4.5.3　函数模型的应用——2021-2022学年高一上学期人教A版（2019）必修第一册同步新题练习（Word含答解析）

4.5.3　函数模型的应用
刷新题夯基础
题组一　利用已知函数模型解决问题
1.(2020山东青岛胶州高一期末)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回出生地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)可以表示为v=12log3Q100,其中Q表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼的游速为32 m/s时,它的耗氧量的单位数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.900 B.1 600 C.2 700 D.8 100
2.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)= cx,xA.75,25 B.75,16
C.60,144 D.60,16
3.(2020江西赣州高一期末)为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2018年在其扶贫基地投入200万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上,每年投入的资金比上一年增长10%.
(1)写出第x年(2019年为第一年)该企业投入的资金y(万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域;
(2)该企业从第几年开始(2019年为第一年),每年投入的资金将超过400万元?
(参考数据:lg 0.11≈-0.959,lg 1.1≈0.041,lg 11≈1.041,lg 2≈0.301)
4.(2020河北唐山一中高一上期中)某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放,已知在过滤过程中,废气中的污染物含量p(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的关系为p(t)=p0e-kt(式中的e为自然对数的底数,p0为污染物的初始含量).过滤1小时后检测,发现污染物的含量减少了15.
(1)求函数关系式p(t);
(2)要使污染物的含量不超过初始值的11 000,至少需过滤几个小时?(参考数据:lg 2≈0.3)
题组二　建立函数模型解决问题
5.某商家准备在春节来临前连续两次对某一商品的销售价格进行提价且每次提价10%,然后在春节活动期间连续两次对该商品进行降价且每次降价10%,则该商品的最终售价与原来的价格相比 (　　)
A.略有降低 B.略有提高 C.相等 D.无法确定
6.(2020湖南益阳箴言中学高一上期中)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形中相邻两边的长x,y(8≤y<24)应为 (　　)
A.x=15,y=12 B.x=12,y=15
C.x=14,y=10 D.x=10,y=14
7.某企业生产的新产品必须先靠广告打开销路,该产品广告效益是产品的销售额与广告费之间的差,如果销售额与广告费的算术平方根成正比,那么根据对市场的抽样调查发现:每投入100万元的广告费,所得的销售额是1 000万元.问:该企业投入多少广告费才能获得最大的广告效益?
8.某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品在该售价的基础上每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
题组三　拟合函数模型解决问题
9.茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,再等到茶水温度降至60 ℃时饮用,可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度,根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y(℃)随时间x(min)变化的规律 (　　)
A.y=mx2+n(m>0)
B.y=mx+n(m>0)
C.y=max+n(m>0,a>0,且a≠1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>0,且a≠1)
10.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),有两个拟合模型可供选用,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用　　　　作为拟合模型较好.?
11.下表是某款车的车速与刹车后的停车距离的一组数据,试分别就y=a·ekx,y=axn,y=ax2+bx+c三种函数关系建立数学模型,并探讨最佳模拟函数,根据最佳模拟函数求车速为120 km/h时刹车后的停车距离.
车速(km/h)
10
15
30
40
50
停车距离(m)
4
7
12
18
25
车速(km/h)
60
70
80
90
100
停车距离(m)
34
43
54
66
80
刷新题培素养
题组一　利用已知函数模型解决问题　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.()Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈2.9) (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.60 B.63 C.66 D.69
2.(2020北京房山高一期末,)当强度为x的声音对应的等级为f(x)分贝时,有f(x)=10lg xA0(其中A0为常数).装修时电钻发出的声音约为100分贝,普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修时电钻发出的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为 (　　)
A.53 B.1053 C.104 D.e4
3.(2020陕西咸阳高一期末,)在一定的储存温度范围内,某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)之间满足函数关系y=ekx+b(e=2.718 28…为自然对数的底数,k,b为常数),若该食品在0 ℃时的保鲜时间为120小时,在30 ℃时的保鲜时间为15小时,则该食品在20 ℃时的保鲜时间为 (　　)
A.30小时 B.40小时 C.50小时 D.80小时
4.(2020山东泰安一中高一上期中,)山东新旧动能转换综合试验区是党的十九大后获批的首个区域性国家发展战略综合试验区,也是中国第一个以新旧动能转换为主题的区域发展战略综合试验区.泰安某高新技术企业决定抓住发展机遇,加快企业发展.已知该企业的年固定成本为500万元,每生产设备x(x>0)台,需另投入成本y1万元.若年产量不足80台,则y1=12x2+40x;若年产量不小于80台,则y1=101x+8 100x-2 180.每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的设备能全部售完.
