(共21张PPT)
认识勾股定理
苏科版
八年级上
第2章
勾股定理
3.1.1
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6
7
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A
C
D
8
B
6
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D
C
24
13
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14
【中考·滨州】在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
1
A
已知一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三条边长的平方为( )
A．25
B．7
C．7或25
D．不确定
2
C
若直角三角形的两直角边长分别为a，b，且满足(a－6)2＋|b－8|＝0，则该直角三角形的斜边长为( )
A．14
B．10
C．58
D．100
3
B
在Rt△ABC中，∠A＝90°，周长为60，斜边长与一直角边长之比为13∶5，则这个三角形的三边长分别是( )
A．5，4，3
B．13，12，5
C．39，15，6
D．26，24，10
4
D
在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2＋BC2＋CA2＝________．
5
8
如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝________．
6
2
【2019·黔东南州】如图，点E在正方形ABCD的边AB上
，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为________．
7
3
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为( )
A．3
B．4
C．5
D．7
8
D
9
【2019·宁波】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( )
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
C
10
24
在△ABC中，若∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝7，b＝25，则c的长为________.
【点拨】在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理关系式进行求解．解这类题常见的错误是受思维定式(勾股定理的关系式：a2＋b2＝c2)的影响而误认为c一定是斜边．
11
(2)AB的长．
12
【中考·益阳】在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6
cm，BC＝8
cm，现将直角边AC沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处，试求CD的长．
13
解：在Rt△ABC中，AC＝6
cm，BC＝8
cm，
由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝100，所以AB＝10
cm.
由折叠的性质知AE＝AC＝6
cm，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°，所以BE＝AB－AE＝10－6＝4(cm)，∠BED＝90°.
设CD＝x
cm，则DE＝x
cm，BD＝(8－x)cm，
在Rt△BDE中，由勾股定理得x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.所以CD的长为3
cm.
如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20
m，BC＝15
m，CD＝7
m，求四边形ABCD的面积．
14
【点拨】利用分割法将四边形ABCD分割成△ABC和△ACD两个直角三角形，将这两个直角三角形面积相加即可得到结果．(共25张PPT)
苏科版
八年级上
勾股定理解题的九种常见题型
阶段核心题型
第3章
勾股定理
1
2
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4
5
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8
9
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F.若AE＝4，FC＝3，求EF的长．
1
解：如图，连接BD.
因为在等腰直角三角形ABC中，点D为AC边的中点，∠ABC＝90°，
所以BD⊥AC，BD平分∠ABC.
所以∠ABD＝∠CBD＝45°.
又易知∠C＝45°，
所以∠ABD＝∠CBD＝∠C.
易知BD＝CD.
所以BE＝FC＝3.
所以AB＝AE＋BE＝4＋3＝7，则BC＝7.
所以BF＝BC－FC＝7－3＝4.
在Rt△EBF中，EF2＝BE2＋BF2＝32＋42＝25，所以EF＝5.
如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.试说明：AB＝BC.
2
【点拨】当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理说明，应用勾股定理说明两条线段相等的一般步骤：①找出图中说明结论所要用到的直角三角形；②根据勾股定理写出三边长的平方关系；③联系已知，等量代换，求之即可．
解：因为CD⊥AD，所以∠ADC＝90°，
即△ADC是直角三角形．
由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.
又因为AD2＝2AB2－CD2，
所以AD2＋CD2＝2AB2.所以AC2＝2AB2.
因为∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形．
由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，
所以AB2＋BC2＝2AB2.所以BC2＝AB2，即AB＝BC.
如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.
试说明：BP2＝BC2＋AP2.
3
解：如图，连接BM.
因为PM⊥AB，所以△BMP和△AMP均为直角三角形．
所以BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.
同理可得BC2＋CM2＝BM2.
所以BP2＋PM2＝BC2＋CM2.
又因为CM＝AM，所以CM2＝AM2＝AP2＋PM2.
所以BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.
所以BP2＝BC2＋AP2.
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形ABCD的周长为32，求BC和CD的长度．
4
【点拨】当已知条件比较分散且无法直接使用时，往往通过作辅助线构造特殊三角形进行计算．
如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′处．若AB＝6，BC＝9，求BF的长．
5
【点拨】根据折叠前后重合的图形全等，得到相等的线段、相等的角．在新增的Rt△C′BF中，利用折叠的性质，表示出各边长，列方程求解．
解：因为折叠前后两个图形的对应线段相等，所以CF＝C′F.
