5.3　诱导公式——2021-2022学年高一上学期人教A版（2019）必修第一册同步新题练习（Word含答解析）

5.3　诱导公式
刷新题夯基础　　　　　　 　　　　　 　　　　　
题组一　利用诱导公式解决给角求值问题
1.(2020辽宁阜新二中高一下期末)sin 4π3的值为 (　　)
A.-32 B.12 C.32 D.-12
2.若600°角的终边上有一点(-4,a),则a的值是 (　　)
A.43 B.±43 C.-43 D.3
3.(2020天津滨海新区高一上期末)tan 225°的值为　　　　.?
4.(2020山东潍坊一中高一下期中)已知函数f(x)=2cosx-π12,x∈R,则f -π6的值为　　　　.?
5.已知a=tan-7π6,b=cos23π4,c=sin-33π4,则a,b,c的大小关系是　　　　(用“>”连接).?
6.计算下列各式的值:
(1)cosπ5+cos 2π5+cos3π5+cos4π5;
(2)sin 240°cos 330°+sin(-690°)cos(-660°).
题组二　利用诱导公式解决给值求值问题
7.(2020北京人大附中高一下阶段检测)已知sin α=14,则cosπ2+α= (　　)
A.-14 B.14 C.-154 D.154
8.已知sin 25.3°=a,则cos 64.7°等于 (　　)
A.a B.-a C.a2 D.1-a2
9.已知cosα+π6=-13,则sinα-π3的值为 (　　)
A.13 B.-13 C.233 D.-233
10.(2020浙江丽水高一下期末)已知cos θ=-35(π<θ<2π),
则sin θ=　　　,tan(π-θ)=　　　.?
题组三　利用诱导公式解决恒等变形问题
11.在△ABC中,cos(A+B)的值等于 (　　)
A.cos C B.-cos C C.sin C D.-sin C
12.(2020北京丰台高一上期末)sinπ2-αcos(-α)= (　　)
A.tan α B.-tan α C.1 D.-1
13.(2020辽宁葫芦岛高一下期末)化简:sinα+π2tan(π+α)cos(π-α)cos(-α)tan(π-α)=　　　　.?
14.化简:(1)sin(540°+α)cos(-α)tan(α-180°);
(2)sin(2π+α)cos(-π+α)cos(-α)tanα.
15.(2020北师大附中高一上期末)化简:sinπ2+αcosπ2-αcos(π+α)+sin(π-α)cosπ2+αsin(π+α).
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题组一　利用诱导公式解决给角求值问题
1.(2020安徽安庆一中高一上期末,)若点P(x,y)是330°角终边上异于原点的任意一点,则yx的值是 (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3 B.-3 C.-33 D.33
2.(2020河南信阳高一下期末,)估计cos 2 020°的大小属于区间 (　　)
A.-12,0 B.-32,-22 C.0,12 D.22,32
3.(2020北京人大附中高一月考,)计算:
tan150°cos(-210°)sin(-420°)sin1 050°cos(-600°).
题组二　利用诱导公式解决给值求值问题
4.(2020广东珠海高一上期末学业质量检测,) 已知sin5π7-α=13,则sin2π7+α= (　　)
A.223 B.-223 C.-13 D.13
5.(2021黑龙江双鸭山一中高一上第二次月考,)已知sin(53°-α)=15,且-270°<α<-90°,则sin(37°+α)的值为 (　　)
A.15 B.±265 C.265 D.-265
6.()已知α是第四象限角,且3sin2α=8cos α,则cosα+2 019π2= (　　)
A.-223 B.-13 C.223 D.13
7.(2020河南郑州高一下期末,)已知sinπ6+x=-35,则sin2π3-x-sin5π6-x的值为　　　.?
8.(2020山东临沂外国语学校高一上期末,)已知4cosα-sinα3sinα+2cosα=14.
(1)求tan α的值;
(2)求sin(π-α)sin3π2-α的值.
题组三　利用诱导公式解决恒等变形问题
9.(2020辽宁阜新二中高一下期末,)化简sin(π-α)cos(π+α)sin(-α)cosπ2+α 的结果为 (　　)
A.-1 B.1 C.1tanα D.-1tanα
10.(多选)()下列与cos3π2-θ的值相等的是 (　　)
A.sin(π-θ) B.sin(π+θ) C.cosπ2-θ D.cosπ2+θ
11.(多选)()下列化简正确的是 (　　)
A.sin(-α)tan(360°-α)=cos α
B.sin(π-α)cos(π+α)=tan α
C.cos(π-α)tan(-π-α)sin(2π-α)=1
D.若θ∈π2,π,则1-2sin(π+θ)sin3π2+θ=sin θ-cos θ
12.()求证:sinθ+cosθsinθ-cosθ=2sinθ-3π2cosθ+π2-11-2sin2(π+θ).
