2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册第十一章立体几何初步单元测试卷（Word含答案解析）

人教B版（2019）必修第四册《第十一章
立体几何初步》2021年单元测试卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．如图是一个正方体的平面展开图，则在原正方体中，AB与CD所成的角为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，，且三棱锥P﹣ABC的体积为，若三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）
A．4π
B．
C．8π
D．16π
3．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥γ，b∥a，则b∥γ；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，a⊥b，则b∥γ．
其中真命题的个数是（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，点P在平面ABCD上的射影为AD的中点O．若AB＝2，AD＝6，PO＝4，则四棱锥P﹣ABCD的表面积等于（　　）
A．34+6
B．
C．6+64
D．6+64
5．在四面体ABCD中，若AB＝CD，AC＝BD＝2，AD＝BC，则四面体ABCD的外接球的表面积为（　　）
A．2π
B．4π
C．6π
D．8π
6．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2256种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2256次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行2.5×1011次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（　　）（参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.477）
A．4.5×1073秒
B．4.5×1065秒
C．4.5×107秒
D．28秒
7．已知如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1＝（　　）
A．2
B．
C．
D．1
8．已知平面α和α外的一条直线l，下列说法不正确的是（　　）
A．若l垂直于α内的两条平行线，则l⊥α
B．若l平行于α内的一条直线，则l∥α
C．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α
D．若l平行于α内的无数条直线，则l∥α
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，若平面SAD∩平面SBC＝l．以下四个结论中正确的是
（　　）
A．AD∥平面SBC
B．l∥AD
C．若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积
D．l与平面SCD所成的角为45°
10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，点M，N，P分别是平面ADD1A1、平面CDD1C1、平面ABCD的中心，点Q是线段A1C1上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．PN与A1C1所成角为
B．D点到平面MNP的距离为a
C．三棱锥M﹣NPQ的体积为定值a3
D．直线DQ与平面A1ACC1所成角的正切值的最大值为
11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（　　）
A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．直线AP∥平面A1C1D
C．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值
D．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[，]
12．在三棱锥A﹣BCD中，△ABC，△BCD都是边长为的正三角形，AD＝a（0＜a＜6），M是棱AC的中点，则在a的变化过程中，下列说法正确的是（　　）
A．直线AD与直线BC所成的角都为
B．当时，三棱锥A﹣BCD的体积取得最大值
C．当时，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为28π
D．存在某个实数a，使得∠MBD＝90°
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．正方体外接球的表面积为16π，则该正方体的表面积为　
　．
14．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是边长为6的等边三角形，PA＝PB＝PC，先在三棱锥P﹣ABC内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及三棱锥P﹣ABC的三个侧面都相切，则球O1的体积为　
　，球O2的表面积为　
　．
15．在直角三角形ABC中，AC＝1，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则BC边长的最大值为　
　．
16．四棱锥P﹣ABCD的顶点都在同一球面上，若该棱锥底面为正方形，且AB＝2，PA⊥面ABCD，PA＝4，则该球的体积与四棱锥体积之比为　
　．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，E，F分别为A1C1，BC的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面BB1C1C；
