4.3.1 对数的概念 4.3.2 对数的运算——2021-2022学年高一上学期人教A版（2019）必修第一册同步新题练习（Word含答解析）

4.3　对数
4.3.1　对数的概念
4.3.2　对数的运算
刷新题夯基础
题组一　对数的概念及性质
1.下列说法:①只有正数有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以5为底25的对数等于±2;④3log3(-5)=-5成立.其中正确的个数为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
2.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围为 (　　)
A.a>12,且a≠1 B.0C.a>0,且a≠1 D.a<12
3.(2020河北辛集中学高一期中)若log32=x,则3x+9x的值为 (　　)
A.6 B.3 C.52 D.12
4.(2020天津红桥高一上期末)求值:log2(lg 10)=　　　　.?
5.(2020山东济南高一上期末)3log34-2723=　　　　.?
6.已知log7[log3(log2x)]=0,那么x-12=　　　　.?
题组二　对数的运算性质及对数式的恒等变形
7.(2020安徽安庆高一上期末质量检测)计算:log32-log36= (　　)
A.1 B.-1 C.-log32 D.-2log32
8.若a>0,a≠1,x>y>0,n∈N*,则下列各式:
①(logax)n=nlogax;②(logax)n=logaxn;③logax=-loga1x;④nlogax=1nlogax;⑤logaxn=loganx.
其中正确的有 (　　)
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
9.已知lg 2=a,lg 3=b,则log36= (　　)
A.a+ba B.a+bb
C.aa+b D.ba+b
10.(2020山东淄博部分学校高一上期末联考)(lg 2)2+(lg 5)2+lg 4·lg 5=　　　　.?
11.(2020山东滨州高一上期末)计算:log233×log32=　　　　. ?
12.计算下列各式:
(1)2ln e+lg 1+3log32;(2)3log34-lg10+2ln 1.
题组三　对数运算的综合应用
13.已知a,b,c是△ABC的三边,且关于x的二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有两个相等的实数根,则△ABC的形状是 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
14.(2021江苏南通如东高一上期中)物理学规定音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量的大小η可由如下公式计算:η=10lg II0(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度),人类生活在一个充满声音的世界中,人们通过声音交换信息、交流情感,人正常谈话的音量介于40 dB与60 dB之间,则60 dB声音的声波强度I1是40 dB声音的声波强度I2的(　　)
A.32倍 B.1032倍 C.100倍 D.lg 32倍
15.(2020河北唐山一中高一期中)已知loga3=m,loga2=n(a>0,且a≠1).
(1)求am+2n的值;
(2)若0刷新题培素养
题组一　对数的概念及性质　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)设2a=5b=m,且1a+1b=2,则m= (　　)
A.10 B.-10
C.10或-10 D.10
2.(2020天津河东高一上期末,)求值:2log214-23-2+lg 1100+(2)ln1=　　　　.?
3.(2020山东淄博部分学校高一上期末联考,)已知a>0,且a≠1,loga2=x,则ax=　　　　,a2x+a-2x=　　　　.?
题组二　对数式的恒等变形
4.(2020陕西西安中学高一上期中,)已知x,y,z都是大于1的正数,m>0,logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则logzm的值为 (　　)
A.160 B.60 C.2003 D.320
5.(2020广东珠海高一上期末,) 计算:5-12·5log55-log37·log79+log126+log122=　　　　.?
6.(2020天津滨海新区高一上期末,)若lg 2=a,lg 3=b,则log312的值为　　　　.(结果用含a,b的代数式表示)?
7.(2021河北张家口一中高一上期中,)求值:2723-2log23×log218+2lg(3+5+3-5)=　　　　.?
8.(2020浙江浙北G2高一上期中联考,)已知实数a,b满足logab-3logba=2,且aa=bb,则a+b=　　　　.?
9.(2020河南省实验中学高一上期中,)计算:
(1)log3427+lg 25-5log574+lg 4;
(2)2log32-log3329+log38-25log53.
10.(2020山东青岛二中高一上期末,)已知A=-13-20+810.25-(-3)2×823+log53×log325,B=log2(4B+2A),求A,B的值.
