角形全等，则x等于（
）
A．
B．3
C．4
D．5
7．如图7，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，要判定△ABD≌△ACE，较为快捷的判定依据是
．
8如图
，已知AC＝DB，若要根据“SSS”判定得到△ABC≌△DCB，需添加的一个条件是
9．已知：∠AOB.
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.
①
②
作法：
(1)如图12?2?8①，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
(2)如图②，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC的长为半径画弧，交O′A′于点C′；
(3)以点C′为圆心，CD的长为半径画弧，与第(2)步中所画的弧交于点D′；
(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.
根据以上作图步骤，请你证明∠A′O′B′＝∠AOB.
10.
如图
，AB＝AD，CB＝CD.求证：∠B＝∠D.
11．如图
，在四边形ABCD中，AB＝CD，CB＝AD.求证：△ABC≌△CDA.
12．如图
，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．
13．如图
，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.求证：AE∥FB.
14.
如图
，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在直线l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．
15.
如图
，已知AB＝DC，DB＝AC.
(1)求证：∠B＝∠C；(注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据)
(2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？
16．
如图
，AB＝AE，BC＝ED，CF＝DF，AC＝AD.求证：∠BAF＝∠EAF.
参考答案
1.D
2.C
3． C
4．
SSS
5.
AB＝DC
6.
B
7.
D
8.
B
9．证明：由作图步骤可知，
在△C′O′D′和△COD中，
∴△C′O′D′≌△COD(SSS)，
∴∠C′O′D′＝∠COD，即∠A′O′B′＝∠AOB.
10.
证明：在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠B＝∠D.
11．证明：在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(SSS)．
12．
(1)证明：∵AD＝CF，
∴AD＋CD＝CF＋CD，
即AC＝DF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
(2)解：∵在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝88°，
∴∠ACB＝180°―∠A―∠B＝37°.
又∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB＝37°.
13．证明：∵AD＝BC，
∴AD＋CD＝BC＋CD，
即AC＝BD.
又∵AE＝BF，CE＝DF，
∴△ACE≌△BDF(SSS)，
∴∠A＝∠B，
∴AE∥FB.
14.
(1)证明：∵BF＝EC，
∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF.
又∵AB＝DE，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
(2)解：AB∥DE，AC∥DF.
理由：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，
∴AB∥DE，AC∥DF.
15.
(1)证明：连接AD，
在△BAD和△CDA中，
∴△BAD≌△CDA(SSS)．
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)．
16．证明：在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SSS)，
∴∠BAC＝∠EAD.
在△ACF和△ADF中，
∴△ACF≌△ADF(SSS)，
∴∠CAF＝∠DAF，
∴∠BAC＋∠CAF＝∠EAD＋∠DAF，
即∠BAF＝∠EAF.2021—2022学年度人教版初中八年级上册数学
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第十二章 全等三角形
三角形全等的判定
第2课时 三角形全等的判定(SAS)
1．图
中全等的三角形是(
)
A．①和②
B．②和③
C．②和④
D．①和③
2．如图
，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，能直接应用“SAS”判定△ABC≌△DEF的条件是(
)
?A．BC＝EF
?B．∠ACB＝∠DFE
?C．AC＝DF
?D．∠A＝∠D
3．如图
，在△MNP中，Q为MN的中点，且PQ⊥MN，则下列结论不正确的是(
)
?A．△MPQ≌△NPQ
?B．MP＝NP
?C．∠MPQ＝∠NPQ
?D．MQ＝NP
4.
能判定△ABC≌△A′B′C′的条件是（
）
A．AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′
B.
AB=A′B′，
∠A=∠A′，BC=B′C′
C.
AC=A′C′，
∠A=∠A′，BC=B′C
D.
