2021-2022学年高一上学期苏教版(2019)必修第一册第八章函数应用单元测试(Word含解析)

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名称 2021-2022学年高一上学期苏教版(2019)必修第一册第八章函数应用单元测试(Word含解析)
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资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2021-08-07 16:14:44

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文档简介

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=log3x+x-3的零点所在的区间是
(  )
A.(0,1)    B.(1,2)    C.(2,3)    D.(3,4)
2.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是
(  )
A.(1,3)    B.(1,2)    C.(0,3)    D.(0,2)
3.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在30个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,30)得到下面的散点图:
由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个函数模型中最适宜作为发芽率y和温度x的函数的是
(  )
A.y=a+bx      B.y=a+bx2
C.y=a+bex      D.y=a+bln
x
4.设x0是方程log4x+x=7的实数解,若x0∈(n,n+1)(n∈N
),则n的值为
(  )
A.3    B.4    C.5    D.6
5.为了给地球减负,提高资源利用率,2020年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚.假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2
000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是(参考数据:lg
1.2≈0.08,lg
5≈0.70)
(  )
A.2030年    B.2029年    C.2028年    D.2027年
6.在使用二分法计算函数f(x)=lg
x+x-2的零点的近似值时,现已知其所在区间为(1,2),若要求近似值精确到0.1,则接下来需要计算区间中点函数值的次数为(  )
A.2    B.3    C.4    D.5
7.已知函数f(x)=若函数y=f(f(x))-k有3个不同的零点,则实数k的取值范围是
(  )
A.(1,4)    B.(1,4]    C.[1,4)    D.[1,4]
8.化学平衡是指在一定条件下,可逆反应的正反应速率和逆反应速率相等时,体系所处的状态.根据计算系统的吉布斯自由能变化(ΔG)的热力学公式Gibbs-Helmholtz方程和Van'tHoff方程,可以得到温度(T)与可逆反应的平衡常数(K)的关系式:ΔH-TΔS=ΔG=-RTln
K,式中ΔH为焓变(在一定温度变化范围内视为定值),ΔS为熵变,R为气体常数.利用上述公式,我们可以处理不同温度下,有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算.已知当温度为T1时,可逆反应的平衡常数为K1;当温度为T2时,可逆反应的平衡常数为K2,则ln=(  )
A.
C.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.下列函数中,有零点但不能用二分法求零点的近似值的是
(  )
A.y=
C.y=x2+4x+8      D.y=|x|
10.给出以下四个结论,其中正确的是
(  )
A.若函数y=f(x)是奇函数,则必有f(0)=0
B.函数f(x)=loga(2x-1)+1(其中a>0且a≠1)的图象过定点(1,1)
C.定义在R上的奇函数在(0,+∞)上是单调增函数,则在区间(-∞,0]上也是单调增函数
D.函数f(x)=则方程f(f(x))-=0有6个不等实根
11.已知函数f(x)=k≠0,下列关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的判断正确的是
(  )
A.当k>0时,有3个零点
B.当k<0时,有2个零点
C.当k>0时,有4个零点
D.当k<0时,有1个零点
12.对于定义域为D的函数f(x),若存在区间[m,n]?D,且同时满足下列条件:①f(x)在[m,n]上是单调的;②当定义域是[m,n]时,
f(x)的值域也是[m,n],则称[m,n]为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是
(  
)
A.
f(x)=2x      B.
f(x)=3-
C.
f(x)=x2-2x      D.
f(x)=ln
x+2
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.若函数y=f(x)的图象是不间断的,且有如下的对应值表:
x
1
2
3
4
5
6
y
-5
2
8
12
-5
-10
则函数y=f(x)在x∈(1,6)上的零点至少有   个.?
14.方程ex=10-3x的解x∈(k,k+1),k∈Z,则k=    .?
15.某传染病在流行初期,由于大部分人未感染且无防护措施,所以总感染人数以指数形式增长.假设在该传染病流行初期的感染人数为P0,且每位已感染者平均一天会传染给r位未感染者的前提下,n天后感染此疾病的总人数Pn可以表示为Pn=P0(1+r)n,其中P0≥1且r>0.已知某种传染病初期符合上述数学模型,且每隔16天感染此病的人数会增加为原来的64倍,则的值是    .?
16.设函数y=f(x)的定义域为R,且满足对任意x∈R,f(x)=f(x+2),当x∈[-1,1)时,
f(x)=1-x2.已知函数g(x)=则函数y=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数为    .?
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).
(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;
(2)若f(x)在[1,3]上有零点,求实数a的取值范围.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=|x2-4|+x2+ax,a∈R.
