2020-2021学年高中数学湘教版选修2-3第八章 统计与概率单元测试A卷（Word含解析）

高中数学选修2-3《统计与概率》
第八单元测试卷A
一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：
AQI指数值
0～50
51～100
101～150
151～200
201～300
＞300
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
下图是某市10月1日—20日AQI指数变化趋势：
下列叙述错误的是（
）
A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B．这20天中的中度污染及以上的天数占
C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
(2)在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分曲线C为正态分布的密度曲线的点的个数的估计值为?
?
?
A.
B.
C.
D.
附：若，则，．
(3)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度单位：的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据2，，得到下面的散点图：
由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是
A.
B.
C.
D.
（4）给出以下四个说法：
残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明拟合效果相关指数越小
在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好；
在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加个单位；
对分类变量X与Y，若它们的随机变量的观测值k越小，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大．
其中正确的说法是??
A.
B.
C.
D.
（5）甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．记X为比赛决出胜负时的总局数，则X的数学期望是
A.
B.
C.
D.
（6）设随机变量的概率分布为：
X
0
1
2
P
则X的数学期望的最小值是（
）
A.
B.0
C.2
D.随P的变化而变化
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的.
（7）袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则???
A.
抽取2次后停止取球的概率为
B.
停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为
C.
取球次数的期望为2
D.
取球次数的方差为
（8）已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为，则
A.
变量x与y具有正相关关系
B.
去除后的回归方程为
C.
去除后y的估计值增加速度变快
D.
去除后相应于样本点的残差为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（9）设随机变量～，若，则
.
（10）某数学老师身高，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是、和因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm．
（11）某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为
.
（12）假设每架飞机的引擎在飞机中出现故障的概率为，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，若要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则的取值范围是
.
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（13）（本小题满分10分）
某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片，每批生产若干盒，每片成本1元，每盒芯片需检验合格后方可出厂．检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品，就要把全盒12片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂．
（Ⅰ）若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？
（Ⅱ）若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂.设每片芯片不合格的概率为，且相互独立．
①若某箱12片芯片中恰有3片次品的概率为，求的最大值点；
②若以①中的作为的值，由于质检员操作疏忽，有一箱芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确定这箱芯片最终利润（单位：元）的期望．
（本小题满分15分）
2020年新冠肺炎疫情爆发以来，中国政府迅速采取最全面、最严格、最彻底的防控举措，坚决遏制疫情蔓延势头，努力把疫情影响降到最低，为全世界抗击新冠肺炎疫情做出了贡献．为普及防治新冠肺炎的相关知识，某高中学校开展了线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从大批参与者中随机抽取200名幸运者，他们的得分满分100分数据统计结果如下图：
（Ⅰ）若此次知识竞答得分X整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200名幸运者得分的平均值和标准差同一组数据用该区间中点值代替，求，的值的值四舍五入取整数，并计算；
（Ⅱ）在的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对参与此次知识竞答的幸运者制定如下奖励方案：得分低于的获得1次抽奖机会，得分不低于的获得2次抽奖机会．假定每次抽奖中，抽到18元红包的概率为，抽到36元红包的概率为已知高三某同学是这次活动中的幸运者，记Y为该同学在抽奖中获得红包的总金额，求Y的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要抽奖红包的总金额．
参考数据：；；．
（15）（本小题满分15分）
为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过分时，按元/分计费；超过分时，超出部分按元/分计费．已知王先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间(分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：
时间（分）
频数
2
18
20
10
将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分．
（Ⅰ）写出王先生一次租车费用（元）与用车时间（分）的函数关系式；
（Ⅱ）若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望；
（Ⅲ）若公司每月给1000元的车补，请估计王先生每月（按22天计算）的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）
高中数学选修2-3《统计与概率》单元过关
平行性测试卷A参考答案
一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：
AQI指数值
0～50
51～100
101～150
151～200
201～300
＞300
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
下图是某市10月1日—20日AQI指数变化趋势：
下列叙述错误的是（
）
A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B．这20天中的中度污染及以上的天数占
C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
【答案】C
【解析】对，因为第10天与第11天指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；
对，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正确；
对，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；
对，由图知，10月上旬大部分指数在100以下，10月中旬大部分指数在100以上，所以正确，故选C.
(2)在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分曲线C为正态分布的密度曲线的点的个数的估计值为?
?
?
B.
C.
D.
附：若，则，
【答案】C
【解析】由，得，则阴影部分的面积为，故估计落入阴影部分的点的个数为，?
故选C．
(3)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度单位：的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据2，，得到下面的散点图：
由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由散点图可知，在至之间，发芽率y和温度x所对应的点在一段对数函数的曲线附近，
结合选项可知，可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．故选：D．
（4）给出以下四个说法：
残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明拟合效果相关指数越小
在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好；
在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加个单位；
对分类变量X与Y，若它们的随机变量的观测值k越小，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大．
其中正确的说法是??
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越高，相关指数的绝对值越接近1，而不是拟合效果相关指数越小，故错误；
相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好，因此正确．
在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加个单位，故正确；
对分类变量X与Y，它们的随机变量的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故错误，
故选D．
（5）甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．记X为比赛决出胜负时的总局数，则X的数学期望是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】用表示“第k局甲获胜”，表示“第k局乙获胜”，则，，，2，3，4，5，X的所有可能取值为2，3，4，5，且
，，
，．
故X的分布列为
X
2
3
4
5
P
故选C．
（6）设随机变量的概率分布为：
X
0
1
2
P
则X的数学期望的最小值是（
）
A.