（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE．
18．如图所示正四棱锥S﹣ABCD，SA＝SB＝SC＝SD＝2，AB，P为侧棱SD上的点．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SΔSAP＝3SΔAPD，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
19．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）设AB长为1，点E为BD的中点，求点D到平面ACE的距离．
20．已知正四棱锥P﹣ABCD的全面积为2，记正四棱锥的高为h．
（1）试用h表示底面边长，并求正四棱锥体积V的最大值；
（2）当V取最大值时，求异面直线AB和PD所成角的正切值．
21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝BC＝AB＝2，∠ABC，D、E、F分别为AC、PA、PB的中点．
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）求三棱锥C﹣DEF的体积．
22．随着炎炎夏日的高温攀升和国内疫情的稳定好转，大家逐渐开始不满于口罩的“束缚”，街头巷尾，不戴口罩的人越来越多．不戴口罩固然能让人“呼吸顺畅”倍感轻松，但是戴口罩，对于新冠肺炎、流感、肺结核等呼吸道传染病具有很好的预防作用，既保护了自己，又有益于公众健康．尤其在新冠肺炎疫情防控工作中，口罩发挥了重要的作用．下面是2020年8月1日口罩市场的价格表（单位：元）：
型号
价格
厂家
一次性普通口罩
一次性医用口罩
民用KN95口罩
医用KN95口罩
A
0.31
0.86
1.98
9.38
B
0.55
0.72
1.84
9.05
C
0.39
0.76
2.71
8.31
（1）根据A、B、C三个厂家的数据，分别求一次性普通口罩、一次性医用口罩、民用KN95口罩、医用KN95口罩的平均价格（结果保留三位小数）；
（2）若某药店要进一批口罩销售，这四种型号的口罩各进货1000只，一次性普通口罩以1元钱销售，一次性医用口罩以2元钱销售，民用KN95口罩以3元钱销售，医用KN95口罩以10元钱销售，若这批口罩将全部出售，请问该药店在哪一个厂家进货利润更大（四种类型的口罩都在同一厂家进货）？
人教B版（2019）必修第四册《第十一章
立体几何初步》2021年单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．解：由题意可知正方体的直观图如图：
连接AE，EB，则AE∥CD，
所以∠EAB就是AB与CD所成的角，因为几何体是正方体，所以△AEB是正三角形，
所以AB与CD所成的角为：．
故选：C．
2．解：∵三棱锥P﹣ABC的体积为，
∴PA，
∴PA，
将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，
球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，
∵△ABC是边长为2的正三角形，
∴△ABC外接圆的半径r，
∴球的半径为2，
∴球O的表面积为4π×22＝16π．
故选：D．
3．解：若a∥γ，b∥a，则b∥γ或b?γ，所以①不正确；
若三条直线在同一平面内，则a∥c，
若三条直线不在同一平面内，则a，c的位置关系不确定，所以②不正确；
a与b有可能平行，也有可能异面或相交，所以③不正确；
若a⊥γ，a⊥b，则b∥γ或b?γ，所以④不正确．
故选：A．
4．解：因为点P在平面ABCD上的射影为AD的中点O，
所以PO⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以CD⊥PO，
又底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD，AD∩PO＝O，
所以CD⊥平面PAD，又PD?平面PAD，
所以PD⊥CD，故△PDC为直角三角形，
在Rt△PDC中，CD＝AB＝2，PD，
所以，，
S矩形ABCD＝AB?AD＝2×6＝12，
连结OC，取BC的中点E，连结PE，
因为，，
由题意可知，PB＝PB，则PE⊥BC，且，
所以，
所以四棱锥P﹣ABCD的表面积为2S△PDC+S△PAD+S△PBC+S矩形ABCD
．
故选：A．
5．解：如下图所示，
将四面体ABCD放在长方体AEBF﹣GCHD内，设该长方体的长、宽、高分别为x、y、z，
则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为R，
由勾股定理得，
上述三个等式全加得2（x2+y2+z2）＝12，
所以，该四面体的外接球直径为，
因此，四面体ABCD的外接球的表面积为4πR2＝π×（2R）2＝6π，
故选：C．
6．解：设这台机器破译密码所需时间大约为x秒，
则：x?2.5×1011＝2256，
两边同时取常用对数得：lg（x?2.5×1011）＝lg2256，
∴lgx+lg2.5+lg1011＝256lg2，
∴lgx+lg5﹣lg2+11＝256lg2，
∴lgx+1﹣lg2﹣lg2+11＝256lg2，
∴lgx＝258lg2﹣12≈258×0.301﹣12＝65.658，
∴x≈1065.658＝1065×100.658，
而lg4.5＝lg2lg3﹣lg2≈0.653，∴100.658≈4.5，
∴x≈4.5×1065，
故选：B．
7．解：连接AB1，交BA1于E，取B1C1的中点为P，因为E是AB1D的中点，所以EP∥AC1，
所以PC1＝1．
故选：D．
8．解：若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α，故A错误，C正确；
由直线与平面平行的判定可知，若平面α外的直线l平行于α内的一条直线，则l∥α，故B正确；
