2.3二次函数与一元二次方程、不等式 同步练习2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册第二章（Word含解析）

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
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题组一　一元二次不等式的解法
1.(2021河北邢台高一上期中)不等式x2+5x>0的解集为 (　　)
A.{x|x<0或x>5} B.{x|0C.{x|x<-5或x>0} D.{x|-52.(2021北京首都师范大学附属中学高二上月考)关于x的一元二次不等式x2-5x-6>0的解集为 (　　)
A.{x|x<-1或x>6} B.{x|-1C.{x|x<-2或x>3} D.{x|-23.(2020北京顺义高一期中)不等式x(x+2)<3的解集是 (　　)
A.{x|-1C.{x|x<-1或x>3} D.{x|x<-3或x>1}
4.(2021上海浦东新区高一上期中)不等式(x-2)2≤4的解集为　　　　.?
5.(2021北京第五中学高一上检测)不等式6+11x-2x2>0的解集是　　　　.?
6.(2021上海崇明高一上期中)解下列不等式:
(1)-2x2+3x-12≤0;
(2)5x+3x-1≤3.
题组二　含有参数的一元二次不等式的解法
7.(2021浙江五湖联盟高一上期中联考)若a>2,则关于x的不等式ax2-(2+a)x+2>0的解集为 (　　)
A.x|x<2a或x>1 B.x|2aC.x|x>2a或x<1 D.x|18.(2021广东中山实验中学等四校高二上联考)对于给定的实数a,关于实数x的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集不可能是 (　　)
A.{x|x<-1或x>a} B.R
C.{x|-19.(2021安徽亳州高一下检测)解关于x的不等式x2-(a+1)x+a≥0,a∈R.
10.(2020四川新津中学高一期末)已知不等式x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0的解集为集合A,集合B={x|-2(1)若a=2,求A∪B;
(2)若A∩B=?,求实数a的取值范围.
题组三　三个“二次”之间的关系
11.(2020河南洛阳高二期末)已知不等式x2+ax+b≤0的解集为{x|2≤x≤3},则a+b= (　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-1 B.1 C.-2 D.2
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则y>0的解集为 (　　)
A.{x|-23}
13.(2020湖北十堰高一下期末)关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集的条件是(Δ=b2-4ac) (　　)
A.a>0Δ>0 B.a>0Δ<0 C.a<0Δ>0 D.a<0Δ<0
14.(2021湖北武汉华中师范大学第一附属中学高一上期中)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-20的解集为 (　　)
A.x|-121
C.x|-112
15.(2021浙江台州七校联盟高一上联考)关于x的不等式x2-mx+1>0的解集为R,则实数m的取值范围是 (　　)
A.{m|02}
C.{m|-2≤m≤2} D.{m|-216.(2020湖南长沙雅礼中学10月检测)若二次函数y=x2-(2k+1)x+k2+1的图象与x轴的两个交点分别为(x1,0),(x2,0),且x1,x2都大于1.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若x1x2 = 12,求k的值.
题组四　一元二次不等式的实际应用
17.将进货价为每个80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,每涨价1元,销售量就减少20个,为了使商家利润有所增加,则售价a(元/个)的取值范围应是(　　)
A.90C.10018.某商家一月份至五月份的累计销售额达3 860万元,预测六月份的销售额为500万元,七月份的销售额比六月份增长x%,八月份的销售额比七月份增长x%,九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等.若一月份至十月份的销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是　　　　.?
19.现要规划一块长方形绿地,且长方形绿地的长与宽的差为30米.若使长方形绿地的面积不小于4 000平方米,则这块绿地的长与宽至少应为多少米?
20.一个小型服装厂生产某种风衣,月产量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160-2x,生产x件的成本R=(500+30x)元.
(1)该厂的月产量为多少时,每月获得的利润不少于1 300元?
(2)当月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元?