(1)写出年利润y(万元)关于年产量x(台)的关系式;
(2)当年产量为多少台时,该企业所获年利润最大?
题组二　建立函数模型解决问题
5.()某山区为加强环境保护,绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%,那么,经过x年,绿色植被的面积可增长为原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为(　　)
6.(2021黑龙江大庆铁人中学高三上期中,)某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若开始时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少14,要使产品达到市场要求,则至少应过滤的次数为(已知:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) (　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
7.(2020福建龙岩高一上期末,)原有一片面积为a的森林,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等.经计算,当砍伐到原面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林的剩余面积为原面积的22.
(1)求每年砍伐面积的百分比;
(2)到今年为止,已经砍伐了多少年?
(3)今后最多还能砍伐多少年?
8.()为了落实国务院“提速降费”的要求,某市移动公司欲下调移动用户消费资费.已知该公司共有移动用户10万人,人均月消费50元.经测算,若人均月消费下降x%,则用户人数会增加x8万人.
(1)若要保证该公司月总收入不减少,试求x的取值范围;
(2)为了布局“5G网络”,该公司拟投入资金进行5G网络基站建设,投入资金方式为每位用户月消费中固定划出2元进入基站建设资金,若使该公司总盈利最大,试求x的值.(总盈利资金=总收入资金-总投入资金)
题组三　拟合函数模型解决问题
9.(2020湖南宁乡一中高一月考,)某品牌电脑投放市场的第一个月销售了100台,第二个月销售了200台,第三个月销售了400台,第四个月销售了790台,则下列函数模型中能较好地反映销售量y与投放市场月数x之间关系的是 (　　)
A.y=100x B.y=50x2-50x+100 C.y=50×2x D.y=100log2x+100
10.(2020河北石家庄二中高一上月考,)如图①是某公共汽车线路收支差额y(元)与乘客量x(人)的图象.
1354455236220
由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案,根据图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义,用文字说明图②方案是　　　　　,图③方案是　　　　　　　　.?
11.(2020辽宁大连高一上期中,)某纪念章从2019年10月1日起开始上市,通过市场调查,得到该纪念章每枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:
上市时间x(天)
4
10
36
市场价y(元)
90
51
90
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由:①y=ax+b;②y=ax2+bx+c(a≠0);③y=logax+b(a>0,且a≠1).
(2)利用你选取的函数,求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.
12.(2020安徽安庆高一期末,)某科研团队对某一生物生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快,开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18平方米,经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积y(单位:平方米)与经过月份x(x∈N)的关系有两个函数模型y=k·ax(k>0,a>1)与y=px+q(p>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式;
(2)问约经过几个月,该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1 000倍?(参考数据:2≈1.41,3≈1.73,lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
答案全解全析
刷新题夯基础
1.C　当v=32时,32=12log3Q100,即log3Q100=3,故Q100=33=27,所以Q=2 700.故选C.
2.C　显然a>4,则由题意可得c4=30,ca=5,
解得c=60,a=144,故选C.
3.解析　(1)第一年投入的资金为200×(1+10%)万元,
第二年投入的资金为200×(1+10%)+200×(1+10%)×10%=200(1+10%)2万元,
……
故第x年(2019年为第一年)该企业投入的资金y(万元)与x的函数关系式为y=200(1+10%)x,其定义域为{x∈N*|x≤10}.