13.(2020安徽合肥高一上期末,)已知f(α)=sin(α-5π)cos(8π-α)tan(-α-π)sinα-π2cos3π2+α,其中α是第三象限角,且cosα-3π2=15,求f(α).
14.(2020辽宁省实验中学高一下期中,)已知函数f(x)=sin(x+π)tan(x-π)+sinx-3π2cosx+π2cos(x+3π).
(1)化简f(x);
(2)若f(α)=13,求sin αcos α的值.
15.(2020安徽安庆高一上期末,)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(3,-4).
(1)求sin α-cos α的值;
(2)求sin(π+α)+cosπ2+αcos(2π+α)+sin(-α)的值.
答案全解全析
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1.A　 sin 4π3=sinπ+π3=-sin π3=-32,故选A.
2.C　由题意,得tan 600°=a-4,
则a=-4tan 600°=-4tan(3×180°+60°)
=-4tan 60°=-43,故选C.
3.答案　1
解析　tan 225°=tan(180°+45°)=tan 45°=1.
4.答案　1
解析　因为函数f(x)=2cosx-π12,x∈R,
所以f-π6=2cos-π6-π12
=2cos-π4=2cos π4=1,故答案为1.
5.答案　b>a>c
解析　∵a=-tan 7π6=-tanπ+π6
=-tan π6=-33,
b=cos6π-π4=cosπ4=22,
c=-sin33π4=-sin8π+π4=-sinπ4
=-22,∴b>a>c.
6.解析　(1)原式=cosπ5+cos 2π5+cosπ-2π5+cosπ-π5=cosπ5+cos2π5-cos2π5-cosπ5=0.
(2)原式=sin(180°+60°)cos(360°-30°)+sin(-2×360°+30°)cos(-2×360°+60°)
=-sin 60°cos 30°+sin 30°cos 60°
=-32×32+12×12=-12.
7.A　cosπ2+α=-sin α=-14.故选A.
8.A　cos 64.7°=cos(90°-25.3°)=sin 25.3°=a.
9.A　∵cosα+π6=-13,
∴sinα-π3=sinα+π6-π2
=-cosα+π6=13,故选A.
10.答案　-45;-43
解析　因为cos θ=-35(π<θ<2π),所以π<θ<3π2,
因此sin θ<0,所以sin θ=-1--352=-45.
tan(π-θ)=-tan θ=-sinθcosθ=-43.
故答案为-45;-43.
11.B　由于A+B+C=π,所以A+B=π-C.
所以cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C.
故选B.
12.C　sinπ2-αcos(-α)=cosαcosα=1.故选C.
13.答案　cos α
解析　原式=cosαtanα(-cosα)cosα(-tanα)=cos α.故答案为cos α.
14.解析　(1)sin(540°+α)cos(-α)tan(α-180°)
=sin(180°+α)cosαtanα=-sinαcosαtanα=-cos2α.
(2)sin(2π+α)cos(-π+α)cos(-α)tanα
=sinα(-cosα)cosαtanα=-cos α.
15.解析　原式=cosαsinα-cosα+sinα(-sinα)-sinα=-sin α+sin α=0.
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1.C　依题意得yx=tan 330°,又tan 330°=tan(360°-30°)=-tan 30°=-33,∴ yx=-33,故选C.
2.B　cos 2 020°=cos(5×360°+220°)=cos 220°=cos(180°+40°)=-cos 40°,
由于30°<40°<45°,
在坐标系中作出单位圆和30°、40°、45°角的终边(图略),由终边与单位圆交点的横坐标知22所以-32<-cos 40°<-22,
即-32故选B.
3.解析　由诱导公式可得tan 150°=tan(180°-30°)=-tan 30°=-33,
cos(-210°)=cos 210°=cos(180°+30°)=-cos 30°=-32,
sin(-420°)=-sin 420°=-sin(360°+60°)=-sin 60°=-32,
sin 1 050°=sin(3×360°-30°)=-sin 30°=-12,
cos(-600°)=cos 600°=cos(3×180°+60°)=-cos 60°=-12,
∴原式=-33×-32×-32-12×-12=-3414=-3.
4.D　∵sin5π7-α=13,∴sin2π7+α=sinπ-5π7-α=sin5π7-α=13.
