3.4函数的应用(一) 同步练习2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册第三章（Word含答案）

3.4　函数的应用(一)
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题组一　一次函数模型及其应用
1.(2020陕西渭南高一上期中)网上购鞋常常看到下面这样一张表,第一行可以理解为脚的长度,第二行是我们习惯称呼的“鞋号”.
中国鞋码实际标准(mm)
220
225
230
235
240
245
250
255
260
265
中国鞋码习惯称呼(号)
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
从上述表格可以推算出,“30号”的鞋对应的脚的长度为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.150 mm B.200 mm C.180 mm D.210 mm
2.为了发展电信事业,方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分钟)与通话费用y(元)的关系如图所示.
(1)分别求出通话费用y1,y2与通话时间x之间的函数解析式;
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.
题组二　二次函数模型及其应用
3.(2020辽宁大连高一上期中)加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次试验的数据.根据上述函数模型和试验数据,可以得到最佳加工时间为 (　　)
A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟
4.(2021北京一零一中学高一上期中)某餐厅经营盒饭生意,每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每盒盒饭的成本为15元,销售单价与日销售量的关系如下表:
单价/元
16
17
18
19
20
21
22
日销售量/盒
480
440
400
360
320
280
240
根据以上数据,当这个餐厅日销售利润(利润=总收入-总成本)最大时,每盒盒饭定价为
　　　　元.?
题组三　分段函数模型及其应用
5.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=4x,1≤x<10,x∈N*,2x+10,10≤x<100,x∈N*,1.5x,x≥100,x∈N*,其中x代表拟录用人数,y代表面试人数,若面试人数为60,则该公司拟录用人数为(　　)
A.15 B.40 C.25 D.130
6.(2020四川成都高一上期末)汽车从A地出发直达B地,途中经过C地,假设汽车匀速行驶,5 h后到达B地.汽车与C地的距离s(单位:km)关于时间t(单位:h)的函数关系如图所示,则汽车从A地到B地行驶的路程为　　　　km.?
题组四　幂函数等其他函数模型及其应用
7.(2020湖南常德一中高一上月考)某水厂的蓄水池中有400吨水,每天零点开始由池中放水向居民供水,同时以每小时60吨的速度向池中注水,当池中有水400吨后将维持400吨水量不变,若t小时内向居民供水总量为1006t吨(0≤t≤24),则t为何值时蓄水池中的存水量最少?
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题组一　非分段函数模型及其应用
1.(2021北京房山高一上期中,)运动员推出铅球后,铅球在空中的飞行路线可以看作抛物线的一部分,铅球在空中飞行的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).下表记录了铅球飞行中x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该铅球飞行到最高点时,水平距离为 (　　)
x(单位:m)
0
3
6
y(单位:m)
1.8
3
2.7
A.2.5 m B.3 m C.3.9 m D.5 m
2.(2020安徽宿州十三所重点中学高一上期中联考,)如图所示,有一块矩形空地ABCD,要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地(图中四边形EFGH),使其四个顶点分别落在矩形的四条边上.已知AB=a(a>2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,设AE=x,绿地面积为y,若23.(2020陕西西安中学高一上期中,)十一长假期间,某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用(人工费,消耗费用,等等).受市场调控,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间每天的房价增加x元(x≥0且x为10的整数倍).
(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)设宾馆一天的利润为W元,求W与x的函数关系式;
(3)一天订住多少个房间时,宾馆每天的利润最大?最大利润是多少元?
4.(2021四川泸州高一上期末,)美国对中国芯片的技术封锁,激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A,B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元,现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比,已知每投入1千万元,公司获得毛收入0.25千万元;生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y=kxa(x>0),其图象如图所示.
(1)试分别求出生产A,B两种芯片的毛收入y1,y2(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式;
(2)如果公司只生产一种芯片,那么生产哪种芯片毛收入更大?
(3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A,B两种芯片,设投入x千万元生产B芯片,用f(x)表示公司所获净利润,当x为多少时,可以获得最大净利润?并求出最大净利润.(净利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研发耗费资金)
434975090170
题组二　分段函数模型及其应用
5.(2020北京丰台高一上期中,)某建材商场在国庆期间搞促销活动,规定:若顾客选购物品的总金额不超过600元,则不享受任何折扣优惠;若顾客选购物品的总金额超过600元,则超过600元的部分享受一定的折扣优惠,折扣优惠按下表累计计算.
可以享受折扣优惠金额
折扣优惠率
不超过500元的部分
5%
超过500元的部分
10%
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元,则他实际所付金额为　　　　元.?
