人教版高一上册数学课件《2.2.2向量的坐标表示与运算》（25张PPT）

2.2.2向量的坐标表示与运算
复 习
1、平面向量基本定理的内容是什么？
2、什么是平面向量的基底？
平面向量的基本定理:
向量的基底:
不共线的平面向量 e1 , e2 叫做这一平面内所有向量的一组基底.
如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 λ1 , λ2 使得a= λ1 e1+ λ2 e2
1．在平面内有点A和点B，怎样表示向量 ？
O
x
y
思考1:
A
B
任一向量a ，用这组基底
能不能表示?
2.分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j
能否作为平面向量的基底?
i
j
a
思考：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).
设 ，填空：
（1）
（2）若用 来表示 ，则：
1
1
5
3
5
4
7
（3）向量 能否由 表示出来？
探索1:
以O为起点， P为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？
o
P
x
y
a
向量的坐标表示
向量
P（x ，y）
一 一 对 应
在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示?
探索2:

A
o
x
y
可通过向量的平移，将向量的起点移到坐标的原点O处.
解决方案:
a
a
O
x
y
A
平面向量的坐标表示
如图， 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 为基底，则
这里，我们把（x,y）叫做向量 的（直角）坐标，记作
①
其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在
y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示。
1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式.
2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标,
记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式.
3、 a=x i+y j =( x , y)
4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
单位向量 i =（1，0），j =（0，1）
思考:
3．两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？
1．以原点O为起点作 ，点A的位置由谁确定?
由a 唯一确定
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
向量a
坐标（x ，y）
一 一 对 应
若a以为起点,两者相同
O
x
y
i
j
a
A(x, y)
a
变形:如图分别用基底 ， 表示向量 、 、 、 ，
并求出它们的坐标。
A
A1
A2
解：如图可知
同理
思考：已知
你能得出 的坐标吗？
平面向量的坐标运算：
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个
向量相应坐标的和（差）
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标
探究3
向量的加法：
y
x
o
a
b
x1
x2
x1+x2
y1
y2
y1+y2
a＋b
已知a=(x1,y1), b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2)
a－b
向量的减法：
同理可得数乘向量的坐标运算
已知a=(x1,y1), b=(x2,y2),
则a-b=(x1-x2,y1-y2)
o
y
x
x1
x2
y1
y2
a
b
x1－x2
y1－y2
已知a=(x,y)和实数λ，则λa=（λx,λy）
向量的坐标运算法则
练习:已知
求 的坐标。
例2.如图，已知
求 的坐标。
x
y
O
B
A
解：
一个向量的坐标等于表示此向量的
有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
这是一个重要结论！
例3.如图，已知 的三个顶点A、B、C的
坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），
试求顶点D的坐标。
A
B
C
D
x
y
O
解法１：设点D的坐标为（x,y）
解得 x=2,y=2
所以顶点D的坐标为（2，2）
例3.如图，已知 的三个顶点A、B、C的
坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），
试求顶点D的坐标。
A
B
C
D
x
y
O
解法2：由平行四边形法则可得
而
所以顶点D的坐标为（2，2）
变形:如图，已知 平行四边形的三个顶点的坐标
分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），
试求第四个顶点的坐标。
x
y
O
(-2,1)·
(-1,3)·
(3,4)·
课堂小结:
2 加、减法法则.
3 实数与向量积的运算法则：
4 向量坐标.
若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
1 向量坐标定义.
则 =(x2 - x1 , y2 – y1 )
a + b=( x2 , y2) + (x1 ,? y1)= (x2+x1 , y2+y1)
a - b=( x2 , y2) - (x1 ,? y1)= (x2- x1 , y2-y1)
λa =λ(x,y )=(λx ,λy )