5.1.2　弧度制——2021-2022学年高一上学期人教A版（2019）必修第一册同步新题练习（Word含答解析）

5.1.2　弧度制
刷新题夯基础　　　　　　 　　　 　　　　　
题组一　弧度制及弧度与角度的互化
1.把-8π3化成角度是 (　　)
A.-960° B.-480° C.-120° D.-60°
2.(2020北京人大附中高一下阶段检测)下列角α位于第三象限的是 (　　)
A.α=3 B.α=2π3 C.α=-210° D.α=-3
3.(2021山西长治二中高一上第二次月考)角α=4,则角α终边所在的象限是 (　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.时钟的分针从1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为　　　　.?
5.把下列角度化成弧度或弧度化成角度:
(1)72°;(2)-300°;(3)2;(4)- 2π9.
题组二　用弧度制表示终边相同的角
6.(2020辽宁营口二中高一下期末)下列各角中,终边相同的角是 (　　)
A.2π3和240° B.-π5和314° C.-7π9和29π9 D.3和3°
7.集合α|kπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是 (　　)
1333500268605
8.已知角α与β的终边关于原点对称,则α与β的关系为(　　)
A.α-β=π+2kπ(k∈Z) B.α+β=0
C.α+β=2kπ(k∈Z) D.以上都不对
9.(多选)(2021江苏扬中高级中学等八校高一上联考)下列给出的各角中,与-5π3终边相同的角有 (　　)
A.π3 B.13π3 C.-2π3 D.-17π3
10.用弧度表示终边落在阴影部分内(包括边界)的角的集合.
5407660227965
题组三　扇形的弧长公式及面积公式的应用
11.(2020辽宁省实验中学高一下期中)若扇形的圆心角为1 rad,半径为2,则该扇形的面积为 (　　)
A.12 B.1 C.2 D.4
12.在单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为 (　　)
A.9π10 B.10π9 C.9π D.10π
13.(2020山东潍坊诸城高一下期中)一个扇形的圆心角为150°,面积为5π3,则该扇形的半径为 (　　)
A.4 B.1 C.2 D.2
14.一个扇形的弧长为6,面积为6,则这个扇形的圆心角为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
(2020湖南张家界高一上期末)已知扇形的圆心角为π4,弧长为π,则该扇形的面积为　　　　.?
刷新题培素养
题组一　弧度制及其应用
1.()若-π2≤α<β≤π2,则α+β2,α-β2的取值范围分别是(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-π2,π2,-π2,0 B.-π2,π2,-π2,0
C.-π2,π2,-π2,0 D.-π2,π2,-π2,0
2.()已知α是第三象限角,则α3不可能是 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.()如图1是某小区的公园,它有一圆形跑道,跑道上有4个出口A、B、C、D(视为点),且将圆弧四等分(如图2).小明从A点出发,在圆形跑道上按逆时针方向做匀速圆周运动,假设他每分钟转过的圆心角为θ弧度(0<θ<π),3分钟时第一次到达劣弧CD之间(不包括C、D点),15分钟时回到出发点A,则θ的值为　　　　　.?
4.()已知α是第二象限角.
(1)指出α2所在的象限,并用图形表示其变化范围;
(2)若α同时满足条件|α+2|≤4,求α的取值范围.
题组二　扇形的弧长公式及面积公式的应用
5.(2021黑龙江省实验中学高一上月考,)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下,折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为5-12时,扇面看上去形状较为美观,那么此时制作扇子的扇形的圆心角的弧度数为 (　　)
A.(3-5)π B.(5-1)π C.(5+1)π D.(5-2)π
6.(2020四川攀枝花高一上质量监测,)《九章算术》是中国古代第一部数学专著,成于公元1世纪左右,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成的弓形)的面积所用的经验公式:弧田面积=12×(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得的弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为2π3,弦长为403 m的弧田,其实际面积与按照上述经验公式计算出的面积之间的误差为　　　　m2(其中π≈3,3≈1.73) (　　)?
A.15 B.16 C.17 D.18
4924425635007.(2020吉林五地六校高一上期末联考,)如图,C为半圆内一点,O为圆心,直径AB的长为2,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O按逆时针方向旋转至△B'OC',点C'在OA上,则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为　　　　.?
8.() 已知扇形的圆心角为α,半径为r.
(1)若扇形的周长是定值C(C>0),求扇形的最大面积及此时α的值;
(2)若扇形的面积是定值S(S>0),求扇形的最小周长及此时α的值.
答案全解全析
刷新题夯基础
1.B　-8π3=-8π3×180π°=-480°.
2.D　第三象限角的范围是2kπ+π,2kπ+3π2,k∈Z.选项A中,α=3=3×180π°≈172°,是第二象限的角,故不满足题意;选项B中,α=2π3是第二象限的角,故不满足题意;选项C中,α=-210°是第二象限的角,故不满足题意;选项D中,α=-3=-3×180π°≈-172°,是第三象限的角,满足题意.故选D.
3.C　角α=4,∴π<α<3π2,则角α的终边在第三象限,故选C.
4.答案　-14π3
解析　∵分针每分钟转-6°,∴分针从1点到3点20分这段时间里转过的度数为-6°×(2×60+20)=-840°,-840°=-840×π180=-14π3.
5.解析　(1)72°=72×π180=2π5.
(2)-300°=-300×π180=-5π3.
(3)2=2×180π°=360π°.
(4)-2π9=-2π9×180π°=-40°.
6.C　对于A选项,240°=4π3,不合题意;对于B选项,-π5=-36°,314°-360°=-46°,不合题意;对于C选项,29π9--7π9=4π,符合题意;对于D选项,3=3×180π°≈171.9°,171.9°-3°=168.9°,不合题意.故选C.
