2020-2021学年高中数学选修2-3（湘教版）第七章计数原理单元测试B卷（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年高中数学选修2-3（湘教版）第七章计数原理单元测试B卷（Word含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 117.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-07 16:13:19 | ||
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文档简介
高中数学选修2-3《计数原理》
第七单元测试卷B卷
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有（
）种
A．12
B．24
C．36
D．48
（2）将7个相同的小球放入4个不同的盒子中，不出现空盒的放法共有( )种
A.10
B.20
C.30
D.40
（3）“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，下图是三角形数阵，记为图中第n行各数之和，则的值为
A.
528
B.
1020
C.
1038
D.
1040
（4）如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有
A．24
B．48
C．96
D．120
（5）在的展开式中，记项的系数为，则???
A.
45
B.
60
C.
120
D.
210
（6）设，且，若能被13整除，则的值为( )
A．0
B．1
C．11
D．12
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的.
（7）已知的展开式中各项系数之和为1024，则展开式中??????
???
A.
奇数项的二项式系数之和为256
B.
第6项的系数最大
C.
存在常数项
D.
有理项共有6项
（8）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是
A.
分给甲乙丙三人，每人各2本，有90种分法；
B.
分给甲乙丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；
C.
分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；
D.
分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（9）已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则?
?
?
?
?
?
??，展开式中的常数项为?
?
?
?
?
?
??．
（10）由五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位自然数，共有
个．
（11）若，
且，则实数=
.
（12）数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，记N2、N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1.
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（13）（本小题满分10分）
从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法有多少种？
（Ⅰ）A，B必须当选；
（Ⅱ）A，B必不当选；
（Ⅲ）A，B不全当选；
（Ⅳ）至少有2名女生当选；
（Ⅴ）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.
（14）（本小题满分15分）
在学校元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．
（Ⅰ）当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？
（Ⅱ）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？
（Ⅲ）若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个栏目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？
（15）（本小题满分15分）
从函数角度看，组合数可看成是以r为自变量的函数，其定义域是．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）利用的结论，证明：当n为偶数时，的展开式中最中间一项的二项式系数最大．
高中数学选修2-3《计数原理》单元过关
形成性测试卷参考答案
一、选择题：本大题共6小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有（
）种
A．12
B．24
C．36
D．48
【答案】B
【解答】根据题意，分2种情况讨论：
甲单独一个人旅游，在B，C景点中任选1个，有2种选法，再将其他3人分成2组，对应剩下的2个景点，有种情况，则此时有种方案，
甲和乙、丙、丁中1人一起旅游，先在乙、丙、丁中任选1人，与甲一起在B，C景点中任选1个，有种情况，将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有种情况，则此时有种方案，
则甲不到A最点的方案有种，故答案为B．
（2）将7个相同的小球放入4个不同的盒子中，不出现空盒的放法共有( )
A.10种
B.20种
C.30种
D.40种
【答案】B
【解析】将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空档中插入3个隔板将球分成4份，一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有种放法，故选B.
（3）“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，下图是三角形数阵，记为图中第n行各数之和，则的值为
A.
528
B.
1020
C.
1038
D.
1040
【答案】D
【解析】?因为，
，，故选D．
（4）如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有
A．24
B．48
C．96
D．120
【答案】C
【解析】若颜色相同，先涂有种涂法，再涂有种涂法，再涂有种涂法，只有一种涂法，共有种；
若颜色不同，先涂有种涂法，再涂有种涂法，再涂有种涂法，当和相同时，有一种涂法，当和不同时，
只有一种涂法，共有种；
根据分类计数原理可得，共有
种，故选C.
（5）在的展开式中，记项的系数为，则???
A.
45
B.
60
C.
120
D.
210
【答案】C
【解析】由题意知，，，，因此，故选C．
（6）设，且，若能被13整除，则的值为( )
A．0
B．1
C．11
D．12
【答案】D
【解析】，
因为52能被13整除，所以只需能被13整除，因为，所以.
