2020-2021学年青岛新版九年级上册数学期中练习试卷(word解析版)

2020-2021学年青岛新版九年级上册数学期中练习试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．tan30°的值等于（　　）
A．
B．
C．1
D．2
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若AD＝4BD，则的值为（　　）
A．
B．
C．2
D．
3．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，点A，B，C，D在圆O，AC是圆O的直径，∠CAD＝26°，则∠ABD的度数为（　　）
A．26°
B．52°
C．64°
D．74°
5．如图，小敏在作业中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小敏的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．其依据是（　　）
A．两直线平行，同位角相等
B．同旁内角互补，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同位角相等，两直线平行
6．关于x的方程（a﹣3）﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，则（　　）
A．a≠±3
B．a＝3
C．a＝﹣3
D．a＝±3
7．已知过⊙O内一点M的最长弦为10厘米，最短弦长为8厘米，则OM的长为（　　）
A．3厘米
B．6厘米
C．9厘米
D．厘米
8．如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（　　）
A．m＞2
B．m＜2
C．m＞2且m≠1
D．m＜2且m≠1
9．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么BC的长为（　　）
A．10cos50°
B．10sin50°
C．10tan50°
D．10cot50°
10．如图，CD是⊙O的弦，点E在圆上，EM经过圆心，且EM⊥CD于点M，若⊙O的半径为5，CD＝8，则EM的长为（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
11．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
12．如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE．连接AE．DE，连接BD交CE于F，下列结论：①∠AED＝150°；②△DEF∽△BAE；③tan∠ECD＝；④△BEC的面积：△BFC的面积＝（+1）：2，其中正确的结论有（　　）个．
A．4
B．3
C．2
D．1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．如图，已知AB是⊙O的直径，弦BC∥半径OD，∠BOD＝50°，则∠A＝　
　°．
14．如图，有一个池塘，要测量池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一点O，从点O不经过池塘可以直接到达点A和点B，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使＝＝3，测得CD＝36m，则池塘两端AB的距离为　
　m．
15．（1）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，BC＝1，则△ABC的面积为　
　．
（2）在△ABC中，AB＝20，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则△ABC的面积为　
　．
16．等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x+n+10＝0的两根，则n的值为　
　．
17．如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，∠C＝110°，则∠A＝　
　°．
18．为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元．设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为　
　．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（12分）解一元二次方程：
（1）2x2+5x﹣3＝0；
（2）（x+2）2＝3x+6．
20．（8分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．
（1）求证：△ACE≌△BCD．
（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径．
21．（8分）已知AD∥BC，AC、BD交于点E，AC＝BC，BD＝CD，BD⊥CD．
（1）求∠ACB的度数：
（2）求证：BA＝BE．
22．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：
（1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）几秒后，PQ的长度等于2cm？
（3）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．
23．（8分）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4．
（1）求斜坡DE的高EH的长；
（2）求信号塔AB的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
24．（10分）如图，已知在等腰△ABC中，AC＝BC，AB＝6，高CD＝9，⊙O为△ABC的外接圆，点M是上一动点（不与A，B重合），连接AM，BM．
（1）如图，当射线CM与射线AB交于点E时，求证：△AMC∽△EMB；
（2）求sin∠AMB的值；
（3）当点M在上运动时，求AM?BM的最大值．
25．（12分）定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是4：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．
（1）如图1，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“准黄金”三角形，请说明理由．