若平面α外的直线l平行于α内的无数条直线，也符合直线与平面平行的判定，则l∥α，故D正确．
故选：A．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．解：已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，若平面SAD∩平面SBC＝l，
所以ABCD是正方形．所以AD∥BC，BC?平面SBC，所以AD∥平面SBC；A正确；
因为l，AD?平面SAD，l，BC?平面SBC，AD∥平面SBC，所以l∥AD；B正确；
若E是底面圆周上的动点，当∠ASB≤90°时，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积；当∠ASB＞90°时，△SAE的最大面积等于两条母线的夹角为90°的截面三角形的面积，所以C不正确；
因为l∥AD，l与平面SCD所成的角就是AD与平面所成角，就是∠ADB＝45°．所以D正确；
故选：ABD．
10．解：对于A，连结C1D，NP，BD，A1B，
因为N，P分别是C1D和BD的中点，则NP∥C1B，
所以PN与A1C1所成的角即为C1B与A1C1所成的角，即∠A1C1B，
又A1C1＝BC1＝A1B，则∠A1C1B，故选项A正确；
对于B，NP，同理可得MN＝MP，
则三棱锥D﹣MNP为棱长为的正四面体，
故点D到平面MNP的距离为，故选项B正确；
对于C，因为MN∥AC，AC∥A1C1，则MN∥A1C1，
又A1C1?平面MNP，MN?平面MNP，即A1C1∥平面MNP，
又点Q是线段A1C1上的动点，
则点Q到平面MNP的距离为定值，且与点A1到平面MNP的距离相等，
又M为A1D的中点，则点A1到平面MNP的距离与点D到平面MNP的距离相等，均为，
故三棱锥M﹣NPQ的体积VM﹣NPQ＝VD﹣MNP，故选项C正确；
对于D，在正方体中，可知BD⊥平面ACC1A1，
则直线DQ与平面A1ACC1所成的角即为∠DQP，
所以tan∠DQP，又DP，
则tan∠DQP取最大值，PQ要取最小值为a，
此时tan∠DQP，故选项D错误．
故选：ABC．
11．解：如图，
对于A，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，
∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，
∵A1C1∩DC1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D，故A正确；
对于B，连接AC，由AA1∥CC1，且AA1＝CC1，得四边形AB1C1C为平行四边形，
∴AC∥A1C1，又A1C1?平面A1DC1，AC?平面A1DC1，
∴AC∥平面A1DC1，同理AB1∥平面A1DC1，
又AB1∩AC＝A，AB1、AC?平面AB1C，
∴平面AB1C∥平面A1DC1，而AP?平面AB1C，
∴直线AP∥平面A1C1D，故B正确；
对于C，∵A1D∥B1C，A1D?平面A1C1D，B1C?平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C1D，
∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，
又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故C正确；
对于D，当点P与线段B1C的端点重合时，异面直线AP与A1D所成角取得最小值为，
故异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[，]，故D错误，
故选：ABC．
12．解：对于A：取BC的中点E，如图1所示：
图（1）
则AE⊥BC，DE⊥BC，
则BC⊥平面ADE，故AD⊥BC，
故选项A正确；
对于B：因为棱长为，则AE＝DE＝3，
故当AE⊥平面BCD时，三棱锥的A﹣BCD的体积取得最大值，则，故B错误；
对于C：当时，∠AED＝120°，分别取平面ABC和平面BCD的外心O1，O2，
如图2所示：
图（2），
可求得|O1E|＝|O2E|＝1，|O2B|＝|O2C|＝|O2D|＝2，
过分别作平面ABC和平面BCD的垂线交点为O，则平面图如图2，
因为∠AED＝120°，则∠O1EO2＝120°，则∠OEO2＝60°，
则，则外接球半径R2，
故球的表面积为4πR2＝28π，故C正确；
对于D：如图3所示：
图（3），
当A∈平面BCD时，A与G点重合，
故A在平面BCD的投影为GD，因为M是棱AC的中点，
故M在平面BCD的投影为M1M2，其中M1，M2分别是GC，CD的中点，
因为∠MBD＝90°，则∠M'BD＝90°，其中M'在M1M2上，
则M'与M1重合，此时a＝6，故不成立，
则D错误；
综上所述，故选：AC．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．解：设正方体的棱长为a，则正方体的体对角线的长就是外接球的直径，
外接球的半径为：，
∵正方体外接球表面积是16
π，
∴，
解得
，
所以正方体的表面积为6a2＝32，
故答案为：32．
14．解：设O为△ABC外接圆的圆心，因为ABC是边长为6的等边三角形，
所以，
因为OP2+OA2＝PA2，解得OP＝3，
设球O1的半径为r，球O2的半径为R，
由等体积法可得，
，
所以1，
所以球O1的体积为；
作截面图如图所示，可知O1O＝O1N＝1，
则PN＝1，PO1＝2，PO2＝1﹣R，
因为△PO2E∽△PO1F，则，即，解得，
所以球O2的表面积为．
故答案为：；．
15．解：设BC＝x，由题意得，AD＝CD＝BD，
取BC中点E，翻折前，在图1中，连接DE，CD，则DEAC，
翻折后，在图2中，此时
CB⊥AD．
∵BC⊥DE，BC⊥AD，∴BC⊥平面ADE，
∴BC⊥AE，DE⊥BC，
又BC⊥AE，E为BC中点，∴AB＝AC＝1，
∴AE，AD，
在△ADE中：①，②，③x＞0，
由①②③，得0＜x．
