选修2-1阶段性测试（第一章、第二章（椭圆））
（满分：100分
测试时间：90分钟）
姓名：
得分：
一、选择题（共10题，每题5分）
1．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是( )
A．若a≤b，则a＋c≤b＋c
B．若a＋c≤b＋c，则a≤b
C．若a＋c>b＋c，则a>b
D．若a>b，则a＋c≤b＋c
2．命题“?x>0，>0”的否定是( )
A．?x0<0，≤0
B．?x0>0,0≤x0≤1
C．?x>0，≤0
D．?x<0,0≤x≤1
3．已知命题“?x0∈R,4x＋(a－2)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0)
B．[0,4]
C．[4，＋∞)
D．(0,4)
4．设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知命题p：对任意的x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q
B．(非p)∧(非q)
C．(非p)∧q
D．p∧(非q)
6、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为9，则b的值是（
）
A．1
B．3
C．5
D．7
7．如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
8．已知椭圆C：＋＝1，若直线l经过M(0,1)，与椭圆交于A，B两点，且＝－，则直线l的方程为( )
A．y＝±x＋1
B．y＝±x＋1
C．y＝±x＋1
D．y＝±x＋1
9．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
10．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点。若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题(共4题，每题5分）
11、已知命题p：?x∈R，x2－a≥0；命题q：?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0。若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为________。
12、若点P在椭圆＋y2＝1上，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且满足·＝t，则实数t的取值范围是________．
13、设F1、F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为________。
已知F1、F2为椭圆C：a>b>0)的左、右焦点，点A（2，3）在椭圆上，求的角平分线所在直线的方程
三、解答题（共3题，每题10分）
15、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.
(1)求证：k1·k2＝－；
(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由．
16、已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标．
17、已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P(2,1)在直线l的左上方．若∠APB＝90°，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求线段MN的长度．选修2-1阶段性测试（第一章、第二章（椭圆））
（满分：100分）
姓名：
得分：
一、选择题（共10题，每题5分）
1．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是( )
A．若a≤b，则a＋c≤b＋c
B．若a＋c≤b＋c，则a≤b
C．若a＋c>b＋c，则a>b
D．若a>b，则a＋c≤b＋c
解析：命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．
答案：A
2．命题“?x>0，>0”的否定是( )
A．?x0<0，≤0
B．?x0>0,0≤x0≤1
C．?x>0，≤0
D．?x<0,0≤x≤1
解析：∵>0，∴x<0或x>1，∴>0的否定是0≤x≤1，∴命题的否定是?x0>0,0≤x0≤1，故选B.
答案：B
3．已知命题“?x0∈R,4x＋(a－2)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0)
B．[0,4]
C．[4，＋∞)
D．(0,4)
解析：因为命题“?x0∈R,4x＋(a－2)x0＋≤0”是假命题，所以其否定“?x∈R,4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得0
答案：D
4．设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由＜得－＜x－＜，解得0＜x＜1.
由x3＜1得x＜1.当0＜x＜1时能得到x＜1一定成立；当x＜1时，0＜x＜1不一定成立．所以“＜”是“x3＜1”的充分而不必要条件．
答案：A
5．已知命题p：对任意的x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q
B．(非p)∧(非q)
C．(非p)∧q
D．p∧(非q)
解析 由指数函数的性质知命题p为真命题。易知“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，所以命题q是假命题。由复合命题真值表可知p∧(非q)是真命题。故选D。
答案 D
6、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为9，则b的值是（
）
A．1
B．3
C．5
D．7
答案
B
7．如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：因为b2＝2，c＝
，
所以|F1F2|＝2.
又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－4，由余弦定理得
cos120°＝＝－，
解得a＝3.