题组三　对数运算的综合运用
11.(多选)(2021江苏徐州一中高一上期中,)已知2a=3,b=log32,则 (　　)
A.a+b>2 B.ab=1
C.3b+3-b=829 D.a(b+1)+12a=log912
12.(2020山东临沂高一上期末素养水平监测,)已知lg x+lg y=2,则1x+1y的最小值是　　　　.?
13.()设方程log3x3+log27(3x)=-43的两个根分别为a和b,则a+b的值为　　　　.?
14.(2020山东济南高一上期末,)数学运算是指在明确运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.
(1)请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,那么logaMn=nlogaM(n∈R);
(2)请你运用上述对数运算性质计算lg3lg4×lg8lg9+lg16lg27的值;
(3)因为210=1 024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,称为位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断2 0192 020的位数.
(参考数据:lg 2 019≈3.305)
答案全解全析
刷新题夯基础
1.B　对于①,由对数的概念知,负数和0没有对数,故①正确;对于②,指数式(-1)2=1没有相应的对数式,故②错误;对于③,以5为底25的对数等于2,故③错误;对于④,负数没有对数,所以log3(-5)无意义,故④错误.故选B.
2.B　由题意知-2a+1>0,a>0,a≠1,解得03.A　由log32=x得3x=2,因此9x=(3x)2=4,所以3x+9x=2+4=6,故选A.
4.答案　0
解析　log2(lg 10)=log21=0.
5.答案　-5
解析　3log34-2723=4-(33)23=4-9=-5.
6.答案　24
解析　∵log7[log3(log2x)]=0,
∴log3(log2x)=1,∴log2x=3,∴x=23,
∴x-12=(23)-12=18=122=24.
7.B　log32-log36=log326=log313=-1.故选B.
8.A　根据对数的运算性质logaMn=nlogaM(M>0,a>0,且a≠1)知③与⑤正确.
9.B　log36=lg6lg3=lg2+lg3lg3=a+bb.
10.答案　1
解析　(lg 2)2+(lg 5)2+lg 4·lg 5
=(lg 2)2+(lg 5)2+lg 22·lg 5
=(lg 2)2+(lg 5)2+2lg 2·lg 5
=(lg 2+lg 5)2=[lg(2×5)]2=12=1.
故答案为1.
11.答案　13
解析　 log233×log32=13×log23×log32=13×lg3lg2×lg2lg3=13.
12.解析　(1)原式=21+0+2=2+2=4.
(2)原式=3log34-1+20=3log34÷31+1=43+1=73.
13.B　由题意知Δ=0,即(-2)2-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0,化简得2lg a-lg(c2-b2)=0,
所以lg a2c2-b2=0,所以a2c2-b2=1,所以a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.
14.C　∵η=10lg II0,∴60 dB声音的声波强度I1=106·I0,40 dB声音的声波强度I2=104·I0,
∴I1I2=106·I0104·I0=102=100,故选C.
15.解析　(1)由loga3=m,loga2=n得am=3,an=2,因此am+2n=am·a2n=3×22=12.
(2)∵m+n=log32+1,∴loga3+loga2=loga6=log36,即a=3,因此x+x-1=3.
于是(x-x-1)2=(x+x-1)2-4=5,
由0从而x-x-1=-5,
∴x2-x-2=(x-x-1)(x+x-1)=-35.
刷新题培素养
1.A　易知m>0,由等式2a=m,5b=m两边取对数,
可得a=log2m,b=log5m,1a=logm2,1b=logm5,
所以1a+1b=logm2+logm5=logm10=2,可得m=10,故选A.
2.答案　-3
解析　 2log214-23-2+lg 1100+(2)ln1=2-2-322+(-2)+(2)0
=14-94-2+1=-3,故答案为-3.
3.答案　2;174
解析　由指数式与对数式的互化得loga2=x?ax=2.
a2x+a-2x=(ax)2+1(ax)2=22+122=174.
4.B　依题意得logmx=124,logmy=140,
logm(xyz)=112?logmx+logmy+logmz=112,
∴logmz=112-124-140=160.
因此logzm=60,故选B.