解题模板　形如“已知θ+α的三角函数值,求±θ+β的三角函数值”的给值求值问题的关键是找到θ+α与±θ+β的数量关系,根据两者之间的数量关系选取公式,从而达到求值的目的,如本题中5π7-α+2π7+α=π.
5.D　因为-270°<α<-90°,
所以143°<53°-α<323°,
又sin(53°-α)=15>0,
所以143°<53°-α<180°,
所以sin(37°+α)=sin[90°-(53°-α)]
=cos(53°-α)=-1-sin2(53°-α)
=-1-152=-265.故选D.
6.A　∵3sin2α=8cos α,∴sin2α+3sin2α82=1,整理可得9sin4α+64sin2α-64=0,
解得sin2α=89或sin2α=-8(舍去).
又∵α是第四象限角,
∴sin α=-223,
∴cosα+2 019π2=cosα+1 009π+π2
=-cosα+π2=sin α=-223.
7.答案　3125
解析　设π6+x=θ,则sin θ=-35,
所以sin2π3-x-sin5π6-x
=sin2π2-θ-sin(π-θ)
=cos2θ-sin θ
=1-sin2θ-sin θ
=1--352--35=3125,
故答案为3125.
8.解析　(1)由4cosα-sinα3sinα+2cosα=14,得
4-tanα3tanα+2=14,解得tan α=2.
(2)sin(π-α)sin3π2-α
=sin α(-cos α)
=-sinαcosαsin2α+cos2α
=-tanαtan2α+1,
由(1)可知,tan α=2,
所以-tanαtan2α+1=-24+1=-25,
即sin(π-α)sin3π2-α=-25.
9.D　sin(π-α)cos(π+α)sin(-α)cosπ2+α=sinα(-cosα)-sinα(-sinα)=-cosαsinα=-1tanα,
故选D.
10.BD　因为cos3π2-θ=-cosπ2-θ=-sin θ,
sin(π-θ)=sin θ,sin(π+θ)=-sin θ,
cosπ2-θ=sin θ,cosπ2+θ=-sin θ,
所以B,D项与cos3π2-θ的值相等.
11.AD　A正确,sin(-α)tan(360°-α)=-sinα-tanα=cos α;B错误,sin(π-α)cos(π+α)=sinα-cosα=-tan α;
C错误,cos(π-α)tan(-π-α)sin(2π-α)
=(-cosα)(-tanα)-sinα=-1;
D正确,1-2sin(π+θ)sin3π2+θ
=1-2sinθcosθ
=(sinθ-cosθ)2
=|sin θ-cos θ|,
∵θ∈π2,π,∴sin θ>0,cos θ<0,故1-2sin(π+θ)sin3π2+θ=sin θ-cos θ.故选AD.
12.证明　右边=-2sin3π2-θ(-sinθ)-11-2sin2θ
=2sinπ+π2-θsinθ-11-2sin2θ
=-2sinπ2-θsinθ-11-2sin2θ
=(-2cosθ)sinθ-1cos2θ+sin2θ-2sin2θ
=(sinθ+cosθ)2sin2θ-cos2θ=sinθ+cosθsinθ-cosθ=左边,
所以原等式成立.
13.解析　f(α)
=sin(α-5π)cos(8π-α)tan(-α-π)sinα-π2cos3π2+α
=-sinαcosα(-tanα)-cosαsinα
=-tan α,
由cosα-3π2=15得sin α=-15,
因为α是第三象限角,
所以cos α=-1--152=-2425=-265,
故tan α=126=612,所以f(α)=-612.
14.解析　(1)f(x)
=sin(x+π)tan(x-π)+sinx-3π2cosx+π2cos(x+3π)
=-sinxtanx+cosx(-sinx)-cosx
=-sin x·cosxsinx+sin x=sin x-cos x.
(2)因为f(α)=13,即sin α-cos α=13,所以(sin α-cos α)2=132,
整理得sin2α-2sin αcos α+cos2α=19,
即2sin αcos α=89,即sin αcos α=49.
15.解析　(1)由已知可得r=32+(-4)2=5,
根据三角函数的定义知sin α=-45,
cos α=35,
所以sin α-cos α=-45-35=-75.
(2)解法一:sin(π+α)+cosπ2+αcos(2π+α)+sin(-α)
=-sinα-sinαcosα-sinα
=-2sinαcosα-sinα
=-2×-4535--45=8575=87.
解法二:由(1)可得tan α=-43,
所以sin(π+α)+cosπ2+αcos(2π+α)+sin(-α)
=-sinα-sinαcosα-sinα
=-2sinαcosα-sinα=-2tanα1-tanα
=-2×-431--43=8373=87.