4.2.2　指数函数的图象和性质——2021-2022学年高一上学期人教A版（2019）必修第一册同步新题练习（Word含答解析案）

4.2.2　指数函数的图象和性质
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题组一　指数函数的图象特征　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.函数y=-2-x与y=2x的图象 (　　)
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称
2.(2021河北衡水武邑中学高一上期中)当a>1时,函数y=ax和y=(a-1)x2的图象只可能是 (　　)
3.(2020北京丰台高一上期中联考)函数y=12|x|的图象是 (　　)
4.(2020湖南衡阳八中高一上期中)设a,b,c,d均大于0,且均不等于1,y=ax ,y=bx ,y=cx ,y=dx在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系为 (　　)
A.aC.b5.(2021河北石家庄正定一中高一上期中)函数f(x)=ax-1-3(a>0,且a≠1)的图象所过定点的坐标为 (　　)
A.(-1,2) B.(1,-2)
C.(-1,-2) D.(1,2)
6.已知函数f(x)=ax,g(x)=1ax(a>0,且a≠1), f(-1)=12.
(1)求f(x)和g(x)的函数解析式;
(2)在同一坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象;
4422775218440(3)若f(x)题组二　指数函数的单调性及其应用
7.(2021山东师大附中高一上期中)设y1=40.9,y2=80.48,y3=12-1.5,则 (　　)
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3
C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
8.(2020广东湛江一中高一上第一次大考)若f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是 (　　)
A.12,1 B.0,12
C.[0,1] D.(0,1]
9.(2020广东珠海高一上期末) 已知f(x+1)的定义域是[0,31),则f(2x)的定义域是 (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.[1,32) B.[-1,30)
C.[0,5) D.(-∞,30]
10.(2021山东青岛胶州高一上期中)若函数f(x)=2x,x≥0,x+a,x<0是(-∞,+∞)上的单调递增函数,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(0,1] B.[0,1)
C.(-∞,1] D.(-∞,1)
11.(2021山东济宁高一上期中)不等式122x2-1>124-3x的解集为　　　　.?
12.(2020甘肃兰州一中高一月考)函数y=128-2x-x2的单调递增区间为　　　　.?
13.(2020山东滨州高一上期末)已知函数f(x)=a-23x+1(a∈R).
(1)当a=12时,求函数g(x)=f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.
题组三　指数函数性质的综合应用
14.(2021山东威海高一上期中)函数f(x)=9x+13x的图象 (　　)
A.关于直线x=1对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于x轴对称
15.(多选)下列函数中,最小值为2的是 (　　)
A. f(x)=x2+2x+3 B.g(x)=ex+e-x
C.h(x)=3x+2 D.m(x)=2|x|+1
16.已知a>0,且a≠1,若函数f(x)=2ax-4在区间[-1,2]上的最大值为10,则a=　　　　.?
17.(2020浙江杭州高级中学高一上期末)函数y=14-|x|+1的单调递增区间为　　　　;此函数是　　　　(填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶函数”).?
18.(2020山东泰安一中高一上期中)已知函数f(x)=a+22x-1.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若f(x)为奇函数,求a的值,并求f(x)的值域.
19.(2020山东临沂高一上期末素养水平监测)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=1-2x.
(1)求当x<0时, f(x)的解析式;
(2)求不等式f(x)<1的解集.
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题组一　指数函数的图象及其应用
1.(2021湖北武汉部分重点高中高一上期中,)函数f(x)=ex+x-1x+1的图象大致是 (　　)
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
2.(多选)(2021山东威海高一上期中,)设函数f(x)的定义域为R,对于给定的正数k,定义函数fk(x)=f(x), f(x)>k,k, f(x)≤k.若函数f(x)=2|x|,则 (　　)
A. f2(-2)=-4
B. f2(x)在(-∞,-1)上单调递减
C. f2(x)为偶函数
D. f2(x)的最大值为2
题组二　指数函数的单调性及其应用
3.(2021河北衡水武邑中学高一上期中,)设12<12b<12a<1,那么 (　　)
A.aaC.ab4.(2020山东济南历城二中高一上期末,)若函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为a2,则a的值为 (　　)
A.12 B.32
C.23或2 D.12或32
5.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)已知函数f(x)=bax(其中a,b为常数,a>0,且a≠1)的图象经过A(1,6),B(2,18)两点.若不等式2ax+1bx-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,则实数m的最大值为　　　.?
6.(2020山东菏泽高一上期末联考,)为了预防某流感,某学校对教室进行药熏消毒,室内每立方米空气中的含药量y(单位:毫克)随时间x(单位:小时)的变化情况如图所示,在药物释放的过程中,y与x成正比;药物释放完毕后,y与x的函数关系式为y=116x-a(a为常数),根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)写出从药物释放开始,y与x之间的函数关系式;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室学习,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?
5151755156845
题组三　指数函数性质的综合应用
7.(2020浙江温州十五校联合体高一上期中联考,)已知a>0,设函数f(x)=2 019x+1+32 019x+1(x∈[-a,a])的最大值为M,最小值为N,那么M+N= (　　)
A.2 025 B.2 022 C.2 020 D.2 019
8.(2021浙江杭州学军中学高一上期中,)已知函数f(x)=x2,g(x)=12x-m,若?x1∈[-1,3],?x2∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,则实数m的取值范围是　　　　.?