设BF＝x，因为BC＝9，
所以CF＝9－x.所以C′F＝9－x.
由题意得BC′＝3.
在Rt△C′BF中，根据勾股定理可得C′F2＝BF2＋C′B2，即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4.所以BF的长是4.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5
cm，AC＝3
cm，动点P从点B出发沿射线BC以1
cm/s的速度移动，设运动的时间为t
s.
(1)求BC边的长；
6
解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，所以BC＝4
cm.
(2)当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；
解：由题意知BP＝t
cm，当△ABP为直角三角形时，有两种情况：
Ⅰ.如图①，当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4
cm，即t＝4.
解：当△ABP为等腰三角形时，有三种情况：
Ⅰ.如图①，当BP＝AB时，t＝5；
(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值．
如图，某学校(A点)到公路(直线l)的距离为300
m，到公交站(D点)的距离为500
m．现要在公路边上建一个商店(C点)，使之到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离．
7
解：设CD＝x(x＞0)m，则AC＝x
m，作AB⊥l于点B，则AB＝300
m.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2＋BD2，AB＝300
m，AD＝500
m，所以BD＝400
m.
所以BC＝(400－x)m.
在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，
所以x2＝3002＋(400－x)2，解得x＝312.5.
所以商店C与公交站D之间的距离为312.5
m.
如图，小明家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60
m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80
m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100
m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．
8
解：小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
理由如下：
由题易知AB＝60
m，BC＝80
m，AC＝100
m，所以AB2＋BC2＝AC2.所以∠ABC＝90°.
又因为AD∥NM，所以∠NBA＝∠BAD＝30°.
所以∠MBC＝180°－90°－30°＝60°.
所以小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
如图，圆柱形玻璃容器高10
cm，底面周长为30
cm，在外侧距下底1
cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形玻璃容器的上口外侧距开口处1
cm的点F处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度．
9
解：如图，将圆柱形玻璃容器侧面展开，
连接SF，过点S作SP⊥MN于点P，
由题意可知FP＝10－2＝8(cm)，
SP＝15
cm，
在Rt△SPF中，SF2＝SP2＋FP2＝152＋82＝289，
所以SF＝17
cm.
因此，蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度为17
cm.(共21张PPT)
勾股定理的验证
苏科版
八年级上
第2章
勾股定理
3.1.2
1
2
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5
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答
案
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12
D
A
C
A
B
B
C
10
历史上对勾股定理的一种验证方法采用了如图所示的图形，其中两个全等直角三角形的两边AE，EB在一条直线上．验证过程中用到的面积相等的关系式是( )
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE
C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB
D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD
1
D
如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、100分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形的边长是( )
A．6
B．8
C．36
D．164
2
A
【2019·咸宁】勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是( )
3
B
如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( )
A．48
B．60
C．76
D．80
4
C
如图，已知Rt△ABC中，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆形，面积分别记为S1、S2，则S1＋S2的值等于( )
A．2
π
B．4
π
C．8
π
D．16
π
5
A
【点拨】根据圆的面积公式结合勾股定理，可知S1＋S2等于以AB为直径的半圆形的面积．
如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则BM的最小值为( )
A．8
B．9.6
C．10
D．4.5
6
B
7
C
如图，已知正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积＝16，AE＝1.则正方形EFGH的面积为________．
8
10
9
【2019·巴中】如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D.
(1)试说明：EC＝BD.
(2)若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图说明勾股定理．
【点拨】通过拼图，利用求面积来验证，这种方法以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据．
10
勾股定理是初中数学学习的重要定理之一，这个定理的验证方法有很多，你能验证它吗？请你根据所给图形选择一种方法画出验证勾股定理的图形并写出验证过程．
解：答案不唯一．
例如：如下图：
11
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E、F分别为AC、BC的中点，试说明：AE2＋BF2＝EF2.
【点拨】线段AE、BF、EF不在同一个直角三角形中，所以不能直接利用勾股定理，但AE＝CE，BF＝CF，故可考虑利用相等线段进行转化．
解：因为点E、F分别为AC、BC的中点，
所以AE＝CE，BF＝CF.
在Rt△CEF中，CE2＋CF2＝EF2，
所以AE2＋BF2＝EF2.
12
如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°.