5.答案　0
解析　原式=15×5-log37×log732+log1212=1-2log37×log73+1=1-2+1=0.
解题模板　对数式恒等变形的常用策略:一看底,底不同时用换底公式化不同底为同底;二看真数,利用对数的运算性质将真数进行适当变形.解题时还要考虑到对数恒等式及特殊值.
6.答案　2a+bb
解析　∵lg 2=a,lg 3=b,
∴log312=lg12lg3=lg3+2lg2lg3=b+2ab,
因此答案为2a+bb.
7.答案　19
解析　原式=(33)23-3×(-3)+lg(3+5+3-5)2
=9+9+lg(3+5+3-5+29-5)
=9+9+lg 10=19.
8.答案　439
解析　由logab-3logab=2,得到logab=3或logab=-1,则b=a3或b=1a.当b=a3时,aa=bb=(a3)a3=a3a3,则a=3a3,而a>0,则a=33,b=39;当b=1a时,aa=bb=1a1a=a-1a,则a=-1a,而a>0,所以无解,所以a+b=439.
9.解析　(1)log3427+lg 25-5log574+lg 4
=14log327+(lg 25+lg 4)-5log574
=34+2-74=1.
(2)原式=log34-log3329+log38-25log259
=log34×932×8-9
=log39-9=2-9=-7.
10.解析　A=-13-20+810.25-(-3)2×823+log53×log325
=1+3-3×4+log53×log525log53
=-8+2=-6,
又B=log2(4B+2A),
∴2B=4B-12,
令t=2B(t>0),
则t2-t-12=0,
解得t=-3(舍去)或t=4,
即2B=4,∴B=2.
故A=-6,B=2.
11.ABD　∵2a=3,∴a=log23,
∵b=log32,∴ab=log23·log32=1,因此B正确;
由基本不等式可知a+b>2ab=2,因此A正确;
3b+3-b=2+12=52,因此C错误;
a(b+1)+12a=ab+a+12a=2+a2a=1a+12=log32+log33=log323=log912,因此D正确.故选ABD.
12.答案　15
解析　由lg x+lg y=2得xy=100,所以1x+1y=1100xy1x+1y=1100(x+y)≥150×xy=15,
当且仅当x=y=10时,取等号,故答案为15.
13.答案　1081
解析　利用对数换底公式把方程log3x3+log27(3x)=-43化为11+log3x+1+log3x3=-43,
∴(1+log3x)2+4(1+log3x)+3=0,
解得1+log3x=-1或1+log3x=-3,
∴log3x=-2或log3x=-4,因此x=19或x=181,
从而a+b=19+181=1081,故答案为1081.
14.解析　(1)解法一:设x=logaM,则M=ax,
所以Mn=(ax)n=anx,所以logaMn=nx=nlogaM.
解法二:设x=nlogaM,所以xn=logaM,所以axn=M,所以ax=Mn,
因此x=logaMn,
故logaMn=nlogaM.
解法三:因为alogaMn=Mn,所以anlogaM=(alogaM)n=Mn,
因此alogaMn=anlogaM,
所以logaMn=nlogaM.
(2)lg3lg4×lg8lg9+lg16lg27=lg3lg 22×lg 23lg 32+lg 24lg 33=lg32lg23lg22lg3+4lg23lg3
=lg32lg2·17lg26lg3=1712.
(3)解法一:设10k<2 0192 020<10k+1,k∈N*,
两边取常用对数,得k因此k<2 020lg 2 019又lg 2 019≈3.305,
所以k<2 020×3.305解得6 675.1又k∈N*,
所以k=6 676,
故2 0192 020的位数为6 677.
解法二:设2 0192 020=N,则2 020lg 2 019=lg N,又lg 2 019≈3.305,
所以lg N≈6 676.1,因此N=106 676.1=100.1×106 676,
又1<100.1<10,所以N的位数为6 677,即2 0192 020的位数为6 677.
解题模板　解决数字的位数问题,需要对该数取对数进行分析,由对数的整数部分就可以得到此数的位数,如lg N=6 676.1,则N的位数为6 676+1=6 677.