10.2 事件的相互独立性-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（Word含解析）

10.2 事件的相互独立性-【新教材】人教A版（2019）
高中数学必修第二册同步练习（含解析）
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
若事件E与F相互独立，且P(E)=P(F)=14，则P(EF)的值等于(? ? )
A. 0 B. 116 C. 14 D. 12
某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为(????)
A. 0.28 B. 0.12 C. 0.42 D. 0.16
一道竞赛题，A，B，C三人可解出的概率依次为12，13，14，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为(? )
A. 124 B. 1124 C. 1724 D. 1
某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为37和27，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为(????)
A. 2949 B. 649 C. 2349 D. 4349
端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为(????)
A. 5960 B. 35 C. 12 D. 160
某射击爱好者射击一次命中目标的概率为p，已知他连续射击三次，每次射击的结果相互独立，则他至少有一次命中目标的概率为3764，则p的值为(??? )
A. 14 B. 34 C. 338 D. 378
将两个质地均匀且四面分别标有1，2，3，4的正四面体各掷一次.记事件A=“第一个四面体向下的一面出现偶数”;事件B=“第二个四面体向下的一面出现奇数”;事件C=“两个四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数”.给出下列结论：?①P(A)=12;?②P(AB)=14;?③P(ABC)=18，其中正确结论的个数为(????)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
甲、乙两名同学参加学校“吉祥物设计”大赛，甲能获得一等奖的概率是13，乙能获得一等奖的概率是34，甲乙两人是否获得一等奖互不影响，则甲乙两人中至少有一人获得一等奖的概率为(? )
A. 512 B. 16 C. 56 D. 14
某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为(??? )
A. 215 B. 25 C. 35 D. 1315
分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚硬币正面向上”为事件A，“第2枚硬币正面向上”为事件B，“2枚硬币向上的结果相同”为事件C，有下列三个判断：
①事件A与事件B相互独立； ②事件B与事件C相互独立；
③事件C与事件A相互独立．
以上判断中，正确的个数是? (??? )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
在古装电视剧《知否》中，甲?乙两人进行一种投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为13，投中“贯耳”的概率为16，投中“散射”的概率为19，投中“双耳”的概率为112，投中“依竿”的概率为136，乙的投掷水平与甲相同，且甲?乙投掷相互独立.比赛第一场，两人平局;第二场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为(? ? ?)
A. 85432 B. 527 C. 19 D. 83432
甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙的考试成绩达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人的考试成绩互不影响，则甲、乙两人的成绩都未达到优秀的概率为(? ? )
A. 0.42 B. 0.28 C. 0.18 D. 0.12
(多选)从甲袋中摸出1个白球的概率为13，从乙袋内摸出1个白球的概率是12，从两个袋内各摸1个球，那么概率不为56的事件是? (??? )
2个球都是白球 B. 2个球都不是白球
C. 2个球不都是白球 D. 2个球恰好有1个白球
二．填空题
某机构对国产杀毒软件进行考核，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确对病毒进行查杀的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响，则该软件至多进入第三轮考核的概率为________．
已知甲运动员的投篮命中率为0.6，若甲投篮两次(两次投篮命中与否互不影响)，则其两次投篮都没命中的概率为________．
科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲每次通过科目二的概率均为34，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为______．
乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，甲发球得1分的概率为35，乙发球得1分的概率为23，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球，则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为__________．
有甲、乙、丙3批饮料，每批100箱，其中各有一箱是不合格的，从3批饮料中各抽出一箱，则恰有一箱不合格的概率为??????????；至少有一箱不合格的概率为??????????.(保留两位小数)
三，解答题
一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.求：
