3.1.1函数的概念 同步练习2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册第三章（Word含答解析）

第三章　函数的概念与性质
3.1　函数的概念及其表示
3.1.1　函数的概念
刷新题夯基础
题组一　函数的概念及其表示　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.函数y=f(x)的图象与直线x=a(a∈R)的交点 (　　)
A.至多有一个 B.至少有一个
C.有且仅有一个 D.有两个以上
2.下列各图中,可表示函数y=f(x)的图象的是 (　　)
3.(2021北京交大附中高一上期中)下面四组函数中, f(x)与g(x)表示同一个函数的是 (　　)
A. f(x)=x2-1x+1,g(x)=x-1
B. f(x)=|x|,g(x)=x,x≥0-x,x<0
C. f(x)=x2,g(x)=(x)2
D. f(x)=x0,g(x)=1
题组二　函数的定义域与区间表示
4.(2020北京西城高一上期末)函数y=x+1x-1的定义域是(　　)
A.[0,1) B.(1,+∞)
C.(0,1)∪(1,+∞) D.[0,1)∪(1,+∞)
5.(2020河南洛阳一高高一上月考)函数f(x)=11-2x 的定义域为M,g(x)=x+1 的定义域为N,则M∩N=(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.[-1,+∞) B. -1,12
C. -1,12 D. -∞,12
6.若周长为定值a的矩形,它的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是 (　　)
A.(a,+∞) B.a2,+∞ C.a2,a D.0,a2
题组三　函数值及函数的值域
7.(2021北京八中高一上期中)若f(x)=1-x1+x,则f(0)= (　　)
A.1 B.12 C.0 D.-1
8.(2021河北张家口一中高一上期中)若集合A={x|y=x-1},B={y|y=x-1},则 (　　)
A.A=B B.A∩B=? C.A∩B=A D.A∪B=A
9.(2019浙江温州十校高一上期末)已知函数f(x)=1x2+2,则f(x)的值域是 (　　)
A.-∞,12 B.12,+∞ C.0,12 D.(0,+∞)
10.(2020北京丰台高一上期中联考)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的值域为　　　　. ?
11.(2021北京房山高一上期中)已知函数f(x)=x+1+1x,则f(x)的定义域是　　　　, f(1)=　　　　.?
12.已知函数f(x)=x2+x-1.
(1)求f(2), f 1x;
(2)若f(x)=5,求x的值.
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题组一　函数的概念及其应用　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(2021北京丰台高一上期中,)在下列四组函数中,表示同一个函数的是 (　　)
A.y=1,y=xx B.y=x-1·x+1,y=x2-1
C.y=x,y=3x3 D.y=|x|,y=(x)2
2.(多选)(2021浙江杭州高级中学高一上期中,)下列对应关系f,能构成从集合M到集合N的函数的是 (　　)
A.M=12,1,32,N={-6,-3,1}, f12=-6, f(1)=-3, f32=1
B.M=N={x|x≥-1}, f(x)=2x+1
C.M=N={1,2,3}, f(x)=2x+1
D.M=Z,N={-1,1}, f(x)=-1,x为奇数1,x为偶数
3.(2020黑龙江哈三中高一上第一次阶段性验收,)若集合A={0,1,3,m},B={1,4,a4,a2+3a},其中m∈N*,a∈N*, f:x→y=3x+1,x∈A,y∈B是从定义域A到值域B的一个函数,则m+a=　　　　.?
题组二　函数的定义域与区间表示
4.(2019山东泰安一中高一上检测,)函数 f(x)=x-3|x+1|-5的定义域为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[3,+∞) B.[3,4)∪(4,+∞) C.(3,+∞) D.[3,4)
5.(2020河南南阳一中高一上月考,)已知函数f(x-2)的定义域为[0,2],则函数f(2x-1)的定义域为(　　)
A.[-2,0] B.[-1,3] C.32,52 D.-12,12
6.(2020吉林长春第二中学高一期中,)已知f(x)的定义域为[-2,2],且函数g(x)=f(x-1)2x+1,则g(x)的定义域为 (　　)
A.-12,3 B.(-1,+∞)
C.-12,0∪(0,3) D.-12,3
7.(2020甘肃兰州一中高一月考,)若函数f(x)=xmx2-mx+2的定义域为R,则实数m的取值范围是 (　　)
A.[0,8) B.(8,+∞) C.(0,8) D.(-∞,0)∪(8,+∞)
8.()已知函数y=ax+1(a<0,且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a的取值范围.
