黑龙江省安达市重点高中2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷（word解析版）

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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
黑龙江省安达市重点高中2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷
一、选择题
1.已知集合
，
，则
（???
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
2.若角
的终边经过点
，则
等于(??
)
A.?-5?????????????????????????????????????????B.?5?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
3.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（???）
A.?y=lnx?????????????????????????????B.??????????????????????????????C.?y=sinx????????????????????????????????D.?y=cosx
4.函数
的定义域是（???
）
A.????????????????B.????????????????C.????????????????D.?
5.已知函数
，则
（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
6.已知
，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
7.已知正项等比数列
的前n和为
，若
，则
（???
）
A.?8???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?8或
???????????????????????????????????????D.?1或8
8.在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治，地理，化学，生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中的概率是(??
)
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
9.设函数
的最小正周期为
.且过点
.则下列说法正确的是（???
）
A.?
B.?
在
上单调递增
C.?
的图象关于点
对称
D.?把函数
向右平移
个单位得到
的解析式是
10.若直线
被圆
截得弦长为
，则
的最小值是（
??）
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
11.若函数
在R上单调递增，则实数a的取值范围是（???
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
12.已知函数
满足
，且对任意的
，都有
，又
，则满足不等式
的x的取值范围是（??
）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
?
二、填空题
13.已知向量
，
，若
//
，则
________.
14.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为
，则该圆锥的侧面积为________.
15.明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为________.
16.已知正四棱柱
的底面边长
，侧棱长
，它的外接球的球心为
，点
?是
的中点，点
是球
上的任意一点，有以下命题：
①
的长的最大值为9;
②三棱锥
的体积的最大值是
;
③存在过点
的平面，截球
的截面面积为
;
④三棱锥
的体积的最大值为20；其中是真命题的序号是________
三、解答题
17.记
为等差数列
的前n项和，已知
，
.
（1）求公差d及
的通项公式；
（2）求
，并求
的最小值.
18.
的内角
的对边分别为
，已知
.
（1）求B；
（2）若
，
的面积为
，求
的周长.
19.如图，在直三棱柱
中，
.
（1）求证：
平面
；
（2）若D为
的中点，求
与平面
所成角的正弦值.
20.在直角坐标系
中，直线l的参数方程为
（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
的极坐标方程为
.
（1）写出直线l的普通方程与曲线
的直角坐标方程；
（2）设点
.若直线l与曲线
相交于不同的两点
，求
的值.
21.直角坐标系
中，半圆
的参数方程为
?(
为参数，
?),以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求
的极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是
?，射线
与半圆
的交点为
，与直线l的交点为
，求线段
的长．
22.为了调查成年人体内某种自身免疫力指标，去年七月某医院从在本院体检中心体检的成年人群中随机抽取了100人，按其免疫力指标分成如下五组：
，
，
，
，
，其频率分布直方图如图1所示．今年某医药研究所研发了一种疫苗，对提高该免疫力有显著效果．经临床检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组，各组分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标y与疫苗注射量x个单位具有相关关系，样本数据的散点图如图2所示．
附：对于一组样本数据
，
，…
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计值分别为
，
．
（1）设去年七月该医院体检中心共接待5000名成年人体检，试估计这些体检人群中免疫力指标不低于30的人数，并说明理由；
（2）求体检中心抽取的100个人的免疫力指标平均值；
（3）由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定：自身免疫力指标较低的成年人注射疫苗后，其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的3倍．以体检中心抽取的100人作为普通人群的样本，据此估计，疫苗注射量不应超过多少个单位？
答案解析部分
黑龙江省安达市重点高中2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷
一、选择题
1.已知集合
，
，则
（???
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
【答案】
C
【考点】并集及其运算，一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：由x2≤4得-2≤x≤2，则B={x|-2≤x≤2}，
故A∪B={x|-5故答案为：C
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合并集求解即可
2.若角
的终边经过点
，则
等于(??
)
A.?-5?????????????????????????????????????????B.?5?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【考点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据正切函数的定义得
故答案为：A
【分析】根据正切函数的定义求解即可.
3.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（???）
A.?y=lnx?????????????????????????????B.??????????????????????????????C.?y=sinx????????????????????????????????D.?y=cosx
【答案】
D
【考点】函数奇偶性的判断，函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】选项A：y=lnx的定义域为故y=lnx不具备奇偶性，故A错误；选项B：是偶函数，但=0无解，即不存在零点，故B错误；选项C：y=sinx是奇函数，故C错；选项D：y=cosx是偶函数，且故D项正确。
【分析】在判断函数的奇偶性时，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再判断f(x0网与f(-x)的关系；在判断函数零点时，可分两种情况：①函数图象与X轴是否有交点；②令f(x)＝0是否有解；本题考查考生的综合分析能力。
4.函数
的定义域是（???
）
A.????????????????B.????????????????C.????????????????D.?
【答案】
B
【考点】函数的定义域及其求法，指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意得
，
解得
，
则-2故答案为：B
【分析】根据函数的定义域，结合指数不等式求解即可.