（2）如图2，△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把△ABC沿BC翻折得到△DBC，AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是△ABD的重心，求的值．
（3）如图3，l1∥l2，且直线l1与l2之间的距离为4，“准黄金”△ABC的“金底”BC在直线l2上，点A在直线l1上，＝，若∠ABC是钝角，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，线段A′C交l1于点D．当点B′落在直线l1上时，则的值为　
　．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．解：tan30°＝．
故选：A．
2．解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∠A+∠ACD＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ACD＝∠B．
∴Rt△ADC∽Rt△CDB，
∴．
设BD＝x，则AD＝4x，
∴CD2＝AD?BD＝4x2，
∴CD＝2x，
∴．
故选：C．
3．解：由在Rt△ABC中，∠C＝90°，得
∠A+∠B＝90°，
cosB＝sinA＝，
故选：D．
4．解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝90°﹣26°＝64°，
∴∠ABD＝∠ACD＝64°．
故选：C．
5．解：根据两直线平行，同位角相等得到直线a和直线b的夹角与直线b和直线PC的夹角相等．
故选：A．
6．解：∵关于x的方程（a﹣3）﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，
∴a2﹣7＝2且a﹣3≠0，
解得：a＝﹣3，
故选：C．
7．解：如图，由题意知，最长的弦为直径DE，最短的弦为垂直于直径DE的弦AB，连接OA，
则直径ED⊥AB于点M，
∵ED＝10厘米，AB＝8厘米，
∴OA＝5厘米，AM＝AB＝4（厘米），
∴OM＝＝＝3（厘米），
故选：A．
8．解：根据题意得m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）＞0，
解得m＜2且m≠1．
故选：D．
9．解：在Rt△ABC中，
∵cosB＝，∠B＝50°，AB＝10，
∴BC＝AB?cosB＝10?cos50°，
故选：A．
10．解：如图，连接OC，
∵EM⊥CD，CD＝8，
∴CM＝MD＝CD＝4，
∴OM＝＝＝3，
∴EM＝OE+OM＝5+3＝8，
故选：C．
11．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝＝＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，
∴DE＝EF＝3﹣x＝，
∴tan∠DAE＝＝＝，
故选：D．
12．解：
∵△BEC为等边三角形
∴∠EBC＝∠BCE＝∠ECB＝60°，AB＝EB＝EC＝BC＝DC
∵四边形ABCD为正方形
∴∠ABE＝∠ECD＝90°﹣60°＝30°
∴在△ABE和△DCE中，
AB＝DC
∠ABE＝∠ECD
BE＝EC
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠AEB＝∠DEC＝＝75°
∴∠AED＝360°﹣60°﹣75°×2＝150°
故①正确
由①知AE＝ED
∴∠EAD＝∠EDA＝15°
∴∠EDF＝45°﹣15°＝30°
∴∠EDF＝∠ABE
由①知∠AEB＝∠DEC，
∴△DEF～△BAE
故②正确
过点F作FM⊥DC交于M，如图
设DM＝x，则FM＝x，DF＝x
∵∠FCD＝30°
∴MC＝x
则在Rt△DBC中，BD＝
∴BF＝BD﹣DF＝
则
∵tan∠ECD＝tan30°＝
∴tan∠ECD＝
故③正确
如图过点E作EH⊥BC交于H，过F作FG⊥BC交于G，得
由③知MC＝，MC＝FG
∴FG＝
∵BC＝DC＝x
∴BH＝
∵∠EBC＝60°
∴EH＝x，
∴＝＝＝＝
故④正确
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．解：∵弦BC∥半径OD，∠BOD＝50°，
∴∠B＝∠BOD＝50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠B＝40°，
故答案为：40．
14．解：∵＝＝3，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴＝＝＝3，
∵CD＝36m，
∴AB＝3CD＝108米．
故答案为：108．
15．解：（1）以B为顶点作∠CBD＝60°，交AC于D，
∵∠C＝90°，∠A＝15°，
∴∠ABC＝75°，
∴∠ABD＝15°，∠BDC＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，
在Rt△BDC中，∵BC＝1，
∴CD＝BC?tan60°＝，
∴BD＝2BC＝2，
∴AD＝BD＝2，
∴AC＝2+，
∴△ABC的面积＝BC?AC＝×1×（2+）＝．
故答案为：．
（2）△ABC中，AB＝20，AC＝13，BC边上高AD＝12，
如图①，在Rt△ABD中AB＝20，AD＝12，
由勾股定理得，BD＝＝＝16，
如图②，在Rt△ADC中AC＝13，AD＝12，
由勾股定理得，DC＝＝＝5，
则BC的长为BD+DC＝16+5＝21或16﹣5＝11，
△ABC的面积为：×21×12＝126或×11×12＝66．
故答案为：66或126．
16．解：当2为底边长时，则a＝b，a+b＝8，
∴a＝b＝4．
∵4，4，2能围成三角形，
∴n+10＝4×4，
解得：n＝6；
当2为腰长时，a、b中有一个为2，则另一个为6，
∵6，2，2不能围成三角形，
∴此种情况不存在．
故答案为：6．
17．解：∵四边形ABCD的顶点都在⊙O上，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70．
18．解：设平均每次降价的百分率为x，则第一降价售价为289（1﹣x），则第二次降价为289（1﹣x）2，由题意得：
289（1﹣x）2＝256．
故答案为：289（1﹣x）2＝256．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．解：（1）∵2x2+5x﹣3＝0，
∴（x+3）（2x﹣1）＝0，
则x+3＝0或2x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝0.5；
（2）∵（x+2）2＝3x+6，
∴（x+2）2＝3（x+2），
∴（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