题组三　函数值及函数的值域
9.()已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),且f(1)=2,则f(-3)等于 (　　)
A.2 B.3 C.6 D.9
10.(多选)()下列函数中,满足f(2x)=2f(x)的是 (　　)
A. f(x)=x-|x| B. f(x)=x+1 C. f(x)=-x D. f(x)=x2
11.(多选)()若一系列函数的解析式和值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,例如函数y=x2,x∈[1,2]与函数y=x2,x∈[-2,-1]为“同族函数”,下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是 (　　)
A. f(x)=1x2 B. f(x)=|x| C. f(x)=1x D. f(x)=|x-1|
12.(2019湖南长沙长郡中学高一上第一次模块检测,)函数y=2--x2+4x的值域是　　　　.?
13.(2021浙江杭州高级中学高一上期中,)求下列两个函数的值域.
(1)y=2x2-x+1x2-x+1;(2)y=x+2x+1.
答案全解全析
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1.A　由函数的定义可知,若函数y=f(x)在x=a处有意义,则函数图象与直线x=a有一个交点;若函数y=f(x)在x=a处无意义,则函数图象与直线x=a没有交点,故函数图象与直线x=a至多有一个交点.
2.D　由函数的定义可知,对定义域内的任意一个变量x,都存在唯一确定的函数值y与之对应.A中,当x=0时,有两个y与x对应;B中,当x>0时,有两个y与x对应;C中,当x=0时,有两个y与x对应;D中,对任意x都只有唯一确定的y与之对应.故选D.
3.B　选项A中两个函数定义域不同,前者是{x|x≠-1},后者是全体实数,故不是同一个函数;选项C中两个函数定义域不同,前者是全体实数,后者是非负数,故不是同一个函数;选项D中两个函数定义域不同,前者是{x|x≠0},后者是全体实数,故不是同一个函数;选项B中两个函数的定义域和对应关系都相同,是同一个函数.故选B.
4.D　依题意,x≥0,x-1≠0,解得x≥0且x≠1,即函数的定义域为[0,1)∪(1,+∞),故选D.
5.B　要使函数f(x)=11-2x有意义,则1-2x>0,解得x<12,所以M=x|x<12,
要使函数g(x)=x+1有意义,则x+1≥0,解得x≥-1,所以N={x|x≥-1},
因此M∩N=x|-1≤x<12,故选B.
6.D　依题意知,矩形的一边长为x,则该边的邻边长为a-2x2=a2-x,由x>0,a2-x>0得07.A　∵f(x)=1-x1+x,∴f(0)=1-01+0=1.故选A.
8.C　由x-1≥0得x≥1,∴A={x|y=x-1}=[1,+∞).由x-1≥0得x-1≥0,∴B={y|y=x-1}=[0,+∞).故A?B,从而A∩B=A,故选C.
9.C　由于x2≥0,所以x2+2≥2,所以0<1x2+2≤12,故选C.
10.答案　[-4,3]
解析　由题图易知函数的值域为[-4,3].
11.答案　[-1,0)∪(0,+∞);2+1
解析　由题意得,x+1≥0,x≠0,解得x≥-1且x≠0,
所以f(x)的定义域是[-1,0)∪(0,+∞).
f(1)=1+1+11=2+1.
12.解析　(1)f(2)=22+2-1=5,
f1x=1x2+1x-1=1+x-x2x2.
(2)∵f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0,解得x=2或x=-3.
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1.C　函数y=1的定义域为R,而函数y=xx的定义域为{x|x≠0},这两个函数的定义域不同,故不是同一个函数,故排除A;函数y=x-1·x+1的定义域为{x|x≥1},而函数y=x2-1的定义域为{x|x≥1或x≤-1},这两个函数的定义域不同,故不是同一个函数,故排除B;函数y=x与函数y=3x3=x具有相同的定义域、对应关系,故是同一个函数,C正确;函数y=|x|的定义域为R,而函数y=(x)2 的定义域为{x|x≥0},这两个函数的定义域不同,故不是同一个函数,故排除D.故选C.
解题模板　判断两个函数是不是同一个函数,要观察两个方面,一是两个函数的定义域是否相同,二是两个函数的对应关系是否相同.
2.ABD　由函数的定义知,A正确;B中,任取x∈M,都有x≥-1,从而2x+1≥-1,因此集合M中的每一个元素在集合N中都有唯一的元素与之对应,故B正确;
C中,取x=3∈M, f(x)=2×3+1=7?N,故C不正确;D中,M=Z,N={-1,1},当x为奇数时, f(x)=-1,当x为偶数时, f(x)=1,满足函数的定义,故D正确.故选ABD.
3.答案　7
解析　∵A={0,1,3,m},B={1,4,a4,a2+3a},m∈N*,a∈N*, f:x→y=3x+1,
∴f(0)=1, f(1)=4, f(3)=10, f(m)=3m+1.