多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的.
（7）已知的展开式中各项系数之和为1024，则展开式中??????
???
A.
奇数项的二项式系数之和为256
B.
第6项的系数最大
C.
存在常数项
D.
有理项共有6项
【答案】BCD
【解析】对，令，得，解得，
故二项式为，展开式中奇数项的二项式系数和为，故A错；
由展开式的通项公式为，知展开式中系数最大的项即二项式系数最大的项，即最大，所以，即第6项的系数最大，故B正确；
令，记得，即常数项为第3项，故C正确；
二项式为，其中，且令为整数，可得，2，4，6，8，10，故展开式中有理项共有6项，故D正确．
（8）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是
A.
分给甲乙丙三人，每人各2本，有90种分法；
B.
分给甲乙丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；
C.
分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；
D.
分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；
【答案】ABC
【解析】对于A选项，分三步把6本不同的书均匀分给甲乙丙三人，
共有选项正确；
对于B选项，先分组4，1，1共有，在全排列除以均匀分组数，
共有分发种数为选项正确；
对于C选项，分四步完成即可，即共有．故选项C正确；
对于选项D先分组2，2，1，1，再全排列后除以均匀分组数，所以方法总数为
所以D选项错误，
故选ABC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（9）已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则?
?
?
?
?
?
??，展开式中的常数项为?
?
?
?
?
?
??．
【答案】
【解析】因为只有第5项的二项式系数最大，所以．又，令，则，所以常数项为．
（10）由五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位自然数，共有
个．
【答案】20
【解析】
当百位是1时，有102,120,123,132，共4个；
当百位为2时，有201,204,210,213,231,234,240,243，共8个；
当百位为3时，有312,321,324,342，共4个；
当百位为4时，有402,420,423,432，共4个，一共20个.
（11）若，
且，则实数=
.
【答案】＝1或－3
【解析】令，得，
令，得，
，
即，，解得＝1或－3.
（12）数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，记N2、N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1.
【答案】240
【解析】由题意知6必在第三行，安排6有种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有种方法；在留下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有种方法，剩下的两个数字有种排法，根据分步乘法计数原理，所有排列的个数是＝240种.
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（13）（本小题满分10分）
从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法有多少种？
（Ⅰ）A，B必须当选；
（Ⅱ）A，B必不当选；
（Ⅲ）A，B不全当选；
（Ⅳ）至少有2名女生当选；
（Ⅴ）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.
【解析】（Ⅰ）由于A，B必须当选，则从剩下的10人中选取3人即可，有种.
（Ⅱ）从除去A，B两人的10人中选取5人即可，有种.
（Ⅲ）全部选法有种，A，B全当选有种，故A，B不全当选有种.
（Ⅳ）“至少有2名女生”的对立面是“只有一名女生或没有女生”，
故有种.
（Ⅴ）分三步进行：第一步：选1男1女分别担任两个职务有种；
第二步：选2男1女补足5人有种；
第三步：为这3人安排工作有种；
由分类加法计数原理得：共有＝12
600种.
（14）（本小题满分15分）
在学校元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．
（Ⅰ）当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？
（Ⅱ）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？
（Ⅲ）若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个栏目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？
【解析】（Ⅰ）第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个整体，有A＝24种方法；
第二步，将第一步的整体与其他6个演唱节目一起排，有A＝5
040种方法；
根据分步乘法计数原理，一共有24×5
040＝120
960种．
（Ⅱ）第一步，将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A＝720种方法；
×□×□×□×□×□×□×
第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A＝7×6×5×4＝840种；
根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604
800种．
（Ⅲ）若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有＝A＝132种排法．
（15）（本小题满分15分）
从函数角度看，组合数可看成是以r为自变量的函数，其定义域是．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）利用的结论，证明：当n为偶数时，的展开式中最中间一项的二项式系数最大．
证明：，
又，．
则成立．
（Ⅱ）设，，，
．
令，．则等号不成立．
，2，，k时，成立．
反之，当，，，2
k时，成立．最大．
即的展开式中最中间一项的二项式系数最大．
第七单元测试卷B卷
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有（
）种
A．12
B．24
C．36
D．48
（2）将7个相同的小球放入4个不同的盒子中，不出现空盒的放法共有( )种
A.10
B.20
C.30
D.40
（3）“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，下图是三角形数阵，记为图中第n行各数之和，则的值为
A.
