13.1.2线段的垂直平分线的性质 课后练习-2021-2022学年人教版数学八年级上册（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 13.1.2线段的垂直平分线的性质 课后练习-2021-2022学年人教版数学八年级上册（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 543.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-07 15:19:01 | ||
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文档简介
线段的垂直平分线的性质
一、单选题
1．下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（
）
A．作一个角等于已知角
B．作一个角的平分线
C．作一条线段的垂直平分线
D．过直线外一点P作已知直线的垂线
2．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到边的中点的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在中，的垂直平分线交于G，，则的周长是（
）
A．
B．
C．
D．
4．△ABC的两边AB、AC的中垂线交于边BC上的P点，则线段PA和BC的关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，是的中线，分别在边上（不与端点重合），且，则（
）．
A．
B．
C．
D．与的长短关系不确定
6．用尺规作图作直线的一条垂线，下面是甲，乙两个同学做图描述：
甲：如图1，在直线上任取一点，以为圆心任意长为半径画弧，与直线相交于点、两点，再分别以、为圆心以大于长为半径画弧，两弧相交于点，做直线即为所求
乙：如图2在直线上任取两点，作线段的垂直平分线
下面说法正确的是（
）
A．甲对，乙不对
B．乙对甲不对
C．甲乙都对
D．甲乙都不对
7．如图，在中，边上两点、分别在、的垂直平分线上，若，则的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交?于点D和点E，若，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
9．到三角形三个顶点距离相等的点是（
）的交点．
A．三角形三边垂直平分线的交点
B．三角形三条高的交点
C．三角形三条中线的交点
D．三角形三条角平分线的交点
10．如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图，，，点在线段的垂直平分线上，若，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
12．如图，的面积为，的平分线垂直于点P，则的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
13．如图，已知垂直平分，若，则四边形的周长是（
）
A．
B．
C．
D．
14．如图，在中，，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，其中正确的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
15．如图，已知∠B＝20°，∠C＝30°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（ ）
A．50°
B．75°
C．80°
D．105°
二、填空题
16．如图，已知垂直平分交于点D，交于点E，则__________．
17．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，△ABC的周长为16cm，△ABD的周长为12cm，则BE的长为
___cm．
18．如图，在中，DE垂直平分BC交AB于点E，若，的周长为31，则的周长为_________．
19．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为__．
20．“又是一年三月三，风筝飞满天”．如图是一个燕子形风筝的图案，已知它是轴对称图形，对称轴为，则的度数为__，与的数量关系为__．
三、解答题
21．如图所示，村庄，分别在笔直公路的两侧．一辆汽车在公路上行驶，汽车在什么位置时到，两村庄的距离相等？请找出这个点，并说明理由．
22．某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示（点M，N表示大学，OA，OB表示公路）现计划修建一座物资仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．请你用尺规确定仓库所在的位置．
23．已知，如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交BC于D，若AE=5cm，△ABD的周长为18cm，求△ABC的周长．
24．如图，，，求证：．
25．如图所示，在中，，；
（1）下列操作中，直线是______的垂直平分线，作直线的正确顺序应该是______．（填序号）
①过点，作直线．
②分别以，为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点，．
③则直线就是线段______的垂直平分线．
（2）若直线交于点，交于点，连接，则的周长为______．
26．如图，中，边的垂直平分线交于点P．
（1）求证：．
（2）点P是否也在边的垂直平分线上？请说明理由．
参考答案
1．C
解：A.作一个角等于已知角的方法正确，不符合题意；
B.作一个角的平分线的作法正确，不符合题意；
C.作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误，符合题意；
D.过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确，不符合题意．
故选：C．
2．A
解：由A项图的痕迹可知：符合线段AB的垂直平分线的尺规作图方法，故A选项正确；
由B项图的痕迹可知：该图是的角平分线的尺规作图方法，故B选项错误；