(1)求证：DF⊥AB；
(2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2＋b2＝c2.(共24张PPT)
勾股定理的逆定理
苏科版
八年级上
第2章
勾股定理
3.2
1
2
3
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5
6
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11
12
C
C
B
直角
C
24
45°
90°
直角三角形
D
B
2
13
答
案
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14
15
16
△ABC的三边长分别是a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A．∠A＝∠B－∠C
B．a:b:c＝5:12:13
C．∠A:∠B:∠C＝3:4:5
D．a2＝(b＋c)(b－c)
1
C
下列几组数，能作为直角三角形的三边长的有( )
①3，4，5；②5，12，13；③6，7，8.
A．0组
B．1组
C．2组
D．3组
2
C
如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的点C有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
3
C
【点拨】如图，C1、C2、C3、C4均可与点A和B组成直角三角形．故选C.
4
B
如图所示，在4×4的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC是________三角形．
5
直角
如图，已知CD＝3，AD＝4，BC＝12，AB＝13，∠ADC＝90°，阴影部分的面积为________．
6
24
如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数＝________．
7
45°
如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，则∠ABD＝________．
8
90°
9
已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式|a2－36|＋|b－8|＋(c－10)2＝0，则△ABC的形状为______________．
直角三角形
【点拨】∵|a2－36|＋|b－8|＋(c－10)2＝0，
∴a2－36＝0，b－8＝0，c－10＝0，
解得：a＝6，b＝8，c＝10.
∴a2＋b2＝c2，∴∠C＝90°，
即△ABC的形状为直角三角形．
在下列四组数中，不是勾股数的一组数是( )
A．a＝15，b＝8，c＝17
B．a＝6，b＝8，c＝10
C．a＝3，b＝4，c＝5
D．a＝3，b＝5，c＝7
10
D
11
下列哪一组数是勾股数( )
A．9，12，13
B．8，15，17
C．3，3，8
D．12，18，22
B
12
下列四组数：①0.6，0.8，1；②5，12，13;
③8，15，17；④4，5，6.其中是勾股数的组数为________．
2
【点拨】①0.62＋0.82＝12，不是整数，不是勾股数；
②52＋122＝132，是勾股数；
③82＋152＝172，是勾股数；
④42＋52≠62，不是勾股数；
其中是勾股数的组数为2.
如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9.判断△ABC的形状．
13
解：在Rt△BCD中，
CD＝12，BD＝9，
∴BC2＝CD2＋BD2＝144＋81＝225，∴BC＝15.
在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝400－144＝256，∴AD＝16.∴AB＝25.
∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°.
(1)连接AC，求证：△ACD是直角三角形；
14
证明：在Rt△ABC中，
AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25，∴AC＝5，
∵CD＝12，AD＝13，
∴AC2＋CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，
∴△ACD是直角三角形．
(2)求△ACD中AD边上的高．
如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝4，BC＝3，CD＝8，DE＝6，AE2＝125.
(1)求AC、CE的长；
15
解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
AB＝4，BC＝3，∴AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝25，∴AC＝5.
∵在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝8，DE＝6，
∴CE2＝CD2＋DE2＝62＋82＝100，∴CE＝10.
(2)求证：∠ACE＝90°.
证明：∵AC＝5，CE＝10，AE2＝125，
∴AE2＝AC2＋CE2，
∴∠ACE＝90°.
