2.1等式性质与不等式性质 同步练习2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册第二章（Word含答案）

第二章　一元二次函数、方程和不等式
2.1　等式性质与不等式性质
刷新题夯基础
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
题组一　用不等式(组)表示不等关系
1.(2020河南洛阳一高期中)若某高速公路规定行驶的各种车辆的速度v不得大于120 km/h,行驶过程中,同一车道上的车间距d不得小于100 m,则用不等式(组)可表示为 (　　)
A.v≤120 km/h或d≥100 m
B.v≤120km/hd≥100m
C.v≤120 km/h
D.d≥100 m
2.(2021安徽滁州定远民族中学高一上月考)某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种邮票至少买两套,那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式组可表示为　 (　　)
A.x≥2(x∈N*)y≥2(y∈N*)0.8×5x+2×4y≤50 B.x≤2(x∈N*)y≤2(y∈N*)0.8×5x+2×4y≤50
C.x≥2(x∈N*)y≥2(y∈N*)0.8×5x+2×4y≥50 D.x≤2(x∈N*)y≤2(y∈N*)0.8×5x+2×4y≥50
3.(2020山东威海高一期中)一辆汽车原来每天行驶x km,如果该汽车现在每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程将超过2 200 km,用不等式表示为　　　　　　　.?
题组二　比较实数的大小
4.(2021安徽芜湖一中高一上月考)若M=3x2-x+1,N=2x2+x-1,则M与N的大小关系为 (　　)
A.M>N B.M=N
C.M5.(2020河北正定一中高一期中)已知a1,a2∈{x|0A.MN C.M=N D.不确定
6.(2021山西大学附属中学高二上月考)已知a=2+6,b=4,c=3+5,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.b>c>a
7.若x∈R,则x1+x2与12的大小关系为　　　　　　.?
题组三　不等式的性质及其简单应用
8.(2021浙江杭州部分重点中学高一上期中)如果aA.1b>1a B.-1b>-1a C.ab>a2 D.b2>ab
9.(2021天津经济技术开发区第二中学高一上期中)已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是 (　　)
A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b
10.(2021北京人大附中高二下期末)在一次调查中,甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系:甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同,丙、丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和,乙的阅读量大于甲、丁的阅读量之和.那么这四名同学中阅读量最大的是(　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
11.(2020湖北武汉部分重点中学高一下期末)下列说法正确的有 (　　)
①若|a|>b,则a2>b2;②a>b,c>d,则a-c>b-d;③若abd;④若a>b>0,c<0,则ca>cb.
A.①④ B.②③ C.③④ D.①②
12.(2021河北辛集中学高一上月考)已知a>b>0,且c>d>0,则ad与bc的大小关系是　　　　.?
题组四　利用不等式的性质求代数式的取值范围
13.(2020吉林洮南第一中学高一上期中)若实数α,β满足-12<α<β<-13,则α-β的取值范围是 (　　)
A.-12<α-β<-13 B.-56<α-β<0 C.-12<α-β<13 D.-16<α-β<0
14.(2021安徽阜阳太和中学高一上检测)已知a-b<0,2a-b>0,则-3a+b (　　)
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法确定与0的大小
15.(2020黑龙江大庆实验中学高一下期末)已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则3x+y的最大值为(　　)
A.8 B.9 C.16　 D.18
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题组一　比较实数的大小　
1.(2020河北沧州高一期中,)已知a>0,b>0,x=a5+b5,y=a4b+ab4,z=a3b2+a2b3,则 (　　)
A.x≤y≤z B.y≤z≤x C.z≤x≤y D.z≤y≤x
2.(2020四川成都第七中学高一下期中,)实数a,b,c满足a2=2a+c-b-1且a+b2+1=0,则下列关系成立的是(　　)
A.b>a≥c B.c≥a>b C.b>c≥a D.c≥b>a
3.(2020四川绵阳南山中学高三下模拟,)若P=m+4+m+8,Q=2m+6,其中m≥0,则P、Q的大小关系是 (　　)
A.P>Q B.P=Q C.P4.(2020吉林长春榆树一中高二期末,)实数x,y,z满足x+y+z=0,xyz>0,若T=1x+1y+1z,则 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.T>0 B.T<0 C.T=0 D.T≥0
5.(2020辽宁大连二十四中高三模拟,)已知a+b>0,则ab2+ba2与1a+1b的大小关系是　　　　　　　.?
6.(2021河南洛阳高二上期中,)先后两次购买同一种物品,可采取两种不同的方式,第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买该物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品,其中甲在两次购物时均采用第一种方式,乙在两次购物时均采用第二种方式.已知第一次购物时该物品的单价为p1,第二次购物时该物品的单价为p2(p1≠p2).甲两次购物的平均价格记为Q1,乙两次购物的平均价格记
为Q2.
(1)求Q1,Q2的表达式(用p1,p2表示);
(2)通过比较Q1,Q2的大小,说明哪种购物方式比较划算.