(1)这名学生只在前2个交通岗遇到红灯的概率；
(2)这名学生在首次停车前经过了3个路口的概率；
(3)这名学生至少遇到1次红灯的概率．
甲、乙两人在商场夹娃娃，两个人分别夹一次，其中甲夹中的概率为0.7，乙夹中的概率为0.5.求：
(1)2人中恰有1人夹中娃娃的概率；
(2)2人中至少有1人夹中娃娃的概率．
眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方.在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．
(1)分别求甲队总得分为0分；2分的概率；
(2)求甲队得2分乙队得1分的概率．
随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为34，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为23.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
(2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查相互独立事件同时发生的概率计算，属于基础题．
根据独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可．
【解答】
解：∵E与F相互独立，P(E)=P(F)=14，
∴P(EF)=P(E)?P(F)=116．
故选B．
2.【答案】B
【解析】解：某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，
两人考试相互独立，
则甲未通过而乙通过的概率为p=(1?0.7)×0.4=0.12．
故选：B．
利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，注意先按互斥事件分类，再按相互独立事件的概率乘法公式进行计算，属于中档题．
根据题意，只有一人解出的试题的事件包含三个互斥的事件：A解出而其余两人没有解出，B解出而其余两人没有解出，C解出而其余两人没有解出，而三人解出答案是相互独立的，进而计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，只有一人解出试题的事件包含三个互斥的事件：
A解出而其余两人没有解出，B解出而其余两人没有解出，C解出而其余两人没有解出，
而三人解出答案是相互独立的，
则P(只有一人解出试题)=12×(1?13)×(1?14)+(1?12)×13×(1?14)+(1?12)×(1?13)×14=1124，
故选：B．
4.【答案】A
【解析】解：某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为37和27，两户是否获得扶持资金相互独立，
则这2户都没有获得扶贫基金的概率为(1?37)(1?27)=2049，
则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为1?2049=2949，
故选：A．
由题意先求出这2户都没有获得扶贫基金的概率，再用1减去此概率，即为所求．
本题主要考查相互独立事件的概率，事件和它的对立事件概率间的关系，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15．
假定三人的行动相互之间没有影响，
这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，
∴这段时间内至少1人回老家过节的概率为：
p=1?(1?13)(1?14)(1?15)=35．
故选：B．
这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，由此能求出这段时间内至少1人回老家过节的概率．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率计算，属于基础题．
由题意可得，独立地连续射击三次，所以三次都未命中的概率为(1?p)3，根据互斥事件的概率公式，1?(1?p)3=3764，计算即可．
【解答】
解：因为射击一次命中目标的概率为p，
所以射击一次未命中目标的概率为1?p，
因为每次射击结果相互独立，所以三次都未命中的概率为(1?p)3，
因为连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中，
所以连续射击三次，至少有一次命中的概率为1?(1?p)3=3764，
解得p=14．
故选A．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查独立事件的概率，及互斥事件，属于基础题．
分别求出P(A)=12，P(B)=12，再根据事件A与B相互独立，事件AB与事件C为互斥事件求解．
【解答】
解：由题知P(A)=24=12，故?①正确;
∵P(B)=24=12，事件A与B相互独立，∴P(AB)=12×12=14，故?②正确;
∵事件AB与事件C为互斥事件，∴P(ABC)=0，故?③错误．
故选C．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查概率的求法，基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
利用对立事件能求出甲乙两人中至少有一人获得一等奖的概率．
【解答】
解：甲、乙两名同学参加学校“吉祥物设计”大赛甲能获得一等奖的概率是13，
乙能获得一等奖的概率是34，甲乙两人是否获得一等奖互不影响，
∴甲乙两人中至少有一人获得一等奖的概率为：
p=1?(1?13)(1?34)=56．
故选：C．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，对立事件的概率公式，属于基础题．
利用相应概率公式，计算即可．
【解答】
解：设事件x为一种新产品都没有成功，
因为甲乙研发新产品成功的概率分别为23和35，
则P(x)=(1?23)(1?35)=215，
再根据对立事件的概率之间的公式，
可得至少有一件新产品研发成功的概率为1?P(x)=1315，
故选D.??