(2)由200(1+10%)x>400可得1.1x>2,即x>lg2lg1.1≈0.3010.041≈7.3,
即企业从第8年(2019年为第一年)开始,每年投入的资金将超过400万元.
4.解析　(1)根据题意,得45p0=p0e-k,
∴e-k=45,∴p(t)=p045t.
(2)由p(t)=p045t≤11 000 p0,得45t≤10-3,两边取对数并整理得t(1-3lg 2)≥3,∴t≥30.
因此,至少需过滤30个小时.
5.A　设这种商品的原价为a,则两次提价后的价格为a(1+10%)2=1.12·a,
又进行两次降价后的价格为1.12·a(1-10%)2=(1+0.1)2(1-0.1)2·a=0.992a因此最终售价与原来的价格相比略有降低,故选A.
6.A　如图所示,过点D作DE⊥BC于点E,则HGEC=DHDE,即y-824-8=20-x20,整理得y=24-45x.
∴截取的矩形面积S=x24-45x=-45(x-15)2+180(0由此可知,当x=15时,S取得最大值,此时y=12,故选A.
7.解析　设广告费为x万元时,广告效益为y万元,销售额为t万元.由题意可设t=kx(k>0),则y=t-x=kx-x.
∵当x=100时,t=1 000,∴1 000=10k,解得k=100,∴t=100x,∴y=100x-x.
令x=m,则m≥0,y=100m-m2=-(m-50)2+2 500,∴当m=50,即x=2 500时,y取得最大值,为2 500.
∴该企业投入2 500万元广告费时,能获得最大的广告效益.
8.解析　(1)当每件商品的售价上涨x元时,
每件商品的利润为(50+x-40)元,此时的销量为(210-10x)件,
∴每个月的销售利润y元与每件商品的售价上涨的价格x元之间满足
y=(210-10x)(50+x-40)=-10x2+110x+2 100(0(2)由(1)得y=-10(x-5.5)2+2 402.5.
∵a=-10<0,∴当x=5.5时,y有最大值2 402.5.
∵0当x=5时,y=2 400,
当x=6时,y=2 400,
∴当售价定为每件55或56元时,每个月的利润最大,最大的月利润是2 400元.
C　选项A中,函数的图象是以y轴为对称轴的开口向上的抛物线,与散点图不符;选项B中,函数的图象是直线,与散点图不符;选项D中,x>0,与y轴无限接近,但不相交,与散点图不符.
故选C.
10.答案　甲
解析　对于甲:x=3时,y=32+1=10,
对于乙:x=3时,y=8,因此用甲作为拟合模型较好.
11.解析　若以y=a·ekx为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得a·e10k=4,a·e40k=18,解得k≈0.050 136,a≈2.422 8.
∴y=2.422 8e0.050 136x.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时,停车距离分别为220.8 m,364.5 m,与实际数据相比,误差较大.
若以y=a·xn为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得a·10n=4,a·40n=18,
解得n≈1.085,a≈0.328 9.
∴y=0.328 9x1.085.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时,停车距离分别为43.39 m,48.65 m,与实际情况误差也较大.
若以y=ax2+bx+c为模拟函数,将(10,4),(40,18),(60,34)代入函数关系式,得
a·102+b·10+c=4,a·402+b·40+c=18,a·602+b·60+c=34,解得a=1150,b=215,c=2.
∴y=1150x2+215x+2.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时,停车距离分别为68 m,82 m,与前两个相比,它比较符合实际情况.
综上可知,最佳模拟函数为y=1150x2+215x+2,
当x=120时,y=114,即当车速为120 km/h时,停车距离为114 m.
刷新题培素养
1.C　I(t*)=K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,整理可得e0.23(t*-53)=19,两边取自然对数得0.23(t*-53)=ln 19≈2.9,解得t*≈66,故选C.
2.C　设装修时电钻发出的声音强度为x1,普通室内谈话的声音强度为x2.
由题意得f(x1)=100=10lg x1A0,f(x2)=60=10lg x2A0?x1=A01010,x2=A0106,
所以装修时电钻发出的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为x1x2=A01010A0106=104.