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题组一　三个“二次”的综合应用
1.(2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末,)已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,则实数a的取值范围是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a|-2≤a≤65 B.a|-2≤a<65
C.a|-652.(多选)(2020北京朝阳高一期中,)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为x<-2或x>3,则 (　　)
A.a>0
B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}
C.a+b+c>0
D.不等式cx2-bx+a<0的解集为x|x<-13或x>12
3.(2021安徽合肥第一中学高一上段考,)已知函数y=x2+ax+b(a,b∈R)的最小值为0,若关于x的不等式x2+ax+bA.9 B.8 C.6 D.4
4.(2021北京大学附属中学高一上月考,)关于x的不等式(ax-1)2A.-32B.-32C.-32≤a<-43或43D.-32≤a<-43或43≤a<32
5.(2021上海华东师范大学第二附属中学高一上月考,)已知关于x的不等式-16.(2021清华大学附属中学高一上月考,)已知集合A={x|x2-2x+a≥0},B={x|x2-2x+a+1<0},若A∪B=R,则实数a的取值范围为　　　　.?
7.(2020山西大同中学高二月考,)已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0).
(1)若不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},求k的值;
(2)若不等式的解集为x|x≠-1k,求k的值;
(3)若不等式的解集是R,求k的取值范围;
(4)若不等式的解集是?,求k的取值范围.
(2020山东济南历城二中10月月考,)已知关于x的不等式x2-2mx+m+2≤0(m∈R)的解集
为M.
(1)当M为空集时,求实数m的取值范围;
(2)在(1)的条件下,求m2+2m+5m+1的最小值;
(3)当M不为空集,且M?{x|1≤x≤4}时,求实数m的取值范围.
题组二　一元二次不等式的恒(能)成立问题
9.(2020河南郑州高二期末,)已知不等式-2x2+bx+c>0的解集是{x|-1A.{t|t≤2} B.{t|t≤-2} C.{t|t≤-4} D.{t|t≤4}
10.()若关于x的不等式x2-4x-2-a≥0在x∈{x|1≤x≤4}时有解,则实数a的取值范围是 (　　)
A.{a|a≤-2} B.{a|a≥-2} C.{a|a≥-6} D.{a|a≤-6}
11.()若不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为　　　　.?
答案全解全析
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1.C　易得方程x2+5x=0的两根分别为-5,0,由函数y=x2+5x的图象(图略)知,
不等式x2+5x>0的解集为{x|x<-5或x>0}.
故选C.
2.A　由x2-5x-6>0得(x-6)(x+1)>0,解得x>6或x<-1,
∴原不等式的解集为{x|x<-1或x>6}.
故选A.
3.B　∵x(x+2)<3,∴x2+2x-3<0,即(x+3)·(x-1)<0,解得-3∴原不等式的解集是{x|-34.答案　{x|0≤x≤4}
解析　由(x-2)2≤4,得-2≤x-2≤2,解得0≤x≤4,
∴原不等式的解集为{x|0≤x≤4}.
5.答案　x|-12解析　由6+11x-2x2>0得2x2-11x-6<0,即(x-6)(2x+1)<0,解得-12∴原不等式的解集为x|-126.解析　(1)由-2x2+3x-12≤0,可得4x2-6x+1≥0,
解得x≤3-54或x≥3+54,
∴原不等式的解集为xx≤3-54或x≥3+54.
(2)由5x+3x-1≤3,移项得5x+3x-1-3≤0,通分得2x+6x-1≤0,
等价于(2x+6)(x-1)≤0,x-1≠0,解得-3≤x<1,
∴原不等式的解集为{x|-3≤x<1}.
7.A　由ax2-(2+a)x+2>0,得(x-1)(ax-2)>0.
∵a>2,∴0<2a<1,
∴原不等式的解集为x|x<2a或x>1.
故选A.
8.B　当a>0时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x-a)(x+1)>0,解得x>a或x<-1;
当a=0时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为0>0,此时不等式无解;
当-10可化为(x-a)(x+1)<0,解得-1当a=-1时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x+1)2<0,此时不等式无解;
当a<-1时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x-a)(x+1)<0,解得a故A、C、D都有可能,B不可能.
故选B.
9.解析　不等式x2-(a+1)x+a≥0可化为(x-a)(x-1)≥0.
当a<1时,解得x≤a或x≥1;
当a=1时,解得x∈R;
当a>1时,解得x≤1或x≥a.