6.(2020天津滨海高一上期末,)发展农村电商是“乡村振兴计划”的重要组成,某农村电商结合自己出售的商品,要购买3 000个高为2分米,体积为18立方分米的长方体纸质包装盒.经过市场调研.此类包装盒按面积计价,每平方分米的价格y(单位:元)与订购数量x(单位:个)之间有如下关系:
y=0.011,1 000≤x<2 000,0.01,2 000≤x<4 000,0.009,x≥4 000,
则该电商购入3 000个包装盒至少需要　　　　元.(说明:商家规定每个纸盒计费面积为六个面的面积之和)?
7.(2020山西忻州一中高一期中,)某市居民生活用水收费标准如下:
用水量x/t
每吨收费标准/元
不超过2 t的部分
m
超过2 t不超过4 t的部分
3
超过4 t的部分
n
已知某用户1月份用水量为8 t,交纳的水费为33元;2月份用水量为6 t,交纳的水费为21元.设用户每月交纳的水费为y元.
(1)写出y关于x的函数解析式;
(2)若某用户3月份用水量为3.5 t,则该用户需交纳的水费为多少元?
(3)若某用户希望4月份交纳的水费不超过24元,求该用户最多可以用多少水.
8.(2019山西运城康杰中学高一上期中,)如图,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为 7 cm,腰长为22 cm,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分(设直线l与梯形ABCD的另一交点为E),令BF=x cm,试写出直线l左边阴影部分的面积y(cm2)与x(cm)的函数解析式.
446024012065
9.(2021山东临沂部分学校高一上期中,)为了节能减排,某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备.使用这种供电设备后,该农场每年消耗的电费C(单位:万元)与太阳能电池面积x(单位:平方米)之间的函数关系式为C(x)=m-4x5,0≤x≤10,mx,x>10(m为常数).已知太阳能电池面积为5平方米时,每年消耗的电费为8万元,安装这种供电设备的工本费为0.6x万元.记F(x)为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和(单位:万元).
(1)写出F(x)的解析式;
(2)当x为多少平方米时,F(x)取得最小值?最小值是多少万元?(精确到小数点后一位)(已知3≈1.7,10≈3.2)
答案全解全析
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1.B　设脚的长度为y mm,对应的鞋号为x号,由题中表格可得,y=5x+50.当x=30时,y=5×30+50=200.故选B.
2.解析　(1)由题中图象可设y1=k1x+30(k1≠0),y2=k2x(k2≠0),把点B(30,35),C(30,15)分别代入y1=k1x+30,y2=k2x,得k1=16,k2=12,∴y1=16x+30(x≥0),y2=12x(x≥0).
(2)由(1)得,y1-y2=16x+30-12x=30-13x,当y1>y2,即30-13x>0时,解得x<90;当y1=y2,即30-13x=0时,解得x=90;当y190.
综上可知,当通话时间小于90分钟时,“便民卡”便宜;当通话时间等于90分钟时,使用两种卡收费一样多;当通话时间大于90分钟时,使用“如意卡”便宜.
3.B　由已知得9a+3b+c=70%,16a+4b+c=80%,25a+5b+c=50%,解得a=-0.2,b=1.5,c=-2,
∴p=-0.2t2+1.5t-2=-15t-1542+1316,
∴当t=154=3.75时,p取得最大值,
即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.
4.答案　21.5
解析　由题表信息可知,销售单价为16元时,日销售量为480盒,销售单价每增加1元,日销售量减少40盒,设销售单价为x元,则日销售量为480-40(x-16)=(1 120-40x)盒,设这个餐厅的日销售利润为y元,则y=(x-15)(1 120-40x)-200=-40x2+1 720x-17 000,
所以当x=21.5时,y取得最大值,最大值为1 490,
即每盒盒饭定价为21.5元时,日销售利润最大.
5.C　若4x=60,则x=15>10,不合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.故该公司拟录用25人.
6.答案　500
解析　设汽车的速度为v km/h,则从A地到C地,s=200-vt(0≤t≤2),
又t=2时,s=0,∴2v=200,解得v=100.
从C地到B地,s=v(t-2)=100(t-2)(2200+300=500(km),故汽车从A地到B地行驶的路程为500 km.
解题模板　解决分段函数的应用问题,首先要确定自变量的取值范围,其次要求出在每一段自变量的取值范围内对应的函数解析式,最后再利用函数解析式解决问题.
7.解析　设t小时后,蓄水池中的存水量为y吨,则y=400+60t-1006t(0≤t≤24).
设u=t,则u∈[0,26],y=60u2-1006u+400=60u-5662+150,
∴当u=566,即t=256时,蓄水池中的存水量最少.