如图，D为AB上一点，△ACE≌△BCD，AD2＋DB2＝DE2，试判断△ABC的形状，并说明理由．
16
解：△ABC是等腰直角三角形，
理由是：∵△ACE≌△BCD，
∴AC＝BC，∠EAC＝∠B，AE＝BD，
∵AD2＋DB2＝DE2，∴AD2＋AE2＝DE2，
∴∠EAD＝90°，∴∠EAC＋∠DAC＝90°，
∴∠DAC＋∠B＝90°，∴∠ACB＝180°－90°＝90°，
∵AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形．(共24张PPT)
勾股定理的简单应用
苏科版
八年级上
第3章
勾股定理
3.3
1
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3
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答
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C
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C
A
C
C
13
答
案
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【中考·黄冈】如图，圆柱形玻璃杯高为14
cm，底面周长为32
cm，在杯内壁离杯底5
cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3
cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为________cm(杯壁厚度不计)．
1
20
如图，小红想用一条彩带缠绕一个圆柱，正好从A点绕四圈到正上方B点，已知圆柱底面周长是12
cm，高是20
cm，那么所需彩带最短是( )
A．13
cm
B．24
cm
C．25
cm
D．52
cm
2
D
如图，有一个长、宽各为2
m，高为3
m且封闭的长方体纸盒，一只昆虫要从顶点A爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为( )
A．3
m
B．4
m
C．5
m
D．6
m
3
C
如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50
cm，30
cm，10
cm，A和B是这个台阶的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶爬到B点，至少需爬( )
A．13
cm
B．40
cm
C．130
cm
D．169
cm
4
C
【中考·营口】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
5
B
【点拨】如图，过点C作CO⊥AB于点O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于点P′，连接CP′，
此时DP′＋CP′＝DP′＋P′C′＝DC′的值即为PC＋PD的最小值．连接BC′，由对称性可知∠C′BP′＝∠CBP′＝45°，所以∠CBC′＝90°.因为AB⊥CC′，OC＝OC′，
所以BC′＝BC＝3＋1＝4，
根据勾股定理可得DC′＝5.
【中考·长沙】我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为( )
A．7.5平方千米
B．15平方千米
C．75平方千米
D．750平方千米
6
A
如图，甲货船以16
n
mile/h的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12
n
mile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3
h时两船相距( )
A．35
n
mile B．50
n
mile C．60
n
mile D．40
n
mile
7
C
如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在BC边上的点F处，若AE＝5，BF＝3，则CD的长是( )
A．7
B．8
C．9
D．10
8
C
【点拨】由折叠可知AE＝EF，再运用勾股定理可得BE＝4，进而可知CD＝AB＝9.
9
如图，有一个长方体纸盒，小明所在的数学合作小组研究长方体的底面A点到长方体与A相对的B点的表面最短距离．若长方体的长为12
cm，宽为9
cm，高为5
cm，请你帮助该小组求出A点到B点的表面最短距离．(结果精确到1
cm.参考数据：21.592≈466，18.442≈340，19.242≈370)
【点拨】求空间几何体表面的最短距离问题，通常可将几何体表面展开，把立体图形问题转化为平面图形问题，由于展开方式不同，最短距离的长短也可能不一样．
解：将四边形ACDF与四边形FDBG在同一平面上展开，如图①所示，连接AB，在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝122＋(5＋9)2＝340；将四边形ACDF与四边形DCEB在同一平面上展开，如图②所示，连接AB，在Rt△AEB中，根据勾股定理，得AB2＝BE2＋AE2＝52＋(12＋9)2＝466；将四边形
AHGF与四边形FDBG在同
一平面上展开，
如图③所示，连接AB，在Rt△ADB中，根据勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2＝(5＋12)2＋92＝370.因为340＜370＜466，所以A点到B点的表面最短距离是如图①所示的情况．此时AB≈18
cm.故A点到B点的表面最短距离约为18
cm.
如图，已知长方体的长AC＝2
cm，宽BC＝1
cm，高AA′＝4
cm，如果一只蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最短路程是多少？
10
【点拨】利用化折为直法将不同展开方式进行分类计算比较得出结果．
解：根据题意，有以下三种情况：
(1)如图①，连接AB′，AB′2＝AB2＋BB′2＝(2＋1)2＋42＝25；(2)如图②，连接AB′，AB′2＝
AC2＋B′C2＝22＋(4＋1)2＝4＋25＝29；
(3)如图③，连接AB′，AB′2＝AD2＋
B′D2＝12＋(4＋2)2＝1＋36＝37.
综上所述，最短路程应为如图①所示的情况，此时AB′2＝25，即AB′＝5
cm.故最短路程是5
cm.
11
如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400
m，BD＝200
m，CD＝800
m，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路程最短？最短路程是多少？
解：如图，作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点M，连接AM，则AM＝A′M，所以在点M处饮水所走的总路程最短，最短路程为A′B的长．过点A′作A′H⊥BD交BD的延长线于点H.在Rt△A′HB中，A′H＝CD＝800
m，BH＝BD＋DH＝BD＋AC＝200＋400＝600(m)，由勾股定理，得A′B2＝A′H2＋BH2＝8002＋6002
＝1
000
000，故A′B＝1
000
m，
所以最短路程为1
000
m.