综上,当a<1时,不等式的解集是{x|x≤a或x≥1};
当a=1时,不等式的解集为R;
当a>1时,不等式的解集是{x|x≤1或x≥a}.
10.解析　(1)当a=2时,原不等式可化为x2-5x+6≤0,得(x-3)(x-2)≤0,解得2≤x≤3,所以A={x|2≤x≤3}.又因为B={x|-2(2)由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0得(x-a)·(x-a-1)≤0,则A={x|a≤x≤a+1},
因为A∩B=?,所以a+1≤-2或a≥2,即a≤-3或a≥2.
11.B　易得x2+ax+b=0的两个根分别为2,3,故-a=2+3=5,b=2×3=6,故a=-5,a+b=1.故选B.
12.B　由题图知y>0的解集为{x|-113.B　∵关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集,
∴函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方,与x轴没有交点,
∴函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,且方程ax2+bx+c=0没有实数根,
∴a>0,Δ<0.
故选B.
14.D　∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2∴函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,故a<0,且-2和1是方程ax2+bx+c=0的两根,
∴-2+1=-ba,-2×1=ca,即c=-2a,b=a.
不等式cx2-ax+b>0可化为-2ax2-ax+a>0.
∵a<0,∴整理得2x2+x-1>0,即(2x-1)(x+1)>0,
解得x>12或x<-1,
∴不等式cx2-ax+b>0的解集为x|x<-1或x>12.
故选D.
15.D　∵不等式x2-mx+1>0的解集为R,
∴函数y=x2-mx+1的图象在x轴上方,
∴方程x2-mx+1=0无实数解,∴Δ<0,即m2-4<0,解得-2∴实数m的取值范围是{m|-2故选D.
16.解析　(1)由题意可知,x1,x2是关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0的两个实数根,
∴x1+x2=2k+1,x1x2=k2+1.
又x1>1,x2>1,
∴Δ=[-(2k+1)]2-4(k2+1)>0,x1+x2>2,(x1-1)(x2-1)>0,
可得k>34,且k≠1.
∴实数k的取值范围是kk>34且k≠1.
(2)由x1+x2=2k+1,x1x2=12得x1=2k+13,x2=4k+23,
∴x1x2=2k+13·4k+23=k2+1,
即k2-8k+7=0,解得k1=7,k2=1(舍去).
∴k的值为7.
17.A　设每个涨价x元,涨价后的利润与原利润之差为y元,则a=x+90,y=(10+x)·(400-20x)-10×400=-20x2+200x.要使商家利润有所增加,则必须使y>0,即x2-10x<0,得018.答案　20
解析　由题意得3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x≥20,即x的最小值为20.
19.解析　设长方形绿地的长与宽分别为a米与b米.由题意可得a-b=30①,ab≥4 000②,
由①②可得b2+30b-4 000≥0,即(b+15)2≥4 225,
解得b+15≥65或b+15≤-65(舍去),所以b≥50,
所以b至少为50,则a至少为80,
所以这块绿地的长至少为80米,宽至少为50米.
20.解析　(1)设该厂的月获利为y元,依题意得y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500.
令y≥1 300,即-2x2+130x-500≥1 300,
∴x2-65x+900≤0,解得20≤x≤45.
∴当月产量在20件至45件(包括20件和45件)之间时,月获利不少于1 300元.
(2)由(1)知y=-2x2+130x-500
=-2x-6522+1 612.5.
∵x为正整数,∴当x=32或x=33时,y取得最大值1 612,
∴当月产量为32件或33件时,可获得最大利润1 612元.
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1.C　若a2-4=0,则a=±2.当a=2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0化为-1≥0,其解集为空集,因此a=2满足题意;
当a=-2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0化为-4x-1≥0,即x≤-14,其解集不为空集,因此a=-2不满足题意,应舍去.
若a2-4≠0,则a≠±2.
∵关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,
∴a2-4<0,Δ=(a-2)2+4(a2-4)<0,
解得-65综上,a的取值范围是a|-65故选C.