由C项图的痕迹可知：该图是AB边上高线的尺规作图方法，故C选项错误；
由D项图的痕迹可知：该图是线段BC的垂直平分线的尺规作图方法，故D选项错误；
故选：A
3．B
解：∵DG垂直平分AB，
∴AG=BG，AD=BD，
∴△BGC的周长=BG+CG+BC=AG+CG+BC=AC+BC=m+n，
故选B．
4．B
解：如图所示，△ABC的两边AB、AC的中垂线交于边BC上的P点，
∴AP＝BP，AP＝CP，
∴AP＝BP＝CP＝BC，
故选：B．
5．A
解：如图，延长至点G，使，连接，
是边上的中线，
,
又，
是的垂直平分线，
，
又
(SAS)，
，
．
故选A．
6．C
解：甲图先尺规作图得到AC=BC，再得到AD=BD，根据等腰三角形的三线合一可知CD⊥AB，故正确；
乙图为垂直平分线的作图方法，故正确；
故选C．
7．C
解：分别在，的垂直平分线上，
，，
的周长为，
，
，
即，
故选：C．
8．A
解：由题意可知：MN是线段AB的垂直平分线，
∴DB=DA，
∴∠B=∠BAD=50°，
又AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∴∠BAC=80°，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°，
故选：A．
9．A
解：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，
到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，
故选：Ａ．
10．B
解：作AC的中垂线，交BC于点P，则PA=PC，
∵BC=PB+PC，
∴PA+PB=BC，
故选：B．
11．C
解：，，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
，
故选：．
12．B
解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∠ABP=∠EBP，
又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°，
∴△ABP≌△BEP，
∴S△ABP=S△BEP，AP=PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC=S△PCE，
∴S△PBC=S△PBE+S△PCE=
S△ABC=4cm2，
故选：B．
13．A
解：∵CD垂直平分AB，若AC=3cm，AD=5cm，
∴AC=BC=3cm，AD=BD=5cm，
∴四边形ADBC的周长为AD+AC+BD+BC=16cm．
故选A．
14．C
解：∵平分，，，
∴，，
∴，故①正确；
∵AD=AD，
∴（HL），
∴，故②正确；
∴垂直平分，故③正确；
由已知及①②③的结论无法得出垂直平分，故④错误；
∴正确的个数有3个；
故选C．
15．C
解：在△ABC中，∠B=20°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-20°-30°=130°，
∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，
∴PA=PB，QA=QC，
∴∠PAB=∠B=20°，∠QAC=∠C=30°，
∴∠PAQ=130°-20°-30°=80°，
故选：C．
16．
解：∵，，
∴
，
∵垂直平分交于点D，
∴
，
∴
，
∴，
故答案为：
17．2
解：∵△ABC的周长为16cm，
∴AB+AC+BC=16cm，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，BE=EC，
∵△ABD的周长为12cm，
∴AB+BD+DA=AB+CD+DA=AB+AC=12cm，
∴BC=4cm，
∴BE=2cm，
故答案为：2．
18．21
解：∵DE是BC的垂直平分线，BD=5，
∴EB=EC，BC=2BD=10，
∵△ABC的周长为31，
∴AB+AC+BC=31，
∴AB+AC=21，
∴△ACE的周长=AC+AE+EC=AC+AE+EB=AB+AC=21，
故答案为：21．
19．11．
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
同理，GA＝GC，
∴△AEG的周长＝AE+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝11，
故答案为：11．
20．
解：对称轴为，与是对应点，
是的垂直平分线，
，，
的度数，与的数量关系为，
故答案为：；．
21．位置见解析，理由见解析
解：如图，连接，作线段的垂直平分线，且交公路与点，点即为所求，
理由：∵点C是线段AB垂直平分线上的点，
∴CA=CB．
22．作图见解析．
解：分别作的平分线和MN的垂直平分线；
作图步骤如下：
①以为圆心，任意长度为半径作弧，交于两点，分别以为圆心，以大于为半径在角的内部分别作弧，交于一点，作射线；
②分别以为圆心，以大于为半径在的两侧分别作弧，交于,作直线；
与的交点即为所求
如图所示，P在的平分线和MN的垂直平分线的交点上，点P就是仓库应该修建的位置．
23．28cm
解：∵DE是AC的中垂线，
∴AD=CD
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，
又∵AE=5cm，
∴AC=2AE=2×5=10cm，
∴△ABC的周长=18+10=28cm．
24．见解析
解：∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∵PB=PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AP是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD．
25．（1），②①③，；（2）20
解：（1）由基本作图知：MN是线段BC的垂直平分线，
分别以B，C为圆心，大于BC的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N，
过点M，N作直线，
则直线MN就是线段BC的垂直平分线．
故答案为：BC，②①③，BC；
（2）从作法可知：MN是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=8+12=20，