则（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x+2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1．
20．解：（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（ASA）；
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴CE＝CD，AE＝BD，
∵CE⊥CD，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∵CD＝2，BD＝3,
∴DE＝2，AE＝3，
∴AD＝5，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝2，
∴⊙O的半径为．
21．解：（1）过D作BC的垂线交BC于M点，过A作BC的垂线交BC于N点，则AM∥DN，
∵AD∥BC，
∴四边形AMND是矩形，
∴DN＝AM，
∵BD⊥CD，BD＝CD，
∴△BDC为等腰直角三角形，
∴BC＝2DN＝2AM，
∵AC＝BC，
∴AC＝2AM，
∵∠AMC为直角，
∴∠ACB＝30°，
（2）证明∵∠AEB＝45°+30°＝75°，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝（180°﹣∠ACB）＝（180﹣30）＝75°，
∴∠AEB＝∠EAB，
∴AB＝BE．
22．解：7÷2＝（s）．
当运动时间为ts（0≤t≤）时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．
（1）依题意得：×2t×（5﹣t）＝4，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去）．
答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
（2）依题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝（2）2，
整理得：t2﹣2t﹣3＝0，
解得：t1＝3，t2＝﹣1（不合题意，舍去）．
答：3秒后，PQ的长度等于2cm．
（3）不能，理由如下：
依题意得：×2t×（5﹣t）＝7，
整理得：t2﹣5t+7＝0．
∵△＝（﹣5）2﹣4×1×7＝﹣3＜0，
∴该方程没有实数根，
∴△PBQ的面积不能等于7cm2．
23．解：（1）过点E作EM⊥AC于点M，
∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝65米，CD＝60米，
∴设EH＝x，则DH＝2.4x．
在Rt△DEH中，
∵EH2+DH2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝652，
解得，x＝25（米）（负值舍去），
∴EH＝25米；
答：斜坡DE的高EH的长为25米；
（2）∵DH＝2.4x＝60（米），
∴CH＝DH+DC＝60+60＝120（米）．
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EH⊥CD，
∴四边形EHCM是矩形，
∴EM＝CH＝120米，CM＝EH＝25米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝37°，
∴AM＝EM?tan37°≈120×0.75＝90（米），
∴AC＝AM+CM＝90+25＝115（米）．
∴AB＝AC﹣BC＝115﹣92＝23（米）．
答：信号塔AB的高度为23米．
24．证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵四边形ABMC是⊙O内接四边形，
∴∠ACM+∠ABM＝180°，∠CAB+∠CMB＝180°，
又∵∠ABM+∠MBE＝180°，∠CMB+∠BME＝180°，
∴∠ACM＝∠MBE，∠CAB＝∠BME，
∵∠AMC＝∠ABC，
∴∠AMC＝∠ABC＝∠CAB＝∠BME，
∴△AMC∽△EMB；
（2）如图1，过点A作AH⊥BC于H，
∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝3，
∴BC＝＝＝3，
∵S△ABC＝AB×CD＝×BC×AH，
∴AH＝＝，
∵∠AMB＝∠ACB，
∴sin∠AMB＝sin∠ACB＝＝＝；
（3）如图2，过点B作BN⊥AM于N，
∵S△ABM＝×AM×NB＝×AM×BM×sin∠AMB，
∴S△ABM＝××AM×BM，
∴AM?BM＝?S△ABM，
∴当S△ABM的值最大时，AM?BM有最大值，
∴当点M与点C重合时，S△ABM的值最大，S△ABM的最大值＝×6×9＝27，
∴AM?BM的最大值＝×27＝90．
∴AM?BM的最大值为90．
25．解：（1）结论：△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”．
理由：过点A作AD⊥CB交CB的延长线于D．
∵AC＝8，∠C＝30°，
∴AD＝4，
∴＝
∴△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”．
（2）如图2，
∵A，D关于BC对称，
∴BE⊥AD，AE＝ED，
∵△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，
∴＝，
不妨设AE＝4k，BC＝5k，
∵C是△ABD的重心，
∴BC：CE＝2：1，
∴CE＝，BE＝，
∴AB＝，
∴．
（3）．
方法一：∵△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，
∴AE：BC＝4：5，
∵AE＝4，
∴BC＝5，
∵，
∴AB＝2，
∴BE＝＝＝2，
∴EC＝BE+BC＝7，
如图3，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥AC于F，过点B′作B′G⊥BC于G．
在Rt△CB′G中，∵∠CGB′＝90°，GB′＝4，CB′＝CB＝5，
∴CG＝＝＝3，
∵∠GCB′＝∠FCD＝α，∠CGB′＝∠CFD＝90°，
∴△CGB′∽△CFD，
∴DF：CF：CD＝GB′：CG：CB′＝4：3：5，
设DF＝4k，CF＝3k，CD＝5k，
∵△AEC∽△DFA，
∴，
∴，
解得AF＝7k，
∴AD＝＝＝k，
∴．
方法二：如图3，同方法一求出CE＝7，AE＝4，
∴AC＝＝＝，BC＝B'C＝5，
∵l1∥l2，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠A'CB'，
∴∠DCB’＝∠DAC，
∵∠B'DC＝∠CDA，
∴△DCB’∽△DAC，
∴，
∴．
故答案为：．