人教版高一上册数学课件《向量数乘运算》（17张PPT）

向量的加法(三角形法则)
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
a
b
作法:
在平面中任取
一点O,
a
A
b
B
a+b
过O作OA= a
则OB= a+b.
过A作AB= b
o
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向量的加法(平行四边形法则)
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
a
作法:
在平面中任取一点O,
过O作OA= a
过O作OB= b
o
a
A
b
B
b
以OA,OB为边作
平行四边形
则对角线
OC= a+b
a+b
C
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向量的减法(三角形法则）
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.
a
b
作法:
在平面中任取一点o,
过O作OA= a
过O作OB= b
o
a
A
b
B
则BA= a-b
a-b
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试作出： a+a+a 和 (-a)+(-a)+(-a)
已知非零向量 a （如图）
a
a
a
a
O
A
B
C
-a
-a
-a
P
Q
M
N
相同向量相加以后，
和的长度与方向有什么变化？
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一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，
它的长度和方向规定如下：
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(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0，方向任意。
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量)，并进行比较。
(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。
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=
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：
①λ(μa)=(λμ) a
②(λ+μ) a=λa+μa
③λ(a+b)=λa+λb
例1 计算：
(1) (-3)×4a
(2) 3(a+b) –2(a-b)-a
(3) (2a+3b-c) –(3a-2b+c)
-12a
5b
-a+5b-2c
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向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。
对于任意的向量 以及任意实数 恒有
对于向量 a (a≠0), b ，以及实数λ,μ
问题1：如果 b=λa ,
那么，向量a与b是否共线？
问题2：如果 向量a与b共线
那么，b=λa ？
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
有且只有一个实数λ，使得 b=λa
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例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
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向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
有且只有一个实数λ，使得 b=λa
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一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0 )
b=λa 向量a与b共线
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线
2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线
3. 证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
课本 :
P90 第 4、5题
P91 第 4题

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如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C
三点共线。
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提示：设AB = a BC = b
则MN= … = a + b
MC= … = a+ b