(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;
(2)当a=4时,求函数f(x)的零点;
(3)若方程f(x)=0在(0,4)上有两个不同的实数根x1,x2(x119.(本小题满分12分)某公司研发A,B两种芯片,且该公司研发芯片耗费资金2千万元,现在研发成功准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比,已知每投入1千万元,公司获得毛收入0.25千万元;生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y=kxa(x>0),其图象如图所示.
(1)试分别求出生产A,B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式;
(2)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A,B两种芯片,求可以获得的最大利润.
20.(本小题满分12分)为节约能源,倡导绿色环保,某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用,管理这些电动观光车的费用是每日120元.根据经验,若每辆电动观光车的日租金不超过5元,则电动观光车可以全部租出;若超过5元,则每超过1元,租不出去的电动观光车就增加2辆.为了便于结算,每辆电动观光车的日租金x(元)只取整数,并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租电动观光车的日净收入(即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得).
(1)求y关于x的解析式及其定义域;
(2)当每辆电动观光车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(ex+e-x).
(1)判断f(x)的奇偶性,并证明f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)设函数g(x)=f(ax)-f(x-a),求使函数g(x)有唯一零点的实数a的值;
(3)若?x∈R,不等式e2x+e-2x-2m·ef(x)+6m+2≥0恒成立,求实数m的取值范围.
22.(本小题满分12分)已知f(x)=log2(4x+1)-kx(k∈R).
(1)设g(x)=f(x)-a+1,k=2,若函数g(x)存在零点,求实数a的取值范围;
(2)设h(x)=log2,若f(x)是偶函数,且函数f(x)与h(x)的图象只有一个交点,求实数b的取值范围.
答案全解全析
本章达标检测
一、单项选择题
1.C 因为f(x)的图象是一条不间断的曲线,且f(2)=log32-1<0,f(3)=1>0,所以f(x)的零点所在的区间为(2,3).
故选C.
2.C 由题可知f(1)f(2)=(2-2-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得03.D 由题图可知,散点图中散点分布在一条曲线附近,当x逐渐增大时,函数值的增长速度越来越慢,故最适宜作为发芽率y和温度x的函数的是y=a+bln
x.故选D.
4.C 设f(x)=log4x+x-7,易得f(x)为增函数,且其在区间[5,6]上的图象是不间断的,
因为f(5)=log45+5-7=log45-2<0,
f(6)=log46+6-7=log46-1>0,
且x0是方程log4x+x=7的实数解,
所以x0∈(5,6),
又x0∈(n,n+1)(n∈N
),所以n=5,故选C.
5.B 设经过n年后,投入资金为y万元,则y=2
000(1+20%)n.
由题意得2
000(1+20%)n>10
000,即1.2n>5,则n·lg
1.2>lg
5,所以n>≈=8.75,因为n∈N
,所以n≥9,即2029年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元.故选B.
6.C 设函数f(x)的零点为x1.
易得f(1)<0,f(2)>0,f(1.5)<0,所以x1∈(1.5,2).f(1.75)<0,所以x1∈(1.75,2).f(1.875)>0,所以x1∈(1.75,1.875).
f(1.812
5)>0,所以x1∈(1.75,1.812
5).
因为1.75与1.812
5精确到0.1的近似值都为1.8,所以需要计算区间中点函数值的次数为4.
7.B 当x<0时,f(x)>0,则f(f(x))=f(-x+1)=(-x+1)2-3=x2-2x-2;
当0≤x<时,f(x)<0,则f(f(x))=f(x2-3)=-(x2-3)+1=-x2+4;
当x≥时,f(x)≥0,f(f(x))=f(x2-3)=(x2-3)2-3=x4-6x2+6.
∴f(f(x))=
当x≥时,y=x4-6x2+6=(x2-3)2-3,
设t=x2-3,则t≥0.
∵t=x2-3在[,+∞)上单调递增,y=t2-3在[0,+∞)上单调递增,
∴y=(x2-3)2-3在[,+∞)上单调递增,
∴ymin=-3.
画出函数f(f(x))的图象,
函数y=f(f(x))-k有3个不同的零点,等价于y=f(f(x))和y=k的图象有3个不同的交点,观察图象可得,18.A 由题意得
所以
两式相减得-=ln
K1-ln
K2,整理得=ln
.故选A.
二、多项选择题
9.CD 易知选项A,B中函数有零点,且可用二分法求零点的近似值.对于选项C,y=x2+4x+8=(x+4)2≥0,故不能用二分法求零点的近似值.对于选项D,y=|x|≥0,故不能用二分法求零点的近似值.
故选CD.
10.BD 对于选项A,由于f(x)的定义域未知,所以f(0)=0不一定成立,A项错误.
对于选项B,令2x-1=1,得x=1,f(1)=1,所以函数图象过定点(1,1),B项正确.
对于选项C,例如f(x)=满足f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,但在区间(-∞,0]上不是单调增函数,C项错误.