AC=A′C′，
∠C=∠C′，BC=B′C
5．如图
，已知∠1＝∠2，若用“SAS”证明△ACB≌△BDA，还需要添加条件(
)
A．AD＝BC
B．AC＝BD
C．∠C＝∠D
D．OA＝OB
6．如图6，BE＝CD，AE＝AD，∠1＝∠2，∠2＝100°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为(
)
A
.20°
B
.30°
C
.40°
D
.50°
6
7．如图7，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF.请你添加一个条件：
(只需添加一个即可)，使△ABC≌△DEF.
7
8.
如图，已知BD=CD，要根据“SAS”判定△ABD≌△ACD，则还需添加的条件是
.
9
如图，AC与BD相交于点O，若AO=BO，AC＝BD，∠DBA=30°，∠DAB=50°，
则∠CBO=
度.
10.如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE
的两侧，AB∥DE，BF=CE，请添加一个适当的条件：
，
使得AC=DF.
11．
如图12?2?22，O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC.
(1)求证：△AOD≌△OBC；
(2)若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数．
12.
已知，在图
的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC.求证：∠E＝∠C.
证明：∵∠BAE＝∠DAC，
13.
如图
，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE.求证：∠B＝∠C.
14
如图
，已知OA＝OD，AC＝DB，图中有哪些三角形全等？为什么？
15．
如图
，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE.
(1)求证：△ABE≌△DBE；
(2)若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．
16．
如图
，AF＝DC，BC∥EF，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF.
17．
如图
，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：DM＝DN.
参考答案
1.
D
2.
A
3.
D
4.
D
5．
B
6．
C
7．
AC＝DF，∠B＝∠DEF或AB∥DE
8.
∠CDA＝∠BDA
9.
20
10.
AB=DE．
11．
(1)证明：∵O是线段AB的中点，
∴AO＝BO.
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠OBC.
在△AOD与△OBC中，
∴△AOD≌△OBC(SAS)．
(2)解：∵△AOD≌△OBC，∠ADO＝35°，
∴∠OCB＝35°.
∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCB＝35°.
12.
证明：∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE＋∠EAC＝∠DAC＋∠EAC，
即∠BAC＝∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴∠E＝∠C.
13.
证明：在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE(SAS)，∴∠B＝∠C.
14.
解：△OAB≌△ODC，△ABC≌△DCB.
理由：∵OA＝OD，AC＝DB，∴AC－OA＝DB－OD，即OC＝OB.
又∵∠AOB＝∠DOC，∴△OAB≌△ODC(SAS)，∴AB＝DC.
又∵BC＝CB，AC＝DB，∴△ABC≌△DCB(SSS)．
15．
(1)证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE.
在△ABE和△DBE中，
∴△ABE≌△DBE(SAS)．
(2)解：∵∠A＝100°，∠C＝50°，∴∠ABC＝30°.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝15°.
在△ABE中，∠AEB＝180°－∠A－∠ABE＝180°－100°－15°＝65°.
16．证明：∵AF＝DC，
∴AF＋FC＝DC＋FC，
即AC＝DF.
∵BC∥EF，
∴∠ACB＝∠DFE.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
17．证明：∵AM＝2MB，
∴AM＝AB，
同理AN＝AC.
又∵AB＝AC，∴AM＝AN.
∵AD平分∠BAC，
∴∠MAD＝∠NAD.
在△AMD和△AND中，
∴△AMD≌△AND(SAS)，∴DM＝DN.2021—2022学年度人教版初中八年级上册数学
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第十二章 全等三角形
三角形全等的判定
第3课时 三角形全等的判定(ASA，AAS)
1．不能判定两个三角形全等的条件是(
)
?A．三条边对应相等
?B．两边及其夹角对应相等
?C．两角及其中一角的对边对应相等
?D．两条边和一条边所对的角对应相等
2．如图
，a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是(
)
?A．甲和乙
?B．乙和丙
?C．甲和丙
?D．只有丙
3．如图
，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E三点在同一直线上，可以说明△EDC≌△ABC，从而可得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是(
)
?A．边角边
?B．角边角
?C．边边边
?D．边边角
4．如图
所示，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC的中点，过点D分别向AB，AC作垂线段，则能够说明△BDE≌△CDF的理由是(
)
?A．SSS?