故答案为：20．
26．（1）见解析；（2）在，理由见解析
解：（1）∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，
∴PA=PB，PB=PC．
∴PA=PB=PC．
（2）∵PA=PC，
∴点P在边AC的垂直平分线上．
一、单选题
1．下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（
）
A．作一个角等于已知角
B．作一个角的平分线
C．作一条线段的垂直平分线
D．过直线外一点P作已知直线的垂线
2．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到边的中点的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在中，的垂直平分线交于G，，则的周长是（
）
A．
B．
C．
D．
4．△ABC的两边AB、AC的中垂线交于边BC上的P点，则线段PA和BC的关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，是的中线，分别在边上（不与端点重合），且，则（
）．
A．
B．
C．
D．与的长短关系不确定
6．用尺规作图作直线的一条垂线，下面是甲，乙两个同学做图描述：
甲：如图1，在直线上任取一点，以为圆心任意长为半径画弧，与直线相交于点、两点，再分别以、为圆心以大于长为半径画弧，两弧相交于点，做直线即为所求
乙：如图2在直线上任取两点，作线段的垂直平分线
下面说法正确的是（
）
A．甲对，乙不对
B．乙对甲不对
C．甲乙都对
D．甲乙都不对
7．如图，在中，边上两点、分别在、的垂直平分线上，若，则的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交?于点D和点E，若，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
9．到三角形三个顶点距离相等的点是（
）的交点．
A．三角形三边垂直平分线的交点
B．三角形三条高的交点
C．三角形三条中线的交点
D．三角形三条角平分线的交点
10．如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图，，，点在线段的垂直平分线上，若，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
12．如图，的面积为，的平分线垂直于点P，则的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
13．如图，已知垂直平分，若，则四边形的周长是（
）
A．
B．
C．
D．
14．如图，在中，，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，其中正确的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
15．如图，已知∠B＝20°，∠C＝30°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（ ）
A．50°
B．75°
C．80°
D．105°
二、填空题
16．如图，已知垂直平分交于点D，交于点E，则__________．
17．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，△ABC的周长为16cm，△ABD的周长为12cm，则BE的长为
___cm．
18．如图，在中，DE垂直平分BC交AB于点E，若，的周长为31，则的周长为_________．
19．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为__．
20．“又是一年三月三，风筝飞满天”．如图是一个燕子形风筝的图案，已知它是轴对称图形，对称轴为，则的度数为__，与的数量关系为__．
三、解答题
21．如图所示，村庄，分别在笔直公路的两侧．一辆汽车在公路上行驶，汽车在什么位置时到，两村庄的距离相等？请找出这个点，并说明理由．
22．某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示（点M，N表示大学，OA，OB表示公路）现计划修建一座物资仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．请你用尺规确定仓库所在的位置．
23．已知，如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交BC于D，若AE=5cm，△ABD的周长为18cm，求△ABC的周长．
24．如图，，，求证：．
25．如图所示，在中，，；
（1）下列操作中，直线是______的垂直平分线，作直线的正确顺序应该是______．（填序号）
①过点，作直线．
②分别以，为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点，．
③则直线就是线段______的垂直平分线．
（2）若直线交于点，交于点，连接，则的周长为______．
26．如图，中，边的垂直平分线交于点P．
（1）求证：．
（2）点P是否也在边的垂直平分线上？请说明理由．
参考答案
1．C
解：A.作一个角等于已知角的方法正确，不符合题意；
B.作一个角的平分线的作法正确，不符合题意；
C.作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误，符合题意；
D.过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确，不符合题意．
故选：C．
2．A
解：由A项图的痕迹可知：符合线段AB的垂直平分线的尺规作图方法，故A选项正确；
由B项图的痕迹可知：该图是的角平分线的尺规作图方法，故B选项错误；
由C项图的痕迹可知：该图是AB边上高线的尺规作图方法，故C选项错误；
由D项图的痕迹可知：该图是线段BC的垂直平分线的尺规作图方法，故D选项错误；
故选：A
3．B
解：∵DG垂直平分AB，
∴AG=BG，AD=BD，
∴△BGC的周长=BG+CG+BC=AG+CG+BC=AC+BC=m+n，
故选B．
4．B
解：如图所示，△ABC的两边AB、AC的中垂线交于边BC上的P点，