对于选项D,令f(x)=t,则f(t)=,
当t≤0时,f(t)=t+1=,解得t1=-;
当t>0时,f(t)=|ln
t|=,解得t2=,t3=.
方程f(f(x))-=0的实根个数等价于函数y=f(x)与函数y=t的图象的交点个数.如图.
易知y=f(x)与y=t1的图象有一个交点;y=f(x)与y=t2的图象有三个交点;y=f(x)与y=t3的图象有两个交点.
所以f(f(x))-=0有6个不等实根,D项正确.故选BD.
11.CD 当k>0时,
f(x)=的大致图象如图所示.
f(f(x))+1=0,即f(f(x))=-1,有f(x)=-∈(-∞,0)和f(x)=两种情况.
又f(x)=-∈(-∞,0)有两个实数根,
f(x)=也有两个实数根,所以f(f(x))+1=0有4个实数根,即函数y=f(f(x))+1有4个零点.
当k<0时,
f(x)=的大致图象如图所示.
f(f(x))+1=0,即f(f(x))=-1,只有f(x)=这一种情况.f(x)=仅有一个实数根,即函数y=f(f(x))+1有1个零点.
综上,当k>0时,有4个零点;当k<0时,有1个零点.故选CD.
12.BD 对于A,函数单调递增,若定义域为[m,n],则值域为[2m,2n],故f(x)=2x不存在“和谐区间”.
对于B,
f(x)=3-为(-∞,0)和(0,+∞)上的增函数,假设f(x)在x∈(0,+∞)上存在“和谐区间”,使得当定义域为[m,n]时,值域为[m,n],则解得故函数存在“和谐区间”.
对于C,
f(x)=x2-2x,其图象的对称轴为直线x=1,当x∈(-∞,1)时,函数为减函数,若定义域为[m,n],值域为[m,n],则解得m=n=0,不满足题意;同理,当x∈(1,+∞)时,应满足解得m=n=3,不满足题意,所以f(x)=x2-2x不存在“和谐区间”.
对于D,
f(x)=ln
x+2为定义域内的增函数,则应满足令h(x)=ln
x,g(x)=x-2,作出h(x),g(x)的图象,如图所示,由图可知,两函数的图象有两个交点,故存在“和谐区间”.
故选BD.
三、填空题
13.答案 2
解析 由题表得f(1)f(2)<0,
f(4)f(5)<0,因为函数y=f(x)的图象是不间断的,
所以函数y=f(x)在(1,2)上至少有1个零点,在(4,5)上至少有1个零点,
所以函数y=f(x)在x∈(1,6)上的零点至少有2个.
14.答案 1
解析 方程ex=10-3x,即ex+3x-10=0.设f(x)=ex+3x-10,
易知函数f(x)在定义域内单调递增,
且f(1)=e+3-10<0,
f(2)=e2+6-10>0,
又x∈(k,k+1),k∈Z,所以k=1.
15.答案 8
解析 由题意得==64,化简得(1+r)16=64,
所以··=(1+r)2×(1+r)3×(1+r)3=(1+r)8=8.
16.答案 14
解析 函数y=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数即为函数y=f(x),y=g(x)的图象在区间[-5,10]内的交点个数.在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象,如图,
由图可得两个函数图象有14个交点,故函数零点的个数是14.
四、解答题
17.解析 (1)函数f(x)的图象为开口向上,对称轴为直线x=a的抛物线,所以f(x)在[1,a]上单调递减,
(2分)
所以即解得a=2.(4分)
(2)f(x)=x2-2ax+5(a>1)在[1,3]上有零点,即x2-2ax+5=0在[1,3]上有解,即2a=x+在[1,3]上有解.
(6分)
令h(x)=x+,
因为h(x)=x+在[1,]上是减函数,在[,3]上是增函数,
所以2≤h(x)≤6,所以2≤2a≤6,
(8分)
所以≤a≤3,即实数a的取值范围为[,3].
(10分)
18.解析 (1)因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以|x2-4|+x2-ax=|x2-4|+x2+ax,即2ax=0对任意实数x都成立,∴a=0.(3分)
(2)当x∈[-2,2]时,
f(x)=4+4x,令4+4x=0,解得x=-1;
(4分)

x>2或x<-2时,f(x)=2x2+4x-4,令2x2+4x-4=0,解得x=-1±,∴x=-1-.(6分)
综上,函数f(x)的零点为-1和-1-.
(7分)
(3)f(x)=
(9分)
若x1,x2均在(2,4)内,则x1·x2=-2,不合题意.
故x1∈(0,2],x2∈(2,4).