?B．SAS?
?
C．ASA?
?D．AAS?
5.
如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
A.BD=DC，AB=AC
B.∠ADB=∠ADC，BD=DC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD
D.∠B=∠C，BD=DC
6.如图，已知中，，
是高和的
交点，，则线段的长度为（
）.
A．
B．
4
C．
D．
7.
如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边
三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）
A.
△ACE≌△BCD
B.
△BGC≌△AFC
C.
△DCG≌△ECF
D.
△ADB≌△CEA
8.
如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC．∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且
BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：
①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE；上述结论一定正确的是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①③⑤
D．①③④
9．
如图
，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D；②AC＝DB；③AB＝DC.其中不能确定△ABC≌△DCB的是
．(填序号)
10.如图
，已知AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是
．(不添加任何字母和辅助线)
11.如图，△ABC中，BD=EC，∠ADB=∠AEC，∠B=∠C，则∠CAE=
.
(
E
D
C
B
A
)
12
如图，点B、E、F、C在同一直线上,已知∠A
=∠D，∠B
=∠C，要使△ABF≌△DCE，以“AAS”需要补充的一个条件是
（写出一个即可）．
13.如图，AD=BC，AC=BD，则图中全等三角形有
对.
(
C
O
D
B
A
)
14．
如图
，已知点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，BF＝CE，AB∥DE.求证：△ABC≌△DEF.
15．
如图
，AB∥CD，AD和BC相交于点O，OA＝OD.求证：OB＝OC.
，
16．如图
，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：BC＝DE.
17．
[2020·南关区校级期末]如图12?2?36，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4
cm?，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3
cm/s?的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1
cm/s?的速度运动，P，Q两点同时出发．当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t(s)．
(1)求证：AB∥DE；
(2)写出线段AP的长(用含t的式子表示)；
(3)连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.D
5.D
6.B
7.D
8.D
9．②
10．AB＝AC，∠ADC＝∠AEB或∠B＝∠C(答案不唯一)
11.
∠BAD
12.
AF=DE或BF=CE或BE=CF
13.
3
14．证明：∵BF＝CE，
∴BF－FC＝CE－CF，即BC＝EF.
∵AB∥DE，∴∠E＝∠B，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(ASA)．
15．证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C.
在△AOB和△DOC中，
∴△AOB≌△DOC(AAS)，∴OB＝OC.
16．证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(ASA)，∴BC＝DE.
17．
(1)证明：在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC(SAS)，
∴∠A＝∠E，∴AB∥DE.
(2)解：当0≤t≤时，AP＝3t
cm?；
当cm?，
则AP＝4－(3t－4)＝(8－3t)
cm?．
综上所述，线段AP的长为3t
cm或(8－3t)
cm?．
(3)解：由(1)得∠A＝∠E，ED＝AB＝4
cm?．
如答图，在△ACP和△ECQ中，
∴△ACP≌△ECQ(ASA)，
∴AP＝EQ.
答图
当0≤t≤时，3t＝4－t，解得t＝1；
当综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1
s或2
s?．2021—2022学年度人教版初中八年级上册数学
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第十二章 全等三角形
三角形全等的判定
第4课时 直角三角形全等的判定(HL)
1．不能使两个直角三角形全等的条件是(
)
?A．一条直角边及其对角对应相等
?B．斜边和一条直角边对应相等
?C．斜边和一锐角对应相等
?D．两个锐角对应相等
2．如图
，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是(
)
?A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3
?B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°
?C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3
?D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°
3．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，则下列条件不能判定△ABC和△DEF全等的是(
)
?A．AB＝DE，AC＝DF
?B．AC＝EF，BC＝DF
?C．AB＝DE，BC＝EF
?D．∠C＝∠F，BC＝EF
4.