如图3，翻折后，当△B1CD与△ACD在一个平面上，
AD与B1C交于M，且AD⊥B1C，AD＝B1D＝CD＝BD，∠CBD＝∠BCD＝∠B1CD，
又∠CBD+∠BCD+∠B1CD＝90°，
∴∠CBD＝∠BCD＝∠B1CD＝30°，
∴∠A＝60°，BC＝ACtan60°，此时x＝1，
综上，x的取值范围为（0，]，
所以BC边长的最大值为．
故答案为：．
16．解：设此球半径为R，
因底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥面ABCD，若四棱锥的体积为：，
可以把四棱锥P﹣ABCD补成一个以ABCD为底、PA为侧棱的长方体，
则这个长方体的外接球就是四棱锥P﹣ABCD的外接球，球心O就是PC的中点，
∴（2R）2＝42+22+22＝24，∴R，
则该球的体积为．
该球的体积与四棱锥体积之比为：．
故答案为：．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．证明：（Ⅰ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
∵BB1⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴BB1⊥AB．
又∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．
又BB1∩BC＝B，∴AB⊥平面BB1C1C，
又AB?平面ABE，∴平面ABE⊥平面BB1C1C；
（Ⅱ）取AB的中点G，连接EG、GF，如图所示．
∵G、F分别是AB、BC的中点，∴FG∥AC，且．
又∵E为A1C1的中点，∴，且AC∥A1C1．
∴GF∥EC1，且GF＝EC1，
∴四边形EGFC1是平行四边形，∴C1F∥EG．
又∵C1F?平面ABE，EG?平面ABE，∴C1F∥平面ABE．
18．证明：（1）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC．
在正方形ABCD中，有AC⊥BD，又SO∩BD＝O，
∴AC⊥平面SBD，得AC⊥SD；
解：（2）在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC，满足2．
证明如下：
取SD中点为N，∵SΔSAP＝3SΔAPD，∴，则PN＝PD，
过N作PC的平行线交SC于E，连BN，BE．
在△BDN中，有BN∥PO，
∵PO?平面PAC，BN?平面PAC，∴BN∥平面PAC，
又由于NE∥PC，
PC?平面PAC，NE?平面PAC，∴NE∥平面PAC，
∵BN∩NE＝N，∴平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC，
由于，∴2．
19．（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD，
∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC，△ABD与△CBD中，
AB＝BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD，
∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC＝90°，
∴，∴DO2+BO2＝AB2＝BD2，
∴∠BOD＝90°，∴OB⊥OD
又DO∩AC＝O，∴OB⊥平面ACD．
又OB?平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．
（2）设E是BD的中点，△ABC是等边三角形，边长为1，
△ABD是等腰三角形，|AB|＝|BD|＝1,|AD|,
∴，
，
，
，
，
，
点D到平面ACE的距离．
20．解：（1）设正四棱锥的底面边长为a，侧面三角形的高为H，则a2+2aH＝2，
∴H，又，
∴a．
∵h2（当且仅当h，即h＝1时取等号）．
∴，即正四棱锥体积V的最大值为（当h＝1，a时取最大值）；
（2）取CD的中点Q，正方形ABCD的中心为O，连接PO，PQ，OQ．
∵AB∥CD，∴∠PDQ即为异面直线AB与PD所成角．
∵Q为CD的中点，PC＝PD，∴PQ⊥CD．
即PQ＝H，由（1）知，H．
又DQ，∴tan．
即异面直线AB和PD所成角的正切值为3．
21．证明：（Ⅰ）∵AB＝BC，AD＝DC，∴BD⊥AC，
∵PA⊥底面ABC，BD?平面ABC，∴PA⊥BD，
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
∴BD⊥PC；
解：（Ⅱ）∵D为AC的中点，∴A、C到平面DEF的距离相等，
∴VC﹣DEF＝VA﹣DEF＝VD﹣AEF，
在△ABC中，∵BC＝AB＝2，∠ABC，∴，则AD，
∵E、F分别为PA、PB的中点，∴EF∥AB，且EFAB＝1，
由PA⊥底面ABC，知PA⊥AB，∴EF⊥AE，
∴．
∵BD⊥AC，作DH⊥AB，垂足为H，则DH⊥平面PAB，
在Rt△ABD中，AB＝2，AD，
∴DH．
∴．
22．解：（1）一次性普通口罩的平均价格为：元，
一次性医用口罩的平均价格为：元，
民用KN95口罩的平均价格为：元，
医用KN95口罩的平均价格为：元．
（2）在A厂家购买口罩后销售的利润为：1000×（1﹣0.31）+1000×（2﹣0.86）+1000×（3﹣1.98）+1000×（10﹣9.38）＝3470元；
在B厂家购买口罩后销售的利润为：1000×（1﹣0.55）+1000×（2﹣0.72）+1000×（3﹣1.84）+1000×（10﹣9.05）＝3840元；
在C厂家购买口罩后销售的利润为；1000×（1﹣0.39）+1000×（2﹣0.76）+1000×（3﹣2.71）+1000×（10﹣8.31）＝3830元；
由2840＞3830＞3470，
故该药店在B厂家进货利润更大．
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