7.C　当k为偶数时,集合对应的区域为第一象限内直线y=x的左上部分(包含边界),当k为奇数时,集合对应的区域为第三象限内直线y=x的右下部分(包含边界).
8.A　由已知可得α-β=π+2kπ(k∈Z).
9.ABD　与-5π3终边相同的角记为α,
则α=-5π3+2kπ,k∈Z,
当k=1时,α=π3,故选项A正确;
当k=3时,α=13π3,故选项B正确;
令-5π3+2kπ=-2π3,解得k=12?Z,故选项C错误;
当k=-2时,α=-17π3,故选项D正确.
故选ABD.
10.解析　如题图,330°角的终边与-30°角的终边相同,将-30°化成弧度为-π6,
而75°=75×π180=5π12,
∴终边落在题图阴影部分内(包括边界)的角的集合为θ2kπ-π6≤θ≤2kπ+5π12,k∈Z.
11.C　S扇形=12αr2=12×1×22=2,其中α为扇形的圆心角,r为扇形的半径,故选C.
12.B　∵单位圆的半径为1,且200°=10π9,
∴弧长l=10π9×1=10π9.故选B.
13.D　扇形的圆心角α=150°=5π6,设扇形的半径为R,面积为S,
则S=12αR 2=12×5π6×R 2=5π3,解得R=2(负值舍去),故选D.
14.C　根据扇形的面积公式S=12lr,可得6=12×6r,解得r=2,
再根据弧长公式l=rα,可得扇形的圆心角α=lr=62=3.故选C.
15.答案　2π
解析　由扇形的圆心角α=π4,弧长l=π,得扇形的半径r=lα=4,
则扇形的面积S=12lr=12×π×4=2π.
故答案为2π.
刷新题培素养
1.D　∵-π2≤α<β≤π2,
∴-π4≤α2<π4,-π4<β2≤π4,
两式相加可得-π2<α+β2<π2.
∵-π4<β2≤π4,∴-π4≤-β2<π4,
则-π2≤α-β2<π2.
又α<β,∴α-β2<0,故-π2≤α-β2<0,故选D.
2.B　因为α是第三象限角,
所以2kπ+π<α<2kπ+3π2,k∈Z,
所以23kπ+π3<α3<23kπ+π2 ,
当k=3n,n∈Z时,2nπ+π3<α3<2nπ+π2,为第一象限角;
当k=3n+1,n∈Z时,2nπ+π<α3<2nπ+7π6,为第三象限角;
当k=3n+2,n∈Z时,2nπ+5π3<α3<2nπ+11π6,为第四象限角.
所以α3不可能是第二象限角.故选B.
3.答案　2π5
信息提取　①每分钟转过的圆心角为θ弧度(0<θ<π);②15分钟时回到出发点A;③3分钟时第一次到达劣弧CD之间(不包括C、D点).
数学建模　利用条件“15分钟时回到出发点A”列出等式,利用“3分钟时第一次到达劣弧CD之间”列出不等式,解不等式得出结论.
解析　每分钟转过的圆心角为θ弧度,15分钟转过的圆心角为15θ弧度,由题意得15θ=2kπ,k∈Z,所以θ=2kπ15,k∈Z,
又他3分钟时第一次到达劣弧CD之间,所以π<3θ<3π2,即π<2kπ5<3π2,k∈Z,解得k=3,所以θ=2π5.
故答案为2π5.
4.解析　(1)依题意知,2kπ+π2<α<2kπ+π,k∈Z,所以kπ+π4<α2若k为偶数,则α2是第一象限角;若k为奇数,则α2是第三象限角.
其变化范围如图中阴影部分所示(不含边界).
(2)因为|α+2|≤4,所以-6≤α≤2,
所以α∈2kπ+π2,2kπ+π∩[-6,2],k∈Z,
所以α∈-3π2,-π∪π2,2.
5.A　易得制作扇子的扇形的圆心角(设为α)与圆面中剩余的扇形的圆心角(设为β)的比即为它们的面积比,
则S1S2=αβ=5-12,
又α+β=2π,所以α=(3-5)π.故选A.
6.B　因为圆心角为2π3,弦长为403 m,所以圆心到弦的距离为20 m,半径为40 m,
因此根据经验公式计算出弧田的面积为12×(403×20+20×20)=(4003+200)m2,
实际面积等于扇形面积减去三角形面积,
为12×2π3×402-12×20×403=1 600π3-4003m2,
因此两者之差为1 600π3-4003-(4003+200)≈16 m2,故选B.
7.答案　π4
解析　由题意可知OB=OA=1,OC=OC'=12,BC=B'C'=32,∠B'OC=∠B'OC'=π3,扇形AOB'的面积为π6,Rt△B'OC'的面积为38,故题图中B'C'左边空白图形的面积S1=π6-38,而B'C'右边三块空白图形的面积之和S2=12×2π3×14+38=π12+38,由此可得空白图形的总面积S=S1+S2=π6+π12=π4,而半圆的面积为π2,所以所求阴影部分的面积为π2-π4=π4.
8.解析　(1)由题意,可得2r+αr=C,则αr=C-2r,
则扇形的面积S=12αr2=12(C-2r)r=-r2+12Cr=-r-C42+C216,
故当r=C4时,S取得最大值C216,此时α=C-2rr=2.
(2)由题意可得S=12αr2,则αr=2Sr,
故扇形的周长C=2r+αr=2r+2Sr≥4S,
当且仅当2r=2Sr,即r=S时,等号成立,
即r=S时,C取得最小值4S,此时α=2Sr2=2.