如图,∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=30°，则∠2的度数为(
)
A.
30°
B.
60°
C.
30°和60°之间
D.
以上都不对
5.
如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的
依据是(
)
A.
AAS
B.SAS
C.HL
D.SSS
6.
已知在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是(
)
A.AB=DE,AC=DF
B.AC=EF,BC=DF
C.AB=DE,BC=EF
D.∠C=∠F,BC=EF
7.
如图,AB∥EF∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形(
)
A.5对;
B.4对;
C.3对;
D.2对
8.
要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有(
)
①有两条直角边对应相等;
②有两个锐角对应相等;
③有斜边和一条直角边对应相等;
④有一条直角边和一个锐角相等;
⑤有斜边和一个锐角对应相等;
⑥有两条边相等.
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
9．如图
，在△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要添加条件
，若添加条件∠B＝∠C，则可用“
”判定．
10．如图
，BE，CD是△ABC的高，且BD＝CE，则判定△BCD≌△CBE的依据是“
”．
,
11．如图
，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是
．
12．如图
，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE＝BF.求证：
(1)AF＝CE；
(2)AB∥CD.
13.
如图
，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF.请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线，并说明理由．
14．如图
，AB⊥CF于点B，AD⊥CE于点D，且AB＝AD，DE＝BF.求证：AF＝AE.
证明：在Rt△ABF和Rt△ADE中，
∴?Rt△ABF≌Rt△ADE(HL)，
∴AF＝AE.
上面的推理过程正确吗？如果不正确，说明错在哪里，并写出正确的推理过程．
15．[2020·松北区期末]在△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E.
(1)如图12?2?46①，求证：△ABE≌△ACD；
(2)如图②，BE与CD交于点O，连接AO，直接写出图中所有的全等三角形(△ABE≌△ACD除外)，并说明理由．
①
②
16．
如图
，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，AF⊥CD.求证：F是CD的中点．
参考答案
1.
B
2.
D
3．
B
4.
B
5.
B
46.
B
7.
C
8.
C
9．AB＝AC
AAS
10.
HL
11．AB＝DC，AC＝DB，∠ABC＝∠DCB或∠ACB＝∠DBC
12．证明：(1)在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，
∴AF＝CE.
(2)∵Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴∠A＝∠C，∴AB∥CD.
13.
解：AD是△ABC的中线．
理由如下：
∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴BD＝CD，
∴AD是△ABC的中线．
14．
解：不正确，错用了“HL”．
证明：∵AB⊥CF，AD⊥CE，
∴∠ABF＝∠ADE＝90°.
在△ABF和△ADE中，
∴△ABF≌△ADE(SAS)，∴AF＝AE.
15．(1)证明：∵AB＝AC，BD＝CE，
∴AB－BD＝AC－CE，∴AD＝AE.
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ACD中，
∴Rt△ABE≌Rt△ACD(HL)．
(2)解：全等三角形有：△DOB≌△EOC，△BEC≌△CDB，△ABO≌△ACO，△ADO≌△AEO.理由：
∵?Rt△ABE≌Rt△ACD，∴∠ABE＝∠ACD，
在△DOB和△EOC中，
∴△DOB≌△EOC(AAS)，
∴OB＝OC，DO＝EO，
∴∠EBC＝∠DCB，OD＋OC＝OE＋OB，
∴DC＝BE.
在△BEC和△CDB中，，
∴△BEC≌△CDB(SAS)．
在△ABO和△ACO中，，
∴△ABO≌△ACO(SSS)．
在△ADO和△AEO中，，
∴△ADO≌△AEO(SSS)．
16．证明：连接AC，AD.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SAS)，
∴AC＝AD.
在Rt△ACF和Rt△ADF中，
∴Rt△ACF≌Rt△ADF(HL)，
∴CF＝DF，即F为CD的中点．
．