答案：B
8．已知椭圆C：＋＝1，若直线l经过M(0,1)，与椭圆交于A，B两点，且＝－，则直线l的方程为( )
A．y＝±x＋1
B．y＝±x＋1
C．y＝±x＋1
D．y＝±x＋1
解析：依题意，设直线l：y＝kx＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．则由消去y，整理得(9k2＋5)x2＋18kx－36＝0，Δ＝(18k)2＋4×36×(9k2＋5)>0，由此解得k＝±，即直线l的方程为y＝±x＋1，选C
答案：C
9．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
解析 由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，因为△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c。因为|OF2|＝c，所以点P坐标为(c＋2ccos60°，2csin60°)，即点P(2c，c)。因为点P在过A且斜率为的直线上，所以＝，解得＝，所以e＝，故选D。
答案 D
10．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点。若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
解析 因为线段PF1的中垂线经过焦点F2，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，即椭圆上存在点P，使|PF2|＝2c，所以a－c≤2c≤a＋c，再结合e∈(0,1)，解得≤e<1。故选C。
答案 C
二、填空题(共4题，每题5分）
11、已知命题p：?x∈R，x2－a≥0；命题q：?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0。若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为________。
解析 由已知条件可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤0，由命题q为真得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2。
答案 (－∞，－2]
12、若点P在椭圆＋y2＝1上，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且满足·＝t，则实数t的取值范围是________．
解析：设P(x，y)，F1(－2，0)，F2(2，0)，＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－2－x)(2－x)＋(－y)2＝x2＋y2－8.
∵P在椭圆＋y2＝1上，∴y2＝1－，
∴t＝·＝x2＋y2－8＝x2－7，
∵0≤x2≤9，∴－7≤t≤1，
故实数t的取值范围为[－7,1]．
答案：[－7,1]
13、设F1、F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为________。
解析
因为△F2AB是面积为4的等边三角形，所以AB⊥x轴，所以A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝。又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，所以＝×2c ①。又S△F2AB＝×2c×＝4 ②，a2＝b2＋c2 ③，由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1。
答案 ＋＝1
已知F1、F2为椭圆C：a>b>0)的左、右焦点，点A（2，3）在椭圆上，求的角平分线所在直线的方程
答案
2x-y-1=0
三、解答题（共3题，每题10分）
15、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.
(1)求证：k1·k2＝－；
(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由．
解：(1)证明：∵k1，k2存在，∴x1x2≠0，
∵m·n＝0，∴＋y1y2＝0，
∴k1·k2＝＝－.
(2)①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，
由＝－，得－y＝0，
又由P(x1，y1)在椭圆上，得＋y＝1，
∴|x1|＝，|y1|＝，
∴S△POQ＝|x1|·|y1－y2|＝1.
②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b(b≠0)．
由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，
Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(4k2＋1－b2)＞0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∵＋y1y2＝0，
∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1，满足Δ＞0.
∴S△POQ＝·|PQ|＝
|b|＝2|b|·＝1.
∴△POQ的面积S为定值．
16、已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)由题意得，c＝，＝2，a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝1，
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立消去y可得，(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
∴Δ＝16(4k2＋1－m2)＞0，x1＋x2＝，
x1x2＝.
∵点B在以线段MN为直径的圆上，
∴·＝0.
∵·＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0，
∴(k2＋1)＋k(m－1)＋(m－1)2＝0，
整理得5m2－2m－3＝0，
解得m＝－或m＝1(舍去)．
∴直线l的方程为y＝kx－.
易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意．
故直线l过定点，且该定点的坐标为.
17、已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P(2,1)在直线l的左上方．若∠APB＝90°，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求线段MN的长度．
[解] (1)由题意知解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线l：y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，得消去y，化简整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
则由Δ＝(2m)2－4(2m2－4)>0，得－2由根与系数的关系得，x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4，
因为kPA＝，kPB＝，
所以kPA＋kPB＝＋＝
，
上式中，分子＝(x2－2)＋
(x1－2)
＝x1x2＋(m－2)(x1＋x2)－4(m－1)
＝2m2－4＋(m－2)(－2m)－4(m－1)＝0.
所以kPA＋kPB＝0.
因为∠APB＝90°，所以kPA·kPB＝－1，
则kPA＝1，kPB＝－1.
所以△PMN是等腰直角三角形，
所以|MN|＝2xP＝4.