∴AP＝BP，AP＝CP，
∴AP＝BP＝CP＝BC，
故选：B．
5．A
解：如图，延长至点G，使，连接，
是边上的中线，
,
又，
是的垂直平分线，
，
又
(SAS)，
，
．
故选A．
6．C
解：甲图先尺规作图得到AC=BC，再得到AD=BD，根据等腰三角形的三线合一可知CD⊥AB，故正确；
乙图为垂直平分线的作图方法，故正确；
故选C．
7．C
解：分别在，的垂直平分线上，
，，
的周长为，
，
，
即，
故选：C．
8．A
解：由题意可知：MN是线段AB的垂直平分线，
∴DB=DA，
∴∠B=∠BAD=50°，
又AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∴∠BAC=80°，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°，
故选：A．
9．A
解：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，
到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，
故选：Ａ．
10．B
解：作AC的中垂线，交BC于点P，则PA=PC，
∵BC=PB+PC，
∴PA+PB=BC，
故选：B．
11．C
解：，，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
，
故选：．
12．B
解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∠ABP=∠EBP，
又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°，
∴△ABP≌△BEP，
∴S△ABP=S△BEP，AP=PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC=S△PCE，
∴S△PBC=S△PBE+S△PCE=
S△ABC=4cm2，
故选：B．
13．A
解：∵CD垂直平分AB，若AC=3cm，AD=5cm，
∴AC=BC=3cm，AD=BD=5cm，
∴四边形ADBC的周长为AD+AC+BD+BC=16cm．
故选A．
14．C
解：∵平分，，，
∴，，
∴，故①正确；
∵AD=AD，
∴（HL），
∴，故②正确；
∴垂直平分，故③正确；
由已知及①②③的结论无法得出垂直平分，故④错误；
∴正确的个数有3个；
故选C．
15．C
解：在△ABC中，∠B=20°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-20°-30°=130°，
∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，
∴PA=PB，QA=QC，
∴∠PAB=∠B=20°，∠QAC=∠C=30°，
∴∠PAQ=130°-20°-30°=80°，
故选：C．
16．
解：∵，，
∴
，
∵垂直平分交于点D，
∴
，
∴
，
∴，
故答案为：
17．2
解：∵△ABC的周长为16cm，
∴AB+AC+BC=16cm，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，BE=EC，
∵△ABD的周长为12cm，
∴AB+BD+DA=AB+CD+DA=AB+AC=12cm，
∴BC=4cm，
∴BE=2cm，
故答案为：2．
18．21
解：∵DE是BC的垂直平分线，BD=5，
∴EB=EC，BC=2BD=10，
∵△ABC的周长为31，
∴AB+AC+BC=31，
∴AB+AC=21，
∴△ACE的周长=AC+AE+EC=AC+AE+EB=AB+AC=21，
故答案为：21．
19．11．
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
同理，GA＝GC，
∴△AEG的周长＝AE+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝11，
故答案为：11．
20．
解：对称轴为，与是对应点，
是的垂直平分线，
，，
的度数，与的数量关系为，
故答案为：；．
21．位置见解析，理由见解析
解：如图，连接，作线段的垂直平分线，且交公路与点，点即为所求，
理由：∵点C是线段AB垂直平分线上的点，
∴CA=CB．
22．作图见解析．
解：分别作的平分线和MN的垂直平分线；
作图步骤如下：
①以为圆心，任意长度为半径作弧，交于两点，分别以为圆心，以大于为半径在角的内部分别作弧，交于一点，作射线；
②分别以为圆心，以大于为半径在的两侧分别作弧，交于,作直线；
与的交点即为所求
如图所示，P在的平分线和MN的垂直平分线的交点上，点P就是仓库应该修建的位置．
23．28cm
解：∵DE是AC的中垂线，
∴AD=CD
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，
又∵AE=5cm，
∴AC=2AE=2×5=10cm，
∴△ABC的周长=18+10=28cm．
24．见解析
解：∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∵PB=PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AP是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD．
25．（1），②①③，；（2）20
解：（1）由基本作图知：MN是线段BC的垂直平分线，
分别以B，C为圆心，大于BC的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N，
过点M，N作直线，
则直线MN就是线段BC的垂直平分线．
故答案为：BC，②①③，BC；
（2）从作法可知：MN是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=8+12=20，
故答案为：20．
26．（1）见解析；（2）在，理由见解析
解：（1）∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，
∴PA=PB，PB=PC．
∴PA=PB=PC．
（2）∵PA=PC，
∴点P在边AC的垂直平分线上．