528
B.
1020
C.
1038
D.
1040
（4）如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有
A．24
B．48
C．96
D．120
（5）在的展开式中，记项的系数为，则???
A.
45
B.
60
C.
120
D.
210
（6）设，且，若能被13整除，则的值为( )
A．0
B．1
C．11
D．12
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的.
（7）已知的展开式中各项系数之和为1024，则展开式中??????
???
A.
奇数项的二项式系数之和为256
B.
第6项的系数最大
C.
存在常数项
D.
有理项共有6项
（8）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是
A.
分给甲乙丙三人，每人各2本，有90种分法；
B.
分给甲乙丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；
C.
分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；
D.
分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（9）已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则?
?
?
?
?
?
??，展开式中的常数项为?
?
?
?
?
?
??．
（10）由五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位自然数，共有
个．
（11）若，
且，则实数=
.
（12）数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，记N2、N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（13）（本小题满分10分）
从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法有多少种？
（Ⅰ）A，B必须当选；
（Ⅱ）A，B必不当选；
（Ⅲ）A，B不全当选；
（Ⅳ）至少有2名女生当选；
（Ⅴ）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.
（14）（本小题满分15分）
在学校元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．
（Ⅰ）当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？
（Ⅱ）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？
（Ⅲ）若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个栏目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？
（15）（本小题满分15分）
从函数角度看，组合数可看成是以r为自变量的函数，其定义域是．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）利用的结论，证明：当n为偶数时，的展开式中最中间一项的二项式系数最大．
高中数学选修2-3《计数原理》单元过关
形成性测试卷参考答案
一、选择题：本大题共6小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有（
）种
A．12
B．24
C．36
D．48
【答案】B
【解答】根据题意，分2种情况讨论：
甲单独一个人旅游，在B，C景点中任选1个，有2种选法，再将其他3人分成2组，对应剩下的2个景点，有种情况，则此时有种方案，
甲和乙、丙、丁中1人一起旅游，先在乙、丙、丁中任选1人，与甲一起在B，C景点中任选1个，有种情况，将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有种情况，则此时有种方案，
则甲不到A最点的方案有种，故答案为B．
（2）将7个相同的小球放入4个不同的盒子中，不出现空盒的放法共有( )
A.10种
B.20种
C.30种
D.40种
【答案】B
【解析】将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空档中插入3个隔板将球分成4份，一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有种放法，故选B.
（3）“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，下图是三角形数阵，记为图中第n行各数之和，则的值为
A.
528
B.
1020
C.
1038
D.
1040
【答案】D
【解析】?因为，
，，故选D．
（4）如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有
A．24
B．48
C．96
D．120
【答案】C
【解析】若颜色相同，先涂有种涂法，再涂有种涂法，再涂有种涂法，只有一种涂法，共有种；
若颜色不同，先涂有种涂法，再涂有种涂法，再涂有种涂法，当和相同时，有一种涂法，当和不同时，
只有一种涂法，共有种；
根据分类计数原理可得，共有
种，故选C.
（5）在的展开式中，记项的系数为，则???
A.
45
B.
60
C.
120
D.
210
【答案】C
【解析】由题意知，，，，因此，故选C．
（6）设，且，若能被13整除，则的值为( )
A．0
B．1
C．11
D．12
【答案】D
【解析】，
因为52能被13整除，所以只需能被13整除，因为，所以.
多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的.
（7）已知的展开式中各项系数之和为1024，则展开式中??????
???
A.