9.(2020浙江浙北G2高一上期中联考,)已知实数a>0,定义域为R的函数f(x)=3xa+a3x是偶函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明;
(3)是否存在实数m,使得对任意的t∈R,不等式f(t-2)答案全解全析
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1.C　令f(x)=2x,则-f(-x)=-2-x.
∵y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称,
∴y=-2-x与y=2x的图象关于原点对称.
故选C.
2.A　当a>1时,函数y=ax是增函数,y=(a-1)x2的图象是开口向上的,所以两个函数的图象只可能是A.故选A.
3.D　y=12|x|=12x,x≥0,2x,x<0.
因此,当x≥0时,y=12|x|的图象与y=12x的图象相同;当x<0时,y=12|x|的图象与y=2x的图象相同,故选D.
4.C　作出直线x=1,如图所示.
直线x=1与四个函数图象的交点从下到上依次为(1,b),(1,a),(1,d),(1,c),因此a,b,c,d的大小顺序是b5.B　函数f(x)=ax-1-3,令x-1=0,得x=1,此时y=1-3=-2,
所以函数f(x)的图象所过定点的坐标为(1,-2),故选B.
6.解析　(1)因为f(-1)=a-1=1a=12,所以a=2,
所以f(x)=2x,g(x)=12x.
(2)在同一坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象如图所示:
(3)由图象知,当f(x)7.D　利用幂的运算性质可得:y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=12-1.5=21.5,
由y=2x是增函数,知y1>y3>y2.故选D.
8.D　由f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2在区间[1,2]上是减函数,得a≤1;由g(x)=(a+1)1-x=1a+1x-1在区间[1,2]上是减函数,得0<1a+1<1,因此a+1>1,解得a>0.因此a的取值范围是(0,1],故选D.
9.C　∵f(x+1)的定义域是[0,31),即0≤x<31,∴1≤x+1<32,∴f(x)的定义域是[1,32),
∴若f(2x)有意义,则必须满足20=1≤2x<32=25,∴0≤x<5.
10.C　∵f(x)=2x,x≥0,x+a,x<0是(-∞,+∞)上的单调递增函数,
∴20≥a,即a≤1,故选C.
11.答案　-52,1
解析　∵122x2-1>124-3x,y=12x在R上是减函数,
∴2x2-1<4-3x,解得-52故不等式的解集为-52,1.
12.答案　[-1,+∞)
解析　设t=8-2x-x2,则y=12t,易知y=12t在R上单调递减,
又知t=8-2x-x2在(-∞,-1]上单调递增,在[-1,+∞)上单调递减,
所以由y=12t与t=8-2x-x2复合而成的函数y=128-2x-x2的单调递增区间为[-1,+∞).
13.解析　(1)当a=12时,函数g(x)=f(x)=12-23x+1,
要使根式12-23x+1有意义,只需12-23x+1≥0,
所以23x+1≤12,化简得3x≥3=31,解得x≥1,
所以函数g(x)的定义域为[1,+∞).
(2)函数f(x)在定义域R上为增函数.
证明:在R上任取x1,x2,且x1则f(x1)-f(x2)=a-23x1+1-a-23x2+1=2(3x1-3x2)(3x1+1)(3x2+1),
由x1又因为3x1+1>0,3x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)在定义域R上为增函数.
14.B　函数f(x)=9x+13x=3x+13x,其定义域为R,关于原点对称, f(-x)=3-x+13-x=3x+13x=f(x),所以函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故选B.
15.ABD　对于A: f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,当x=-1时,等号成立,故A正确;
对于B:g(x)=ex+e-x=ex+1ex≥2,当且仅当x=0时,等号成立,故B正确;
对于C:h(x)=3x+2,由于3x>0,所以h(x)>2,故C错误;
对于D:m(x)=2|x|+1≥20+1=2,当且仅当x=0时,等号成立,故D正确.故选ABD.
16.答案　7或17
解析　若a>1,则函数f(x)=2ax-4在区间[-1,2]上是单调递增的,
当x=2时, f(x)取得最大值,则f(2)=2a2-4=10,即a2=7,又a>1,所以a=7.
若0当x=-1时, f(x)取得最大值,则f(-1)=2a-1-4=10,所以a=17.
综上所述,a的值为7或17.
17.答案　[0,+∞);偶函数
解析　设u=-|x|+1,则y=14u.
易知u=-|x|+1的单调递减区间为[0,+∞),y=14u是R上的减函数,
∴y=14-|x|+1的单调递增区间为[0,+∞).
易知f(x)的定义域为R,又f(-x)=14-|-x|+1=14-|x|+1=f(x),
∴f(x)是偶函数.
18.解析　(1)由2x-1≠0,可得x≠0,
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
(2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
又∵f(-x)=a+22-x-1=a+2×2x1-2x=a-2(2x-1)+22x-1=(a-2)-22x-1,
-f(x)=-a-22x-1,
∴a-2=-a,解得a=1.