2.ABD　∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为x<-2或x>3,∴a>0,A正确;易知-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根,∴-2+3=-ba,-2×3=ca,则b=-a,c=-6a,则a+b+c=-6a<0,C错误;
不等式bx+c>0即-ax-6a>0,即x+6<0,解得x<-6,B正确;
不等式cx2-bx+a<0即-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1>0,解得x<-13或x>12,D正确.故选ABD.
3.D　∵函数y=x2+ax+b(a,b∈R)的最小值为0,
∴Δ=a2-4b=0,∴b=a24,
∴函数y=x2+ax+b=x+a22,其图象的对称轴为直线x=-a2,
∵不等式x2+ax+b∴方程x2+ax+a24-c=0的根为m,m+4,
∴m+m+4=-a,解得m=-a-42,
∴c=m+a22=4.
故选D.
4.B　不等式(ax-1)2∴(a+1)(a-1)>0,解得a>1或a<-1.
当a>1时,不等式的解集为x|1a+1∵1a+1∈0,12,∴2个整数解为1,2,
∴2<1a-1≤3,即2a-2<1≤3a-3,解得43≤a<32;
当a<-1时,不等式的解集为x|1a+1∵1a-1∈-12,0,∴2个整数解为-1,-2,
∴-3≤1a+1<-2,即-2(a+1)<1≤-3(a+1),解得-32综上所述,实数a的取值范围是-32故选B.
5.答案　{2}
解析　∵-1化简得(a2-1)xx+2a+2a2-1<0,
∵不等式的解集是{x|-2∴a2-1>0且-2a+2a2-1=-2,解得a=2或a=-1(舍去).
故答案为{2}.
6.答案　a≥1
解析　函数y=x2-2x+a的图象向上平移1个单位即为函数y=x2-2x+a+1的图象,
当函数y=x2-2x+a的图象与x轴有两个交点时,如图,
由图可知,A={x|x≤m或x≥d},B={x|b此时A∪B≠R,
∴函数y=x2-2x+a的图象与x轴最多有一个交点,
∴Δ=4-4a≤0,解得a≥1.
故答案为a≥1.
7.解析　(1)由不等式的解集为{x|x<-3或x>-2}可知k<0,且x=-3与x=-2是方程kx2-2x+6k=0的两根,
∴(-3)+(-2)=2k,解得k=-25.
(2)由不等式的解集为x|x≠-1k可知k<0,Δ=4-24k2=0,解得k=-66.
(3)依题意知k<0,Δ=4-24k2<0,解得k<-66.
(4)依题意知k>0,Δ=4-24k2≤0,解得k≥66.
8.解析　(1)∵M为空集,
∴Δ=4m2-4(m+2)<0,即m2-m-2<0,解得-1∴实数m的取值范围为{m|-1(2)由(1)知-1∴m2+2m+5m+1=(m+1)2+4m+1=(m+1)+4m+1≥2(m+1)·4m+1=4,
当且仅当m+1=4m+1,即m=1时等号成立.
∴m2+2m+5m+1的最小值为4.
(3)设函数y=x2-2mx+m+2,结合其图象可知,
当M不为空集时,由M?{x|1≤x≤4},得
Δ=4m2-4(m+2)≥0,12-2m+m+2≥0,42-8m+m+2≥0,1≤m≤4,
解得2≤m≤187.
综上,实数m的取值范围为m|2≤m≤187.
9.B　由题意知-1和3是关于x的方程-2x2+bx+c=0的两个实数根,则-2-b+c=0,-18+3b+c=0,
解得b=4,c=6,则-2x2+bx+c=-2x2+4x+6.
由-2x2+bx+c+t≤4得t≤2x2-4x-2.当-1≤x≤0时,-2≤2x2-4x-2≤4,则t≤-2.
10.A　不等式x2-4x-2-a≥0在x∈{x|1≤x≤4}时有解等价于1≤x≤4时,a≤(x2-4x-2)max.
当1≤x≤4时,-6≤x2-4x-2≤-2,所以a≤-2.故选A.
11.答案　{λ|-8≤λ≤4}
解析　因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0对任意的a,b∈R恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0对任意的a,b∈R恒成立,将其看作关于a的一元二次不等式,可得Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,所以λ2+4λ-32≤0,解得-8≤λ≤4.