奇数项的二项式系数之和为256
B.
第6项的系数最大
C.
存在常数项
D.
有理项共有6项
【答案】BCD
【解析】对，令，得，解得，
故二项式为，展开式中奇数项的二项式系数和为，故A错；
由展开式的通项公式为，知展开式中系数最大的项即二项式系数最大的项，即最大，所以，即第6项的系数最大，故B正确；
令，记得，即常数项为第3项，故C正确；
二项式为，其中，且令为整数，可得，2，4，6，8，10，故展开式中有理项共有6项，故D正确．
（8）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是
A.
分给甲乙丙三人，每人各2本，有90种分法；
B.
分给甲乙丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；
C.
分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；
D.
分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；
【答案】ABC
【解析】对于A选项，分三步把6本不同的书均匀分给甲乙丙三人，
共有选项正确；
对于B选项，先分组4，1，1共有，在全排列除以均匀分组数，
共有分发种数为选项正确；
对于C选项，分四步完成即可，即共有．故选项C正确；
对于选项D先分组2，2，1，1，再全排列后除以均匀分组数，所以方法总数为
所以D选项错误，
故选ABC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（9）已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则?
?
?
?
?
?
??，展开式中的常数项为?
?
?
?
?
?
??．
【答案】
【解析】因为只有第5项的二项式系数最大，所以．又，令，则，所以常数项为．
（10）由五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位自然数，共有
个．
【答案】20
【解析】
当百位是1时，有102,120,123,132，共4个；
当百位为2时，有201,204,210,213,231,234,240,243，共8个；
当百位为3时，有312,321,324,342，共4个；
当百位为4时，有402,420,423,432，共4个，一共20个.
（11）若，
且，则实数=
.
【答案】＝1或－3
【解析】令，得，
令，得，
，
即，，解得＝1或－3.
（12）数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，记N2、N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1
【答案】240
【解析】由题意知6必在第三行，安排6有种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有种方法；在留下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有种方法，剩下的两个数字有种排法，根据分步乘法计数原理，所有排列的个数是＝240种.
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（13）（本小题满分10分）
从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法有多少种？
（Ⅰ）A，B必须当选；
（Ⅱ）A，B必不当选；
（Ⅲ）A，B不全当选；
（Ⅳ）至少有2名女生当选；
（Ⅴ）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.
【解析】（Ⅰ）由于A，B必须当选，则从剩下的10人中选取3人即可，有种.
（Ⅱ）从除去A，B两人的10人中选取5人即可，有种.
（Ⅲ）全部选法有种，A，B全当选有种，故A，B不全当选有种.
（Ⅳ）“至少有2名女生”的对立面是“只有一名女生或没有女生”，
故有种.
（Ⅴ）分三步进行：第一步：选1男1女分别担任两个职务有种；
第二步：选2男1女补足5人有种；
第三步：为这3人安排工作有种；
由分类加法计数原理得：共有＝12
600种.
（14）（本小题满分15分）
在学校元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．
（Ⅰ）当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？
（Ⅱ）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？
（Ⅲ）若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个栏目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？
【解析】（Ⅰ）第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个整体，有A＝24种方法；
第二步，将第一步的整体与其他6个演唱节目一起排，有A＝5
040种方法；
根据分步乘法计数原理，一共有24×5
040＝120
960种．
（Ⅱ）第一步，将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A＝720种方法；
×□×□×□×□×□×□×
第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A＝7×6×5×4＝840种；
根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604
800种．
（Ⅲ）若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有＝A＝132种排法．
（15）（本小题满分15分）
从函数角度看，组合数可看成是以r为自变量的函数，其定义域是．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）利用的结论，证明：当n为偶数时，的展开式中最中间一项的二项式系数最大．
证明：，
又，．
则成立．
（Ⅱ）设，，，
．
令，．则等号不成立．
，2，，k时，成立．
反之，当，，，2
k时，成立．最大．
即的展开式中最中间一项的二项式系数最大．
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