因此f(x)=1+22x-1.
当x>0时,2x-1>0,f(x)>1;
当x<0时,-1<2x-1<0,f(x)<-1.
∴f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
19.解析　(1)当x>0时, f(x)=1-2x,当x<0时,-x>0,∴f(-x)=1-2-x.
又f(x)是R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=-f(-x)=-(1-2-x)=2-x-1,即x<0时, f(x)=2-x-1.
(2)当x>0时,不等式f(x)<1可化为1-2x<1,∴2x>0,显然成立;
当x=0时,由f(x)是奇函数,得f(0)=0<1,成立;
当x<0时,不等式f(x)<1可化为2-x-1<1,∴2-x<2,∴-1综上可知,不等式f(x)<1的解集为(-1,+∞).
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1.D　f(x)=ex+x-1x+1=ex+1-2x+1,
易知函数的定义域为{x|x≠-1},当x<-1时, f(x)>1,排除A和B;
当x无限增大时, f(x)无限趋近于ex+1,呈指数增长,排除C,故选D.
解题模板　对已知复杂的函数解析式选择函数图象问题,往往由函数的性质逐一排除得到函数的图象,必要时考虑函数的特殊值,函数值的变化趋势等作出正确的选择.
2.BC　对于选项A: f(-2)=2|-2|=4>2,
∴f2(-2)=4,故选项A错误;
对于选项B:f(x)=2|x|的图象如图所示:
所以f2(x)的大致图象如图所示:
由图象可知,f2(x)在(-∞,-1)上单调递减,故选项B正确;
对于选项C:由f2(x)的图象可知,图象关于y轴对称,所以函数f2(x)是偶函数,故选项C正确;
对于选项D:由f2(x)的图象可知,f2(x)的最小值为2,无最大值,故选项D错误.
故选BC.
3.C　∵12<12b<12a<1,且y=12x在R上是减函数,∴04.D　当a>1时,函数y=ax在[1,2]上递增,y的最大值为a2,最小值为a,
故有a2-a=a2,解得a=32或a=0 (舍去);
当0故有a-a2=a2,解得a=12或a=0(舍去).
综上,a=32或a=12.故选D.
警示　对于含参数的指数函数的单调性问题,应该考虑底数的范围,当01时,函数单调递增.
5.答案　76
解析　由已知可得ba=6,ba2=18,解得a=3,b=2,
则不等式23x+12x-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,设g(x)=23x+12x-m,
显然函数g(x)=23x+12x-m在(-∞,1]上单调递减,
∴g(x)≥g(1)=23+12-m=76-m,
故76-m≥0,即m≤76,
∴实数m的最大值为76.
6.解析　 (1)依题意,当0≤x≤0.1时,可设y=kx(k≠0),且1=0.1k,解得k=10.
又由1=1160.1-a,解得a=0.1,
所以y=10x,0≤x≤0.1,116x-0.1,x>0.1.
(2)令116x-0.1<0.25,即142x-0.2<14,得2x-0.2>1,解得x>0.6,
即至少需要经过0.6小时后,学生才能回到教室.
7.B　f(x)=2 019x+1+2 019-2 0162 019x+1=2 019-2 0161+2 019x,
∴f(-x)=2 019-2 0161+2 019-x=2 019-2 016×2 019x2 019x+1.
因此f(x)+f(-x)
=4 038-2 01611+2 019x+2 019x2 019x+1
=4 038-2 016=2 022.
又f(x)在[-a,a]上是增函数,
∴M+N=f(a)+f(-a)=2 022,故选B.
8.答案　14,+∞
解析　由?x1∈[-1,3],?x2∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2),得f(x)min≥g(x)min.
∵f(x)=x2,-1≤x≤3,∴f(x)min=0,
∵g(x)=12x-m在[0,2]上递减,
∴g(x)min=g(2)=122-m=14-m.
因此,0≥14-m,解得m≥14,
故m的取值范围是14,+∞.
9.解析　(1)定义域为R的函数f(x)=3xa+a3x是偶函数,则f(-x)=f(x)恒成立,即3-xa+a3-x=3xa+a3x,故1a-a(3x-3-x)=0恒成立.
因为3x-3-x不可能恒为0,所以当1a-a=0时,f(-x)=f(x)恒成立,又a>0,所以a=1.
(2)函数f(x)=3x+13x在(0,+∞)上单调递增,证明如下:
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1f(x1)-f(x2)=3x1+13x1-3x2+13x2=(3x1-3x2)+13x1-13x2=(3x1-3x2)+3x2-3x13x1·3x2
=(3x1-3x2)(3x1·3x2-1)3x1·3x2.
因为01,3x2>1,
所以(3x1-3x2)(3x1·3x2-1)3x1·3x2<0,
即f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故函数f(x)=3x+13x在(0,+∞)上单调递增.
(3)不存在.理由如下:由(2)知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,而函数f(x)是偶函数,则函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.若存在实数m,使得对任意的t∈R,不等式f(t-2)0对任意的t∈R恒成立,则Δ=[-(4m-4)]2-12(m2-4)<0,得到(m-4)2<0,此不等式无解,所以不存在.