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1.C　把(0,1.8),(3,3),(6,2.7)分别代入y=ax2+bx+c(a≠0)中,
可得c=1.8,9a+3b+c=3,36a+6b+c=2.7,解得a=-112,b=1320,c=95,
则y=-112x2+1320x+95,
∴当x=-13202×-112=3.9时,y取得最大值.
故可推断出该铅球飞行到最高点时,水平距离为3.9 m.
故选C.
2.答案　a+24
解析　 ∵S△AEH=S△CFG=12x2,S△BEF=S△DGH=12(a-x)(2-x),∴y=S矩形ABCD-2S△AEH-2S△BEF=2a-x2-(a-x)(2-x)=-2x2+(a+2)x,由x>0,a-x>0,2-x≥0,a>2得03.解析　(1) y=50-110x (0≤x≤160,且x是10的整数倍).
(2)W=50-110x(180+x-20)=-110x2+34x+8 000(0≤x≤160,且x是10的整数倍).
(3)由(2)得W= - 110x2+34x+8 000=-110(x-170)2+10 890,当x<170时,W随x的增大而增大,
又0≤x≤160,
∴当x=160时,W最大=10 880,则y=50-110x=34.
故一天订住34个房间时,宾馆每天的利润最大,最大利润是10 880元.
4.解析　(1)由题意可知生产A芯片的毛收入y1=x4(x>0).将(1,1),(4,2)代入y=kxa,
得k=1,k·4a=2,∴k=1,a=12,
∴生产B芯片的毛收入y2=x(x>0).
(2)由x4>x,得x>16;由x4∴当投入资金大于16千万元时,生产A芯片的毛收入更大;当投入资金等于16千万元时,生产A,B芯片的毛收入相等;当投入资金小于16千万元时,生产B芯片的毛收入更大.
由题知投入x千万元生产B芯片,则投入(40-x)千万元资金生产A芯片. f(x)=40-x4+x-2=-14(x-2)2+9,故当x=2,即x=4时,公司所获净利润最大,最大净利润为9千
万元.
5.答案　1 120
解析　500×5%=25,由于30>25,因此顾客选购物品的总金额(设为x)超过1 100元,
所以折扣优惠金额为500×0.05+(x-1 100)×0.1=30,解得x=1 150,
故他实际所付金额为1 150-30=1 120(元).
6.答案　1 260
解析　设长方体包装盒的长为t(t>0)分米,则宽为9t分米,
其表面积S=4t+36t+18(t>0).
∵S=4t+36t+18≥24t·36t+18=42,
当且仅当4t=36t,即t=3时取等号,
∴Smin=42.
当x=3 000时,y=0.01,
∴总费用最少为42×3 000×0.01=1 260(元).
7.解析　(1)由题设可得
y=mx,0≤x≤2,2m+3(x-2),24.
当x=8时,y=33;当x=6时,y=21,代入得2m+6+4n=33,2m+6+2n=21,解得m=1.5,n=6.
∴y关于x的函数解析式为
y=1.5x,0≤x≤2,3x-3,24.
(2)当x=3.5时,y=3×3.5-3=7.5.
∴该用户3月份需交纳的水费为7.5元.
(3)令6x-15≤24,解得x≤6.5.
∴该用户最多可以用6.5 t水.
8.解析　如图,过点A,D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别为G,H.因为四边形ABCD是等腰梯形,底角为45°,AB=22 cm,所以BG=AG=DH=HC=2 cm,又BC=7 cm,所以AD=GH=3 cm.
①当点F在BG上,即x∈(0,2]时,y=S△BFE=12x2;
②当点F在GH(不含点G)上,即x∈(2,5]时,y=S梯形ABFE=SRt△ABG+S矩形AGFE=2+(x-2)·2=2x-2;
③当点F在HC(不含点H)上,即x∈(5,7)时,y=S五边形ABFED=S梯形ABCD-SRt△CEF=-12(x-7)2+10.
所以所求的函数解析式为
y=12x2,x∈(0,2],2x-2,x∈(2,5],-12(x-7)2+10,x∈(5,7).
9.解析　(1)当0≤x≤10时,C(x)=m-4x5,
由题意,8=m-4×55,即m=60,
∴C(x)=60-4x5,0≤x≤10,60x,x>10.
则F(x)=10×60-4x5+0.6x,0≤x≤10,10×60x+0.6x,x>10,
即F(x)=120-7.4x,0≤x≤10,600x+0.6x,x>10.
(2)当0≤x≤10时,F(x)=120-7.4x,可得F(x)min=F(10)=46,
当x>10时,F(x)=600x+610x≥2600x·610x=1210≈38.4,
当且仅当600x=610x,即x=1010≈32时等号成立,
故当x为32平方米时,F(x)取得最小值,最小值约为38.4万元.