题组二　不等式的性质及其应用
7.(多选)(2020山东济南高一期末,)若a>b>0,dA.ac>bc B.a-d>b-c C.1d<1c D.a3>b3
8.(多选)(2020福建三明一中高一期中,)已知实数a,b,c满足cA.ab>ac B.c(b-a)>0
C.ac(a-c)<0 D.cb29.(多选)()设a,b为正实数,则下列命题正确的是 (　　)
A.若a2-b2=1,则a-b<1
B.若1b-1a=1,则a-b<1
C.若|a-b|=1,则|a-b|<1
D.若|a|≤1,|b|≤1,则|a-b|≤|1-ab|
10.(2020上海奉贤奉城高级中学高一月考,)某花店搞活动,6支红玫瑰与3支黄玫瑰的价格之和大于24元,而4支红玫瑰与5支黄玫瑰的价格之和小于22元,那么2支红玫瑰与3支黄玫瑰的价格比较的结果是(　　)
A.2支红玫瑰贵 B.3支黄玫瑰贵
C.相同 D.不能确定
11.(2020陕西咸阳中学高一检测,)已知不等式:①a2b0>1b;③a30>b且a2>b2,则其中正确的不等式的个数是　　　　.?
12.(2020广东佛山南海高三下检测,)已知a>b≥0,a≥c≥d,且ab≥cd.
(1)请给出a,b,c,d的一组值,使得a+b≥2(c+d)成立;
(2)证明不等式a+b≥c+d恒成立.
答案全解全析
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1.B　由题意可知v≤120 km/h且d≥100 m.故选B.
2.A　依题意得x≥2(x∈N*),y≥2(y∈N*),0.8×5x+2×4y≤50.故选A.
3.答案　8(x+19)>2 200
解析　∵汽车原来每天行驶x km,该汽车现在每天行驶的路程比原来多19 km,
∴现在汽车每天行驶的路程为(x+19)km,则8天内它的行程为8(x+19)km,若8天内它的行程将超过2 200 km,则满足8(x+19)>2 200.故答案为8(x+19)>2 200.
4.A　∵M=3x2-x+1,N=2x2+x-1,∴M-N=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,∴M>N.
故选A.
5.B　由题意得00,故M>N.故选B.
6.D　∵a2=(2+6)2=8+212,c2=(3+5)2=8+215,
∴c2>a2,∴c>a.
∵b2-c2=16-(8+215)=8-215>0,∴b2>c2,
∴b>c,∴b>c>a.
故选D.
7.答案　x1+x2≤12
解析　∵x1+x2-12=2x-1-x22(1+x2)=-(x-1)22(1+x2)≤0,∴x1+x2≤12.
8.B　对于选项A,由a得1a>1b,故A错误;
对于选项B,由a得-1a<-1b,故B正确;
对于选项C,由a对于选项D,由a故选B.
9.C　由a+b>0,知a>-b,∴-a又b<0,∴-b>0,∴a>-b>b>-a.
10.C　设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为x1、x2、x3、x4,则x1≥0,x2≥0,x3≥0,x4≥0.
由甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同,可得x1+x3=x2+x4,①
由丙、丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和,可得x1+x2由乙的阅读量大于甲、丁的阅读量之和,可得x2>x1+x4,③
②-①得x2-x3②+①得2x1+x2+x3由③得x2>x1,x2>x4,∴x3>x2>x4>x1,
即阅读量最大的是丙.
故选C.
11.C　对于①,取a=0,b=-2,则a2-b>0,-c>-d>0,∴ac>bd,③正确;对于④,由a>b>0,两边同乘1ab,得1a<1b,
∵c<0,∴ca>cb,④正确.故选C.
12.答案　ad>bc
解析　∵c>d>0,∴1d>1c>0,∵a>b>0,∴ad>bc>0,∴ad>bc.
故答案为ad>bc.
13.D　∵-12<α<β<-13,∴-12<α<-13,13<-β<12,α-β<0,
∴-16<α-β<0.故选D.
14.B　∵a-b<0,∴-a+b>0,又2a-b>0,∴-a+b+2a-b=a>0,
∴-3a+b=-a-(2a-b)<0.故选B.
15.C　解法一:令s=x-y,t=4x-y,
则x=t-s3,y=t-4s3,
则3x+y=3×t-s3+t-4s3=4t-7s3,
又-4≤s≤-1,-1≤t≤5,
∴73≤-7s3≤283,-43≤4t3≤203,
∴1≤4t-7s3≤16,
∴3x+y的最大值为16.
解法二:设3x+y=m(x-y)+n(4x-y),则m+4n=3,且-m-n=1,解得m=-73,n=43,
∵-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,∴1≤3x+y≤16,∴3x+y的最大值为16.故选C.
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1.D　∵a>0,b>0,
∴x-y=(a5+b5)-(a4b+ab4)
=(a-b)(a4-b4)
=(a-b)(a2-b2)(a2+b2)
=(a-b)2(a+b)(a2+b2)≥0,∴x≥y;
y-z=(a4b+ab4)-(a3b2+a2b3)
=(a-b)(a3b-ab3)
=(a-b)(a2-b2)ab
=(a-b)2(a+b)ab≥0,∴y≥z,
∴z≤y≤x.故选D.