5.已知函数
，则
（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】
A
【考点】对数的运算性质，分段函数的应用
【解析】【解答】解：∵f(4)=f(4-3)=f(1)=log22=1
∴f(f(4))=f(1)=log22=1
故答案为：A
【分析】根据分段函数的定义，结合对数运算求解即可.
6.已知
，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【考点】二倍角的余弦公式，运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由题意得
则
故答案为：D
【分析】根据诱导公式，结合二倍角的余弦公式求解即可.
7.已知正项等比数列
的前n和为
，若
，则
（???
）
A.?8???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?8或
???????????????????????????????????????D.?1或8
【答案】
C
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则有：
①当q=1时，等比数列{an}为常数列，且an=2，则S3=6≠7，故q=1不合题意，
②当q≠1时，则
，
解得或则a4=8或
故答案为：C
【分析】根据等比数列的通项公式与前n项和公式求解即可.
8.在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治，地理，化学，生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中的概率是(??
)
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【考点】互斥事件与对立事件，古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】设
={两门至少有一门被选中},则
={两门都没被选中}，则?
包含1个基本事件,
则
.
故答案为：D.
【分析】根据古典概型，结合对立事件求解即可.
9.设函数
的最小正周期为
.且过点
.则下列说法正确的是（???
）
A.?
B.?
在
上单调递增
C.?
的图象关于点
对称
D.?把函数
向右平移
个单位得到
的解析式是
【答案】
D
【考点】函数的图象与图象变化，余弦函数的奇偶性与对称性，余弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由题意得
由得ω=2，
∴
又∵f(x)
过点?
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
，
故A错误，
∴
当x∈
?
时，2x∈
?，显然函数在?上单调递减，故B错误；
当时，
，
故C错误；
把函数向右平移个单位得
，
故D正确.
故答案为：D
【分析】根据的图象与性质，结合图象的平移求解即可.
10.若直线
被圆
截得弦长为
，则
的最小值是（
??）
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】圆
的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2
=4，
它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆；
设弦心距为d，由题意可得
22+d2=4，求得d=0，
可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，
即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得
=（
?）（a+b）=5+
≥5+2
当且仅当
=
时取等号，∴
的最小值是9．
故答案为：A．
【分析】写出圆的标准方程，根据弦长公式，得到a+b=1，采用常数代换的方法，结合基本不等式，即可求出相应的最小值.
11.若函数
在R上单调递增，则实数a的取值范围是（???
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【考点】函数的单调性及单调区间，分段函数的应用
【解析】【解答】解：∵
?在R上单调递增
∴
，
解得0故答案为：C
【分析】根据一次函数及对数函数型的复合函数的单调性求解即可.
12.已知函数
满足
，且对任意的
，都有
，又
，则满足不等式
的x的取值范围是（??
）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
?
【答案】
A
【考点】函数的单调性及单调区间，函数单调性的性质，奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：根据题意可知，可转化为
所以f(x)-2x在[0,
+∞)上是增函数，又f(-x)=-f(x),
所以f
(x)
-
2x为奇函数,
所以f(x)
-
2x在R上为增函数,
因为f(x-2020)>2(x-1011)，f(1)
=
2020,
所以f(x-2020)-2(x-2020)>
f(1)-2，
所以x-2020>1,
解得x
>
2021,
即x的取值范围是(2021,
+∞o).
故答案为：A.
【分析】根据函数的单调性，结合奇函数的性质求解即可.
二、填空题
13.已知向量
，
，若
//
，则
________.
【答案】
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意得(-2)×1-3m=0，解得
故答案为：
【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可.
14.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为
，则该圆锥的侧面积为________.
【答案】
39π
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】【解答】由题可得圆锥的体积
，可得
，故圆锥的母线
，所以圆锥的侧面积
【分析】根据圆锥的几何特征，结合圆锥的体积与侧面积公式求解即可.
15.明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为________.
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：设大圆面积为S1
，
小圆面积S2
，
则S1=πx42
=16π，S2=πx1=π,
可得黑色区域的面积为
所以落在黑色区域的概率为
故答案为：
【分析】根据几何概型的计算，结合圆的面积公式求解即可.
16.已知正四棱柱
的底面边长
，侧棱长
，它的外接球的球心为
，点
?是
的中点，点
是球
上的任意一点，有以下命题：
①
的长的最大值为9;
②三棱锥
的体积的最大值是
;
③存在过点
的平面，截球
的截面面积为
;
④三棱锥
的体积的最大值为20；其中是真命题的序号是________
【答案】
①④
【考点】球面距离及相关计算，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由题意可知球心在正四棱柱对角线的中点，直径为:?，
则半径是5，
①PE长的最大值是:
，
正确;
②P到平面EBC的距离最大值是
，
错误;
③球的大圆面积是25π，过E与球心连线垂直的平面是小圆，面积为9π，因而(3)是错误的；
④三棱锥P-AEC1体积的最大值是(h最大是半径)，正确.