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查相互独立事件的定义，属于基础题．
求出相应的概率，使用定义进行检验．
【解答】
解：由题知P(A)=12，P(B)=12，P(C)=12，P(AB)=P(AC)=P(BC)=14，因为P(AB)=14=P(A)P(B)，所以A，B相互独立；因为P(AC)=14=P(A)P(C)，所以A，C相互独立；因为P(BC)=14=P(B)P(C)，所以B，C相互独立．
故选D．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查推理能力和计算能力，属于拔高题．
分别求出甲得“四筹”，乙得“零筹”，甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”和甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”的概率和甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”、“四筹”、“五筹”、“六筹”的概率，然后求和即可．
【解答】
解：由题可知
筹数
2
4
5
6
10
0
P
13
16
19
112
136
518
甲要想赢得比赛，在第三场比赛中，比乙至少多得三筹．
甲得“四筹”，乙得“零筹”，甲可赢，
此种情况发生的概率为P1=16×518=5108；
甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，甲可赢，
此种情况发生的概率为P2=19×(13+518)=11162；
甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，甲可赢，
此种情况发生的概率为P3=112×(13+518)=11216；
甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”、“四筹”、“五筹”、“六筹”，甲都可赢，
此种情况发生的概率为P4=136×(1?136)=351296．
故甲获胜的概率为P=P1+P2+P3+P4=2491296=83432．
故选D．
12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式直接求解．
【解答】
解：∵甲、乙同时参加某次法语考试，
甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，
∴甲、乙两人都未达到优秀的概率为：
p=(1?0.6)(1?0.7)=0.12．
故选：D．
13.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查独立事件和对立事件概率的计算，属于基础题．
根据题意，将每个选项的概率计算出，进而求出答案．
【解答】
解：2个都不是白球的概率为1?13×1?12=13，
2个不都是白球的概率为1?12×13=56，
2个都是白球的概率为12×13=16，
恰有1个白球的概率为13×1?12+12×1?13=12．
故选ABD．
14.【答案】58
【解析】
【分析】
本题主要考查相互独立事件的概率，以及互斥和对立事件的概率.设事件Ai(i=1,2，3，4)表示“该软件能通过第i轮考核”，则“该软件至多进入第三轮”的事件C=A1+A1A2+A1A2A3，由互斥事件同时发生的概率公式可得答案．
【解答】
解：设事件Ai(i=1,2，3，4)表示“该软件能通过第i轮考核”，由已知得P(A1)=56，P(A2)=35，P(A3)=34，P(A4)=13，设事件C表示“该软件至多进入第三轮”，则P(C)=PA1+A1A2+A1A2A3=PA1+PA1A2+PA1A2A3=16+56×25+56×35×14=58．
故答案为58．
15.【答案】0.16
【解析】
【分析】
本题主要考查了相互独立事件的概率公式的简单应用，属于基础试题．
先求出甲运动员投篮未命中的概率为1?0.6=0.4，然后根据相互独立事件的概率公式即可求解．
【解答】
解：甲运动员投篮未命中的概率为1?0.6=0.4且两次投篮命中与否相互独立，
所以两次都没命中的概率为0.4×0.4=0.16．
故答案为0.16．
16.【答案】364
【解析】解：甲第3次考试才通过科目二，则前两次都未通过，第3次通过，
故所求概率为p=(1?34)2×34=364．
故答案为：364．
甲第3次考试才通过科目二，则前两次都未通过，第3次通过，所求概率
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
17.【答案】2875
【解析】
【分析】
本题考查根据互斥事件概率公式求概率，考查基本分析求解能力，属中档题．
先确定比分为1比2时甲乙在三次发球比赛中得分情况，再分别求对应概率，最后根据互斥事件概率公式求结果。
【解答】
解：比分为1比2的情况有三种：
(1)甲第一次发球得分，甲第二次发球失分，乙第一次发球得分；
(2)甲第一次发球失分，甲第二次发球得分，乙第一次发球得分；
(3)甲第一次发球失分，甲第二次发球失分，乙第一次发球失分．
所以所求概率为35×25×23+25×35×23+25×25×13=2875．
故答案为：2875
18.【答案】0.03 ， 0.03
【解析】
【分析】
本题考查事件的关系及概率运算，属于基础题．
设事件，由P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)可求恰有一箱不合格的概率；
先求出各抽出一箱都合格的概率，再利用对立事件的概率公式即可求至少有一箱不合格的概率．
【解答】
解：记抽出“甲饮料不合格”为事件A，“乙饮料不合格”为事件B，“丙饮料不合格”为事件C，
则P(A)=0.01，P(B)=0.01，P(C)=0.01．
从3批饮料中，各抽出一箱，恰有一箱不合格的概率P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.01×0.992+0.01×0.992+0.01×0.992≈0.03．
各抽出一箱都合格的概率为0.99×0.99×0.99≈0.97，
所以至少有一箱不合格的概率为1?0.97=0.03．
故答案为0.03；0.03．
19.【答案】解：(1)设“这名学生只在前2个交通岗遇到红灯”为A事件，则P(A)=13×13×23×23×23=8243；
(2)设“这名学生在首次停车前经过了3个路口”为B事件，说明在前3个交通岗都遇到绿灯，在第4个交通岗遇到红灯，
故P(B)=(23)3×13=881；
(3)设这名学生至少遇到1次红灯为事件C，则其对立事件为这名学生全遇到绿灯，
所以P(C)=1?(23)5=211243．
【解析】本题考查相互独立事件同时发生的概率的计算，属基础题．
(1)?本小题考查相互独立事件同时发生的概率计算，进而求出这名学生只在前2个交通岗遇到红灯的概率；
(2)本小题亦考查相互独立事件同时发生的概率计算，这名学生在首次停车前经过了3个路口等价于前3个交通岗都遇到绿灯，在第4个交通岗遇到红灯；
(3)根据互斥事件的概率求出这名学生至少遇到1次红灯的概率．
20.【答案】解：记“甲夹1次，夹中娃娃”为事件A，“乙夹1次，夹中娃娃”为事件B，则A与B，A与B，A与B，A与B为相互独立事件．
(1)“2人各夹1次，恰有1人夹中娃娃”包括两种情况：一种是甲夹中、乙未夹中(事件A?B发生)，另一种是甲未夹中、乙夹中(事件A?B发生)，
根据题意，事件A?B与A?B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，
所求的概率为P(A?B)+P(A?B)=P(A)P(B)+P(A)P(B)
=0.7×(1?0.5)+(1?0.7)×0.5=0.35+0.15=0.5.?