当a4=10时,a=±410,不满足a∈N*,
当a2+3a=10时,a=2或a=-5(舍去),故a=2.
因此f(m)=3m+1=a4=16,∴m=5,
从而m+a=7,故答案为7.
4.B　要使函数f(x)有意义,需满足x-3≥0,|x+1|-5≠0,即x≥3,x≠4且x≠-6.
因此函数f(x)的定义域为{x|x≥3,且x≠4}.故选B.
5.D　∵函数f(x-2)的定义域为[0,2],即0≤x≤2,∴-2≤x-2≤0,
即函数f(x)的定义域为[-2,0].
则-2≤2x-1≤0,∴-12≤x≤12.
故函数f(2x-1)的定义域为-12,12.故选D.
6.A　要使函数g(x)=f(x-1)2x+1有意义,需满足-2≤x-1≤2,2x+1>0,即-1≤x≤3,x>-12,
∴-127.A　∵函数f(x)的定义域为R,∴不等式mx2-mx+2>0的解集为R.
①当m=0时,2>0恒成立,满足题意;
②当m≠0时,则m>0,Δ=m2-8m<0,解得0综上可得,实数m的取值范围是[0,8).
故选A.
8.解析　要使函数y=ax+1(a<0,且a为常数)有意义,需满足ax+1≥0.
又∵a<0,∴x≤-1a,∴函数y=ax+1(a<0,且a为常数)的定义域为-∞,-1a.
∵函数y=ax+1(a<0,且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,
∴(-∞,1]?-∞,-1a,
∴-1a≥1,∴-1≤a<0.
故实数a的取值范围是[-1,0).
9.C　解法一:定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),
令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+0,
解得f(0)=0;
令x=1,y=-1,得f(0)=f(1)+f(-1)-2,
解得f(-1)=0;
令x=y=-1,得f(-2)=f(-1)+f(-1)+2=2;
令x=-2,y=-1,得f(-3)=f(-2)+f(-1)+4=6.
解法二:因为f(1)=2,所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=6,
所以f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+2×1×2=12.
令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+0,即f(0)=0,所以f(0)=f[3+(-3)]=f(3)+f(-3)+2×3×(-3)=0,所以f(-3)=6.
10.AC　在A中, f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x),满足f(2x)=2f(x),选项A正确;
在B中, f(2x)=2x+1,2f(x)=2(x+1)=2x+2,不满足f(2x)=2f(x),选项B错误;
在C中, f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x),满足f(2x)=2f(x),选项C正确;
在D中, f(2x)=(2x)2=4x2,2f(x)=2x2,不满足f(2x)=2f(x),选项D错误.
故选AC.
11.ABD　在选项A中,当x∈(-1,0)和x∈(0,1)时, f(x)=1x2的值域都是(1,+∞),所以可构造“同族函数”,A正确;在选项B中,当x∈(-1,0)和x∈(0,1)时, f(x)=|x|的值域都是(0,1),所以可构造“同族函数”,B正确;
在选项C中,对任意x1≠x2,都有1x1≠1x2,因此定义域不同时函数的值域一定不相同,故不可能成为“同族函数”,所以C错误;在选项D中,当x∈[0,1]和x∈[1,2]时, f(x)=|x-1|的值域都是[0,1],所以可构造“同族函数”,D正确.故选ABD.
12.答案　[0,2]
解析　∵-x2+4x=-(x-2)2+4≤4,且-x2+4x≥0,∴0≤-x2+4x≤4,∴0≤-x2+4x≤2,∴-2≤--x2+4x≤0,∴0≤2--x2+4x≤2,故函数y=2--x2+4x的值域是[0,2].
13.解析　(1)易知函数的定义域为R.
由y=2x2-x+1x2-x+1得(y-2)x2-(y-1)x+y-1=0,
当y=2时,x=1,故y=2是值域中的值;
当y≠2时,Δ=[-(y-1)]2-4×(y-2)(y-1)≥0,
化简得(y-1)(3y-7)≤0,解得1≤y≤73.
故函数y=2x2-x+1x2-x+1的值域为1,73.
(2)令t=2x+1,则t≥0,x=t2-12,
则y=t2-12+t=12(t2+2t)-12=12(t+1)2-1(t≥0).
由函数y=12(t+1)2-1(t≥0)得y≥-12,
故函数y=x+2x+1的值域为-12,+∞.
解题模板　二次分式函数的值域的求法——判别式法:将二次分式函数去分母后,构成一个关于x的一元二次方程,依题意此方程有实数解,从而使其判别式非负.解题时还要注意两点:一是分母为0的x的值要单独考虑,二是x的二次项系数为0要单独考虑.