故答案为：
①④
【分析】根据棱柱的几何特征，结合点到线与点到面的距离，以及棱锥的体积与外接球问题求解即可.
三、解答题
17.记
为等差数列
的前n项和，已知
，
.
（1）求公差d及
的通项公式；
（2）求
，并求
的最小值.
【答案】
（1）解：设
的公差为d，由题意得
.
由
得
.
所以
的通项公式为
（2）解：由（1）得
.
所以
时，
取得最小值，最小值为-16
【考点】二次函数在闭区间上的最值，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式求解即可；
（2）根据等差数列的前n项和公式，结合二次函数的最值问题求解即可.
18.
的内角
的对边分别为
，已知
.
（1）求B；
（2）若
，
的面积为
，求
的周长.
【答案】
（1）解：
，
由正弦定理得：
，
整理得：
，
∵在
中，
，∴
，
即
，∴
，即
（2）解：由余弦定理得：
，∴
，
∵
，
∴
，∴
，∴
，
∴
的周长为
【考点】两角和与差的正弦公式，正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式求解即可；
（2）根据余弦定理，结合三角形的面积与周长公式求解即可.
19.如图，在直三棱柱
中，
.
（1）求证：
平面
；
（2）若D为
的中点，求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】
（1）证明：由题意知四边形
是正方形，∴
.
由
平面
得
.
又∵
，∴
平面
.
又∵
平面
，∴
又∵
，∴
平面
（2）解：连接
,设
.
∵
平面
，∴
是
与平面
所成的角.在等腰直角三角形
中，D为斜边
的中点，∴
.
在
中，
.
∴
，即
与平面
所成角的正弦值为
【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的性质定理与判定定理求证即可；
（2）根据直线与平面所成角的定义，运用几何法求解即可.
20.在直角坐标系
中，直线l的参数方程为
（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
的极坐标方程为
.
（1）写出直线l的普通方程与曲线
的直角坐标方程；
（2）设点
.若直线l与曲线
相交于不同的两点
，求
的值.
【答案】
（1）解：由直线l的参数方程消去参数
，得直线l的普通方程为
，
又将曲线
的极坐标方程化为
，
曲线
的直角坐标方程为
（2）解：将直线l的参数方程代入
中，得
，
得
此方程的两根为直线l与曲线
的交点
对应的参数
，
，得
，
，
由直线参数的几何意义，知
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程，直线的参数方程
【解析】【分析】（1）根据参数方程与普通方程的互化，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化求解即可；
（2）根据直线的参数方程的几何意义求解即可
.
21.直角坐标系
中，半圆
的参数方程为
?(
为参数，
?),以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求
的极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是
?，射线
与半圆
的交点为
，与直线l的交点为
，求线段
的长．
【答案】
（1）解：半圆
的普通方程为
?,又
?,
所以半圆
的极坐标方程是
（2）解：设
为点
的极坐标，则有
?，解得
；????
设
为点
的极坐标，则有
，解得
由于
?，所以
?,所以线段
的长为4
【考点】简单曲线的极坐标方程，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）根据参数方程与普通方程的互化，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化求解即可；
（2）根据直线的极坐标方程的几何意义求解即可.
22.为了调查成年人体内某种自身免疫力指标，去年七月某医院从在本院体检中心体检的成年人群中随机抽取了100人，按其免疫力指标分成如下五组：
，
，
，
，
，其频率分布直方图如图1所示．今年某医药研究所研发了一种疫苗，对提高该免疫力有显著效果．经临床检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组，各组分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标y与疫苗注射量x个单位具有相关关系，样本数据的散点图如图2所示．
附：对于一组样本数据
，
，…
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计值分别为
，
．
（1）设去年七月该医院体检中心共接待5000名成年人体检，试估计这些体检人群中免疫力指标不低于30的人数，并说明理由；
（2）求体检中心抽取的100个人的免疫力指标平均值；
（3）由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定：自身免疫力指标较低的成年人注射疫苗后，其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的3倍．以体检中心抽取的100人作为普通人群的样本，据此估计，疫苗注射量不应超过多少个单位？
【答案】
（1）解：由频率分布直方图知，免疫力指标在
中的频率为
．
同理，在
，
，
，
中的频率分别为0.4，0.24，0.08，
0.02．故免疫力指标不低于30的频率为
．
由样本的频率分布，
可以估计这些体检人群中免疫力指标不低于30的人数为
（2）解：由直方图知，免疫力指标的平均值为
（3）解：由散点图知，5组样本数据
分别为
，
，
，
，
，
且x与y具有线性相关关系．因为
，
，
则
，
，
所以回归直线方程为
．由（2）知，免疫力指标的平均值为27．由
，得
，解得
．
据此估计，疫苗注射量不应超过80个单位．
【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数，线性回归方程，回归分析，回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可；
（2）根据平均数的解法，结合频率分布直方图求解即可；
（3）根据线性回归直线方程的解法与意义求解即可.