12
如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最短长度．
【点拨】利用对称法将两点到直线上的一点的最短路程和转化为两点间的距离，用勾股定理求解．
解：如图，连接DE，与AC交于点P，连接BP，易知此时EP＋BP最短，且最短长度为DE的长．
由题易知AD＝AB＝AE＋EB＝3＋1＝4.
所以DE2＝AE2＋AD2＝32＋42＝25，
所以DE＝5.
即EP＋BP的最短长度为5.
如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有一所学校，点A到公路MN的距离AB＝80
m，现有一拖拉机在公路MN上以18
km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100
m以内都会受到噪声的影响，则该学校受影响的时间为多少秒？
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八年级上
第3章
勾股定理
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8
答
案
呈
现
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如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD.若AB＝8，BD＝5，求CD的长．
1
【点拨】勾股定理反映了直角三角形三边长之间的数量关系，利用勾股定理列方程思路清晰、直观易懂．
解：设CD＝x，在Rt△ABC中，有AC2＋(CD＋BD)2＝AB2，
整理，得AC2＝AB2－(CD＋BD)2＝64－(x＋5)2.①
在Rt△ADC中，有AC2＋CD2＝AD2，
整理，得AC2＝AD2－CD2＝25－x2.②
由①②两式，得64－(x＋5)2＝25－x2，解得x＝1.4，即CD的长是1.4.
在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边．当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状(按角分类)．
(1)请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为________三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为________三角形．
2
画图略
锐角
钝角
(2)小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2＋b2>c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2?
如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1
cm和
3
cm，高为6
cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时，其长度的平方是多少？
3
解：将长方体的侧面展开，如图所示．
因为AA′＝1＋3＋1＋3＝8(cm)，A′B′＝6
cm，
所以AB′2＝AA′2＋A′B′2＝82＋62＝102.
所以AB′＝10
cm.
所以用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，所用细线最短需要10
cm.如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时，其长度的平方为(64n2＋36)cm2.
如图，红星村A和幸福村B在河岸CD的同侧，它们到河岸CD的距离AC，BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂分别向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20
000元．
(1)请在CD上选取水厂的位置(记为E)，使铺设水管(即EA＋EB)的费用最省；
4
解：作A关于直线CD的对称点A′，
连接A′B，交CD于点E，则点E为水厂的位置，如图所示．
(2)求铺设水管的最省费用．
【点拨】本题通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解．
解：如图，过点A′作CD的平行线，交BD的延长线于点F.连接AE，易知BF⊥A′F，AE＝A′E.
易得BF＝BD＋DF＝BD＋A′C＝BD＋AC＝3＋1＝4(千米)，A′F＝CD＝3千米，∴A′B2＝BF2＋A′F2＝42＋32＝52，∴A′B＝5千米．
∴AE＋BE＝A′E＋BE＝A′B＝5千米．
20
000×5＝100
000(元)．
答：铺设水管的最省费用为100
000元．
如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．
5
解：如图，连接EE′.
由题意可知△ABE≌△CBE′，
所以CE′＝AE＝1，BE′＝BE＝2，
∠ABE＝∠CBE′.
6
如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12.求：
(1)AC的长度；
解：因为AD是BC边上的中线，BC＝10，所以BD＝CD＝5.
因为52＋122＝132，所以BD2＋AD2＝AB2.
所以∠ADB＝90°.所以∠ADC＝90°.
所以AC2＝AD2＋CD2＝169.
所以AC＝13.
(2)△ABC的面积．
将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆顶端到地面的高度为320
cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①所示．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.(彩旗完全展开时的尺寸是如图②所示的长方形)
7
解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长，
因为1202＋902＝22
500，
所以彩旗的对角线长为150
cm.
所以h＝320－150＝170(cm)．
即彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h为170
cm.
如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5
n
mile的A，B两个基地前去拦截，6
min后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇的速度为40
n
mile/h，乙巡逻艇的速度为30
n
mile/h，且乙巡逻艇的航向为北偏西37°，求甲巡逻艇的航向．
8
解：由题意得AC＝40×(6÷60)＝4(n
mile)，BC＝30×(6÷60)＝3(n
mile)．
因为AB＝5
n
mile，所以AB2＝BC2＋AC2.所以∠ACB＝90°.
因为∠CBA＝90°－37°＝53°，
所以∠CAB＝37°.
所以90°－∠CAB＝53°.
所以甲巡逻艇的航向为北偏东53°.
