4.5.2　用二分法求方程的近似解——2021-2022学年高一上学期人教A版（2019）必修第一册同步新题练习（Word含答解析）

4.5.2　用二分法求方程的近似解
刷新题夯基础　　　　　　 　　　　　 　　　　　
题组一　二分法的概念与对二分法求函数零点步骤的理解
1.用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是(　　)
A.|a-b|<0.1 B.|a-b|<0.001 C.|a-b|>0.001 D.|a-b|=0.001
2.(2019湖南湘东五校高一上期末联考)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点近似值的是 (　　)
3.用二分法求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据: f(1)=-2, f(1.5)=0.625, f(1.25)≈-0.984, f(1.375)≈-0.260,关于下一步的说法正确的是 (　　)
A.已经达到精确度的要求,可以取1.4作为近似值
B.已经达到精确度的要求,可以取1.375作为近似值
C.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.437 5)
D.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.312 5)
题组二　二分法求方程的近似解
4.(2020湖南师大附中高一上期中)某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得的部分函数值如表所示:
x
2
3
2.5
2.75
2.625
2.562 5
f(x)
-1.306 9
1.098 6
-0.084
0.512
0.215
0.066
则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度为0.1)可取为 (　　)
A.2.52 B.2.625 C.2.47 D.2.75
5.用二分法求函数f(x)=ln x+2x-6在区间(2,3)内的零点近似值(取端点值),至少经过　　　　次二分后精确度达到0.1 (　　)?
A.2 B.3 C.4 D.5
6.(2020吉林一中高一上期中)用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(1)>0,则第二次应计算f(　　　　)的值.?
7.(2020河南省实验中学高一上期中)在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,将根锁定在区间(1,2)内,则下一步可以判断该根所在区间为　　　　. ?
8.用二分法求2x+x=4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据如下表.
x
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67
题组三　二分法思想的应用
9.在当前防疫取得重要进展的时刻,为防范机场带来的境外输入,某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率:每32人为一组,把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查.若为阴性,则全部放行;若为阳性,则对该组32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性),若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组,选其中一组16人的样本混合检查,若为阴性,则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组.继续把认定的这组的16人均分为两组,选其中一组8人的样本混合检查……依此类推,最终从这32人中认定那名感染者需要经过检测的次数为 (　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
10.(多选)(2021河北石家庄正定一中高一上期中)已知函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点,且都可以用二分法求得,其图象是连续不断的,若f(0)>0, f(1)·f(2)·f(3)<0,则下列命题正确的是 (　　)
A.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(1,2)内
B.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1,2)和(2,3)内
C.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(2,3)内
D.函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内
11.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实数根.
答案全解全析
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1.B　由二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于精确度ε时,便可结束计算.
2.D　根据二分法的原则,函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(a)·f(b)<0,即函数的零点是变号零点,才能将区间[a,b]一分为二,逐步得到零点的近似值.对各图象分析可知,选项A,B,C都符合条件,而选项D不符合,由于零点左右两侧的函数值不变号,因此不能用二分法求函数零点的近似值,故选D.
3.C　f(1.375)f(1.5)<0,由函数零点存在定理知,方程x3+x2-2x-2=0在区间(1.375,1.5)有根,1.5-1.375=0.125>0.1,没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.437 5).故选C.
A　由f(2)=-1.306 9<0,f(3)=1.098 6>0,得方程的近似解在(2,3)内,精确度为1;
由f(2.5)=-0.084<0,得方程的近似解在(2.5,3)内,精确度为0.5;由f(2.75)=0.512>0,得方程的近似解在(2.5,2.75)内,精确度为0.25;由f(2.625)=0.215>0,得方程的近似解在(2.5,2.625)内,精确度为0.125;由f(2.562 5)=0.066>0,得方程的近似解在(2.5,2.562 5)内,
精确度为0.062 5<0.1.因此可取区间[2.5,2.562 5]内的任意值作为方程的近似解,故选A.
5.C　开区间(2,3)的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n次操作后,区间长度变为12n,故有12n≤0.1,∴n≥4,∴至少需要操作4次.故选C.
6.答案　0.5
解析　由已知及二分法解题步骤可知,第二次应计算f0+12=f(0.5)的值.
7.答案　32,2
解析　设f(x)=x3-2x-1,则f(1)=1-2-1=-2<0, f(2)=8-4-1=3>0.
取区间(1,2)的中点值32,则f32=323-2×32-1=-58<0,
故下一步可以判断该根所在区间为32,2.
8.解析　令f(x)=2x+x-4,则f(1)=2+1-4=-1<0, f(2)=22+2-4=2>0.
区间
精确度
区间中点值xn
f(xn)的值及符号
(1,2)
|2-1|=1
x1=1.5
f(x1)=0.33>0
(1,1.5)
|1.5-1|=0.5
x2=1.25
f(x2)=-0.37<0
(1.25,1.5)
|1.5-1.25|=0.25
x3=1.375
f(x3)=-0.035<0
(1.375,1.5)
|1.5-1.375|=0.125
∵|1.375-1.5|=0.125<0.2,
∴2x+x=4在[1,2]内的近似解可取为1.375.
9.C　第1次检验:32人分两组,每组16人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第2次检验:留下的16人分两组,每组8人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第3次检验:留下的8人分两组,每组4人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第4次检验:留下的4人分两组,每组2人,若第一组检测结果为阳性,则放行第二组,留下第一组继续检测,若第一组检测结果为阴性,则放行第一组,留下第二组继续检测;
第5次检验:留下的2人分两组,每组1人,若第一个人检测结果为阴性,则第二个人感染,若第一个人检测结果为阳性,则第二个人没有感染.
综上,最终从这32人中认定那名感染者需要经过5次检测.故选C.
10.ABD　对于A,由f(0)>0, f(1)f(2)f(3)<0,可令f(1)<0, f(2)>0, f(3)>0,如图1所示:
图1
得函数f(x)的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内,A正确;
对于B,由f(0)>0, f(1)f(2)f(3)<0,可令f(1)>0, f(2)<0, f(3)>0,如图2所示:
图2
得函数f(x)的两个零点分别在区间(1,2)和(2,3)内,B正确;
对于C,若函数f(x)的两个零点分别在区间(0,1)和(2,3)内,且f(0)>0,则f(1)<0, f(2)f(3)<0,所以f(1)f(2)f(3)>0,不满足题意,C错误;
对于D,如果函数f(x)的两个零点都在区间(1,2)内,如图3所示:
图3
则f(1)>0, f(2)>0, f(3)>0,这与f(1)f(2)f(3)<0矛盾,
所以函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内,D正确.故选ABD.
11.证明　∵f(1)>0,∴f(1)=3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0.
∵a+b+c=0,
∴a=-b-c,-b-2c>0,
∴-b-c>c,即a>c.
∵f(0)>0,∴f(0)=c>0,∴a>0.
取区间[0,1]的中点值12,则f12=34a+b+c=34a+(-a)=-14a<0.
∵f(0)>0,f(1)>0,∴函数f(x)在区间0,12和12,1上各有一个零点.
又f(x)为二次函数,最多有两个零点,
∴f(x)=0在[0,1]内有两个实数根.