由ax1+4=0得a=-,∴a≤-2;
由2+ax2-4=0得a=-2x2,
∴-7(11分)
综上,实数a的取值范围为-7(12分)
19.解析 (1)因为生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比,所以设y=mx(x>0),
因为每投入1千万元,公司获得毛收入0.25千万元,所以=m×1,所以m=,
(2分)
因此对于A芯片,毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系为y=x(x>0).
(3分)
对于B芯片,由题图可知,

(5分)
因此对于B芯片,毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系为y=(x>0).
(6分)
(2)设对B芯片投入资金x千万元,则对A芯片投入资金(40-x)千万元.
假设利润为L千万元,则L=+-2,0(8分)
令t=,t∈(0,2),则L=-t2+t+8=-(t-2)2+9,
故当t=2,即x=4时,有最大利润,为9千万元.
(10分)
故当对A芯片投入36千万元,对B芯片投入4千万元时,可以获得最大利润,为9千万元.
(12分)
20.解析 (1)当x≤5时,y=60x-120,
令60x-120>0,得x>2,
∵x∈N
,
∴3≤x≤5(x∈N
).
(2分)
当x>5时,y=[60-2(x-5)]x-120=-2x2+70x-120,
令-2x2+70x-120>0,即x2-35x+60<0,
上述不等式的整数解为2≤x≤33(x∈N
),
∴5).
(4分)
综上,y=
(6分)
(2)对于y=60x-120,3≤x≤5,x∈N
,
显然当x=5时,ymax=180.
(8分)
对于y=-2x2+70x-120=-2+,5,
当x=17或18时,ymax=492.
(10分)
∵492>180,
∴当每辆电动观光车的日租金为17元或18元时,才能使一日的净收入最多.(12分)
21.解析 (1)f(x)=ln(ex+e-x)的定义域为R.
因为f(-x)=ln(e-x+ex)=f(x),
所以f(x)为偶函数.
(1分)
任取x1,x2∈(0,+∞),且x2>x1.
则f(x2)-f(x1)=ln(+)-ln(+)=ln.
+-(+)=(-)+=(-)=(-),
(2分)
当x2>x1>0时,->0,>0,所以+>+>0,
所以>1.
(3分)
所以f(x2)-f(x1)=ln>0,
所以f(x)=ln(ex+e-x)在(0,+∞)上单调递增.
(4分)
(2)函数g(x)=f(ax)-f(x-a)的零点就是方程f(ax)-f(x-a)=0的解.
因为g(x)有唯一零点,所以方程f(ax)-f(x-a)=0有唯一的解.
(5分)
因为函数f(x)为偶函数,所以方程变形为f(|ax|)=f(|x-a|).
因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以|ax|=|x-a|,
两边平方得(1-a2)x2-2ax+a2=0.
(6分)
当1-a2=0时,a=±1,经检验方程有唯一解;
当1-a2≠0时,Δ=4a2+4(1-a2)a2=0,
解得a=0或a=±(舍去).
(7分)
综上可知,a的值为-1,1,0.
(8分)
(3)设t=ex+,t≥2,
则原命题等价于当t≥2时,不等式t2-2mt+6m≥0恒成立.
(9分)
设h(t)=t2-2mt+6m,则h(t)min≥0,
所以或
(10分)
解得-2≤m≤2或2综上可知,-2≤m≤6.
(12分)
22.解析 (1)函数g(x)存在零点,即f(x)=a-1有实数解.
(1分)
∵k=2,∴f(x)=log2(4x+1)-2x
=log2=log2.
(2分)
∵1+>1,∴log2>0,
即f(x)>0.
(3分)
∵f(x)=a-1有解,
f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,∴a-1>0,即a>1,
∴实数a的取值范围是(1,+∞).
(5分)
(2)∵f(x)=log2(4x+1)-kx(k∈R)的定义域为R,
f(x)是偶函数,
∴f(-1)=f(1),
∴log2+k=log2(4+1)-k,
∴k=1.
经检验,符合题意.
(6分)
∵函数f(x)与h(x)的图象只有一个交点,
∴方程f(x)=h(x)只有一个解,即2-x+2x=b·2x-b只有一个解,即3(b-1)22x-4b·2x-3=0只有一个解.
(7分)
令t=2x,t>0,则方程3(b-1)t2-4bt-3=0只有一个正解或有两个相等的正解.
(8分)
当b=1时,t=-<0,不符合题意;
(9分)
当b≠1时,若方程有两个相等的正数根,则Δ=(-4b)2-4×3(b-1)×(-3)=0,且>0,解得b=-3;
(10分)
当方程有两个不相等的实数解且只有一个正解时,
∵y=3(b-1)t2-4bt-3的图象恒过点(0,-3),
∴只需图象开口向上,即b-1>0,解得b>1.(11分)
综上,实数b的取值范围是{-3}∪(1,+∞).(12分)