所以2人中恰有1人夹中娃娃的概率是0.5．
(2)“2人中至少有1人夹中娃娃”与“2人都未夹中娃娃”为对立事件，
2人都未夹中娃娃的概率是P(A?B)=P(A)P(B)=(1?0.7)(1?0.5)=0.15，
∴“2人中至少有1人夹中娃娃”的概率P=1?P(A?B)=1?0.15=0.85
【解析】本题主要考查了互斥事件与对立事件，以及相互独立事件同时发生的概率求解.属于中档题．
记“甲夹1次，夹中娃娃”为事件A，“乙夹1次，夹中娃娃”为事件B，则A与B，A与B，A与B，A与B为相互独立事件．
(1)根据题意得到所求概率为P(A?B)+P(A?B)，通过互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式求解，即可得到答案．
(2)先求出2人都未夹中娃娃的概率，再通过对立事件的概率公式求解，即可得到答案．
21.【答案】解：(1)记“甲队总得分为0分”为事件A，“甲队总得分为2分”为事件B，
甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率PA=1?233=127；
甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，其概率PB=3×2321?23=49；
(2)记“乙队得1分”为事件C，“甲队得2分乙队得1分”为事件D；
事件C即乙队三人中有2人答错，其余1人答对，
则P(C)=(1?23)×23×(1?12)+23×(1?23)×(1?12)+(1?23)×(1?23)×12=518，
甲队得2分乙队得1分即事件B、C同时发生，
则PD=PBPC=49×518=1081．
【解析】本题考查相互独立事件同时发生的概率，是基础题．
(1)记“甲队总得分为0分”为事件A，“甲队总得分为2分”为事件B，分析可得事件A即甲队三人都回答错误，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案，事件B即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，由n次独立事件中恰有k次发生的概率公式计算可得答案；
(2)记“乙队得1分”为事件C，“甲队得2分乙队得1分”为事件D；事件C即乙队三人中有2人答错，其余1人答对，有互斥事件的概率加法公式可得P(C)，有(Ⅰ)可得P(B)，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案．
22.【答案】解：(1)设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第i次通过”记为事件Ai，“妻子在科目二考试中第i次通过”为事件Bi(i=1,2,3,4,5)，则P(Ai)=34，P(Bi)=23．
设事件A=“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，事件B=“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件C=“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”．
则P(A)=P(A1+A1A2)=P(A1)+P(A1A2)=34+14×34=1516，
P(B)=P(B1+B1B2)=P(B1)+P(B1B2)=23+13×23=89，P(C)=P(AB)=1516×89=56．
因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为56；
(2)设事件D=“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件E=“妻子参加科目二考试需交补考费200元”，事件F=“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”，则P(D)=P(A1A2A3)=14×14×34=364，P(E)=P(B1B2B3)=13×13×23=227，
P(F)=P(AE+DB)=1516×227+364×89=19．
因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为19．
【解析】本题主要考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查学生数学应用能力，属于中档题．
(1)设出基本事件，利用P(A)=P(A1+A1A2)=P(A1)+P(A1A2)，P(B)=P(B1+B1B2)=P(B1)+P(B1B2)，P(C)=P(AB)=1516×89=56，由互斥事件和相互独立事件的概率公式计算可得答案；
(2)设出基本事件，利用P(D)=P(A1A2A3)，P(E)=P(B1B2B3)，P(F)=P(AE+DB)，计算出答案．