2.D　由a2=2a+c-b-1可得(a-1)2=c-b≥0,∴c≥b.
由a+b2+1=0可得a=-b2-1,∴b-a=b2+b+1=b+122+34>0,
∴b>a.
综上可知c≥b>a.故选D.
3.C　∵Q2-P2
=(4m+24)-[2m+12+2(m+4)(m+8)]
=2m+12-2(m+4)(m+8)
=(m+8-m+4)2.
∵m≥0,∴(m+8-m+4)2>0,
∴Q2>P2,又P,Q>0,∴P故选C.
4.B　因为x+y+z=0且xyz>0,所以不妨设x>0,则y<0,z<0,则T=1x+1y+1z=xy+yz+xzxyz=y(x+z)+xzxyz=-y2+xzxyz.因为x>0,z<0,所以xz<0.又-y2<0,所以-y2+xz<0.又xyz>0,所以T<0.故选B.
5.答案　ab2+ba2≥1a+1b
解析　ab2+ba2-1a+1b=a-bb2+b-aa2=(a-b)·1b2-1a2=(a+b)(a-b)2a2b2.
∵a+b>0,(a-b)2≥0,a2b2>0,
∴(a+b)(a-b)2a2b2≥0,∴ab2+ba2≥1a+1b.
6.解析　(1)设甲两次购物时购物量均为m,则两次购物总费用为p1m+p2m,
购物总量为2m,平均价格为Q1=p1m+p2m2m=p1+p22.
设乙两次购物时所花钱数均为n,则两次购物总费用为2n,购物总量为np1+np2,
平均价格为Q2=2nnp1+np2=2p1p2p1+p2.
综上,Q1=p1+p22,Q2=2p1p2p1+p2.
(2)∵p1≠p2,
∴Q1-Q2=p1+p22-2p1p2p1+p2=(p1+p2)2-4p1p22(p1+p2)=(p1-p2)22(p1+p2)>0,
∴Q1>Q2.
由此可知,第二种购物方式比较划算.
7.BD　因为c<0,a>b,所以ac-c>0,又a>b,所以a-d>b-c,故B正确;由于d1c,故C错误;因为a>b>0,所以a3>b3,故D正确.
8.ABC　因为c0,所以ab>ac,故A一定成立;
又b-a<0,所以c(b-a)>0,故B一定成立;
又a-c>0,ac<0,所以ac(a-c)<0,故C一定成立;
当b=0时,cb2=ab2,当b≠0时,有cb29.AD　对于A,若a,b为正实数,则a2-b2=1?a-b=1a+b?a-b>0?a>b>0,故a+b>a-b>0,假设a-b≥1,则1a+b≥1?a+b≤1,这与a+b>a-b>0相矛盾,故a-b<1成立,所以A正确;对于B,取a=5,b=56,则1b-1a=1,但a-b=5-56>1,所以B不正确;对于C,取a=4,b=1,则|a-b|=1,但|a-b|=3>1,所以C不正确;对于D,因为|a|≤1,|b|≤1,所以(a-b)2-(1-ab)2=a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2)≤0,即|a-b|≤|1-ab|,所以D正确.故选AD.
10.答案　A
信息提取　①6支红玫瑰与3支黄玫瑰的价格之和大于24元;②4支红玫瑰与5支黄玫瑰的价格之和小于22元.
数学建模　根据题干中的不等关系构建不等式组.设1支红玫瑰和1支黄玫瑰的价格分别为x元,y元,由题意得到6x+3y,4x+5y的取值范围,利用待定系数法将2x-3y表示为6x+3y,4x+5y的线性组合,然后利用不等式的基本性质和作差法得出2x与3y的大小关系.
解析　设1支红玫瑰和1支黄玫瑰的价格分别为x元,y元,
由题意可得6x+3y>24,4x+5y<22,(*)
令2x-3y=m(6x+3y)+n(4x+5y)=(6m+4n)x+(3m+5n)y,
则6m+4n=2,3m+5n=-3,解得m=119,n=-43,
∴2x-3y=119(6x+3y)-43(4x+5y),
由(*)得119(6x+3y)>119×24,-43(4x+5y)>-43×22,
∴119(6x+3y)-43(4x+5y)>119×24-43×22=0,
∴2x-3y>0,因此2x>3y,
∴2支红玫瑰的价格高.故选A.
11.答案　2
解析　因为a>0>b且a2>b2,所以a>|b|>0.①化简a2bb2,显然正确;②1a>0>1b显然正确;③化简a312.解析　(1)a=2,b=1,c=1,d=-1(答案不唯一).
(2)证明:由题意可知a≠0,∵a≥c≥d,
∴(a-c)(a-d)≥0,
∴a2-(c+d)a+cd≥0,即a2+cd≥(c+d)a.
∵a>b≥0,∴a+cda≥c+d.
∵ab≥cd,∴b≥cda,∴a+b≥a+cda≥c+d.