3.A　由题意可得120=eb,15=e30k+b,解得ek=18130,所以当x=20时,y=ek×20+b=(ek)20×eb=18130×20×120=30.故选A.
4.解析　(1)当0当x≥80时,y=100x-101x+8 100x-2 180-500=1 680-x+8 100x.
所以y=-12x2+60x-500,0(2)当0当x≥80时,y=1 680-x+8 100x≤1 680-2x·8 100x=1 500,当且仅当x=8 100x,即x=90时,y取得最大值,最大值为1 500.
所以当年产量为90台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为1 500万元.
5.D　设山区第一年绿色植被的面积为a,则y=a×(1+10.4%)xa=(1+10.4%)x,易知其定义域为[0,+∞),值域为[1,+∞),且随x的增大,y增长的速度越来越快.故选D.
6.D　设至少应过滤n次,则2100×34n≤11 000,因此,34n≤120,
则n≥lg 120lg 34=-lg20lg3-lg4=1+lg22lg2-lg3≈10.416,
又n∈N*,所以n≥11,
即至少要过滤11次才能达到市场要求.
故选D.
7.解析　(1)设每年砍伐面积的百分比为x0则a(1-x)10=12a,即(1-x)10=12,解得x=1-12110,
所以所求百分比为1-12110.
(2)设经过n年的砍伐,森林的剩余面积为原面积的22,则a·12n10=22a,即12n10=1212,解得n=5,所以到今年为止,已经砍伐了5年.
(3)设该片森林一共可砍伐m年,则a12m10=14a,即12m10=122,解得m=20,
所以该片森林一共可砍伐20年,故今后最多还能砍伐20-5=15(年).
8.解析　(1)根据题意,设该公司的总收入为W万元,
则W=5010+x81-x100,0若该公司月总收入不减少,则有50×10+x81-x100≥10×50,
解得0(2)设该公司总盈利为y万元,
则y=5010+x81-x100-210+x8=-x216+x+480,0结合二次函数的性质分析可得,当x=8时,该公司的总盈利最大.
9.C　由题列出如下表格:
x/月
1
2
3
4
月销量y/台
100
200
400
790
根据表格中的数据,可知函数在(0,+∞)上是增函数,且y随x的增大而增大得越来越快,分析各选项知选项C符合,故选C.
10.答案　降低成本,票价不变;增加票价
解析　由题图①知,点A表示无人乘车时,收支差额为-20元,即运行成本为20元;点B表示有10人乘车时,收支平衡,收支差额为0.线段AB上的点表示亏损,AB延长线上的点表示盈利.题图②与题图①相比,一次函数的一次项系数不变,图象与y轴负半轴的交点上移,故题图②表示降低成本,票价不变,题图③与题图①相比,一次项系数增大,图象与y轴负半轴的交点不变,故题图③表示增加票价.故答案为降低成本,票价不变;增加票价.
11.解析　(1)∵随着时间x的增加,y的值先减后增,而所给的三个函数中y=ax+b和y=logax+b(a>0,且a≠1)显然都是单调函数,不满足题意,
∴选择y=ax2+bx+c(a≠0).
(2)把点(4,90),(10,51),(36,90)代入y=ax2+bx+c中,
得16a+4b+c=90,100a+10b+c=51,1 296a+36b+c=90,
解得a=14,b=-10,c=126.
∴y=14x2-10x+126=14(x-20)2+26,
∴当x=20时,y有最小值,且ymin=26.
故当纪念章上市20天时,该纪念章的市场价最低,最低市场价为26元.
12.解析　(1)因为y=k·ax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,而y=px+q(p>0)的增长速度越来越慢,所以依题意应选择y=k·ax(k>0,a>1),则有ka2=18,ka3=27,解得a=32,k=8,所以y=8·32x.
(2)当x=0时,y=8,设经过x个月,该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1 000倍,
则8·32x=8×1 000,
解得x=log321 000=lg1 000lg 32=3lg3-lg2≈16.67.
故约经过17个月后该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1 000倍.