B.0
C.2
D.随P的变化而变化
【答案】A
【解析】，
当时，的最小值为.
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的.
（7）袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则???
A.
抽取2次后停止取球的概率为
B.
停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为
C.
取球次数的期望为2
D.
取球次数的方差为
【答案】BD
1
2
3
p
【解析】“抽取2次后停止取球”等价于“第1次取得黑球，第2次取得白球”，
因此抽取2次后停止取球的概率为，所以A不正确；
因为取球次数的可能取值为1，2，3，
所以，，，
因此的分布列为：
因此停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为，
即B正确；
而，因此C不正确；
，因此D正确．
故选BD．
（8）已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为，则
A.
变量x与y具有正相关关系
B.
去除后的回归方程为
C.
去除后y的估计值增加速度变快
D.
去除后相应于样本点的残差为
【答案】AB
【解析】对于A，由于去除后回归直线方程的斜率大于0，故x与y具有正相关关系，
故A正确；
对于B，除去两组数据前的回归直线方程为，且，
，故这组数据的样本中心点是，
又去除数据点和后重新求得的回归直线l的斜率为．
且去除数据点和后数据的样本中心点还是，故，
解得：，即回归直线方程为，?故B正确；
对于C，去除两个点后回归直线方程的斜率，
故去除后y的估计值增加速度变慢，故C错误；
对于D，去除两个点后回归直线方程为，
当，y估计值为，残差为，故D错误．
故选AB．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
设随机变量～，若，则
.
【答案】
【解析】，，
，.
（10）某数学老师身高，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是、和因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm．
（11）某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为
.
【答案】
【解析】设小张与小王的到校时间分别为7：00后第分钟，第分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为．小张比小王至少早5分钟到校表示的事件，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为．
假设每架飞机的引擎在飞机中出现故障的概率为，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，若要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则的取值范围是
.
【答案】
【解析】2引擎飞机安全飞行的概率是，
4引擎飞机安全飞行的概率是，
由可解得.
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（13）（本小题满分10分）
某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片，每批生产若干盒，每片成本1元，每盒芯片需检验合格后方可出厂．检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品，就要把全盒12片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂．
（Ⅰ）若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？
（Ⅱ）若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂.设每片芯片不合格的概率为，且相互独立．
①若某箱12片芯片中恰有3片次品的概率为，求的最大值点；
②若以①中的作为的值，由于质检员操作疏忽，有一箱芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确定这箱芯片最终利润（单位：元）的期望．
【解析】（Ⅰ）设“该盒芯片经一次检验即可出厂”的事件为A，
则
，
答：该盒芯片可出厂的概率为．
（Ⅱ）①某箱12片芯片中恰有3片次品的概率：
，
当且仅当，即时取“”号，故的最大值点．
②由题设知，，
设这箱芯片不合格品个数为，则
故，
则，
这箱芯片最终利润的期望是72元．
(14)（本小题满分15分）
2020年新冠肺炎疫情爆发以来，中国政府迅速采取最全面、最严格、最彻底的防控举措，坚决遏制疫情蔓延势头，努力把疫情影响降到最低，为全世界抗击新冠肺炎疫情做出了贡献．为普及防治新冠肺炎的相关知识，某高中学校开展了线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从大批参与者中随机抽取200名幸运者，他们的得分满分100分数据统计结果如下图：
（Ⅰ）若此次知识竞答得分X整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200名幸运者得分的平均值和标准差同一组数据用该区间中点值代替，求，的值的值四舍五入取整数，并计算；
（Ⅱ）在的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对参与此次知识竞答的幸运者制定如下奖励方案：得分低于的获得1次抽奖机会，得分不低于的获得2次抽奖机会．假定每次抽奖中，抽到18元红包的概率为，抽到36元红包的概率为已知高三某同学是这次活动中的幸运者，记Y为该同学在抽奖中获得红包的总金额，求Y的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要抽奖红包的总金额．
参考数据：；；．
【解析】（Ⅰ）由题意，
，
即．
．
由，则，而，故，
则X服从正态分布，
，
的取值为18，36，54，72．
由题意知，，
，
，
，，
所以Y的分布列为
Y
18
36
54
72
P
，
估算所需要抽奖红包的总金额为：元．
（15）（本小题满分15分）
为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过分时，按元/分计费；超过分时，超出部分按元/分计费．已知王先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间(分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：
时间（分）
频数
2
18
20
10
将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分．
（Ⅰ）写出王先生一次租车费用（元）与用车时间（分）的函数关系式；
（Ⅱ）若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望；
（Ⅲ）若公司每月给1000元的车补，请估计王先生每月（按22天计算）的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）
【解析】（Ⅰ）当时，
当时，.
得：
（Ⅱ）王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率，
可取，，，，
，，
，，
的分布列为：
.
或依题意，.
（Ⅲ）王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间（分钟），
每次上下班租车的费用约为（元），
一个月上下班租车费用约为，
估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用．