北京市密云区2020-2021学年高二下学期期末数学试卷(Word含答案解析）

2020-2021学年北京市密云区高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）如图所示，全集，，，则图中阴影部分表示的集合为　　
A．，
B．，
C．，
D．，
2．（4分）下列选项不正确的是　　
A．
B．
C．
D．
3．（4分）命题“对任意的，”的否定是　　
A．，
B．，
C．，
D．，
4．（4分）导函数的图象如图所示，在，，，中，使得函数取到极大值的是　　
A．
B．
C．
D．
5．（4分）的展开式中项的系数为　　
A．5
B．
C．10
D．
6．（4分）手机上有一款绘图软件，软件中提供了红、黄、绿三种基本颜色，每种颜色都有种色号，在手机上绘图时可以分别从三种颜色的所有色号中各选一个配成一种颜色，那么在手机上绘图时可配成的颜色种数为　　
A．
B．
C．
D．
7．（4分）若随机变量，，则　　
A．
B．
C．
D．
8．（4分）设，，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
9．（4分）以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系是　　
A．
B．
C．
D．
10．（4分）已知可导函数的导函数为，，若对任意的，都有，则不等式的解集为　　
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）已知的展开式的二项式系数之和为16，则　　；展开式的常数项是
　　．
12．（5分）甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件为“三个人去的景点各不相同”，
为“甲独自去一个景点”，则概率等于
　　．
13．（5分）能说明“若，，则”是假命题的一组，的值依次为
　　．
14．（5分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是　　．
15．（5分）已知，为正实数，直线与曲线相切，则与满足的关系式为
　　，的最小值为
　　．
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（14分）某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名参加赈灾医疗队．其中：
（Ⅰ）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
（Ⅱ）甲、乙均不能参加，有多少种选法？
（Ⅲ）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
（Ⅳ）队中至少有2名内科医生和1名外科医生，有几种选法？
17．（14分）已知关于的不等式的解集为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求函数的最小值．
18．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求在处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值；
（Ⅲ）写出函数的零点个数．
19．（13分）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，小于85分为非优秀统计成绩后，得到列联表如表所示：
优秀
非优秀
总计
甲班
10
乙班
30
总计
105
已知在甲、乙两班全部105人中，随机抽取1人为优秀的概率为．
（Ⅰ）请完成上面的列联表；
（Ⅱ）根据列联表的数据，能否在犯错误的概率不超的前提下认为“成绩与班级有关系”？
参考公式：．
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
20．（15分）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”．现在某社区随机抽取了24人用两种体温计进行体温检测，分别记智能体温计和水银体温计测温结果为和，得到数据如下：
序号
01
02
03
04
05
06
07
08
36.6
36.6
36.5
36.5
36.5
36.4
36.2
36.3
36.6
36.5
36.7
36.5
36.4
36.4
36.2
36.4
序号
09
10
11
12
13
14
15
16
36.6
36.3
36.3
36.5
36.4
36.4
36.3
36.3
36.6
36.4
36.2
36.5
36.4
36.4
36.4
36.3
序号
17
18
19
20
21
22
23
24
37.2
36.8
36.6
36.5
36.4
36.4
36.7
36.3
37.0
36.8
36.6
36.5
36.4
36.4
36.7
36.3
（Ⅰ）试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率；
（Ⅱ）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量为使用智能体温计“测温准确”的人数，求的分布列与数学期望；
（Ⅲ）医学上通常认为，人的体温在不低于且不高于时处于“低热”状态．该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．
21．（15分）已知函数，，．
（Ⅰ）证明：函数在，处的切线恒过定点；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意实数，当时，都有．
2020-2021学年北京市密云区高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）如图所示，全集，，，则图中阴影部分表示的集合为　　
A．，
B．，
C．，
D．，
【考点】图表达集合的关系及运算
【分析】先确定阴影部分对应的集合为，再根据集合运算的定义运算即可．
【解答】解：阴影部分表示的集合为，
又，，
，
，．
故选：．
【点评】本题集合的表示与运算，考查图的应用，属于基础题．
2．（4分）下列选项不正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【考点】导数的运算
【分析】根据基本初等函数的求导公式求导即可．
【解答】解：，．
故选：．
【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
3．（4分）命题“对任意的，”的否定是　　
A．，
B．，
C．，
D．，
【考点】命题的否定
【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，即可求解．
【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
可知命题“对任意的，”的否定是”
，
“．
故选：．
【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．
4．（4分）导函数的图象如图所示，在，，，中，使得函数取到极大值的是　　
A．
B．
C．
D．
【考点】利用导数研究函数的极值
【分析】利用函数的图象，结合函数的导数判断函数的极大值即可．
【解答】解：由函数的极大值的条件可知，在，，，中，，时，，函数是增函数，
，，，函数是减函数，
所以函数在时，函数取得极大值，
故选：．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的判断，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．
5．（4分）的展开式中项的系数为　　
A．5
B．
C．10
D．
【考点】二项式定理
【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于3，求出的值，即可求得展开式中项的系数．
【解答】解：的展开式的通项公式为，
令，求得，可得展开中项的系数为，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
6．（4分）手机上有一款绘图软件，软件中提供了红、黄、绿三种基本颜色，每种颜色都有种色号，在手机上绘图时可以分别从三种颜色的所有色号中各选一个配成一种颜色，那么在手机上绘图时可配成的颜色种数为　　
A．
B．
C．
D．
【考点】排列、组合及简单计数问题
【分析】根据题意，分析可得每种颜色有256种色号，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，红、黄、绿三种基本颜色有种色号，即每种颜色有256种色号，
从三种颜色的所有色号中各选一个配成一种颜色，则可以配成种颜色，
故选：．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意分步、分类计数原理的区别，属于基础题．
7．（4分）若随机变量，，则　　
A．
B．
C．
D．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【分析】利用正态分布曲线的对称性求解即可．
【解答】解：因为随机变量，
所以正态曲线的对称轴为，
所以，
则．
故选：．
【点评】本题考查了正态分布的理解和应用，正态分布曲线的对称性的运用，考查了数据分析能力与运算能力，属于基础题．
8．（4分）设，，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件
【分析】由不等式的性质结合充分必要条件的判定得答案．
【解答】解：由，得，即，由，得，则，
“”是“”的充分不必要条件，
故选：．
【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查不等式的性质，是基础题．
9．（4分）以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系是　　
A．
B．
C．
D．
【考点】相关系数
【分析】利用散点图，然后由相关系数的正负以及散点的集中程度进行分析，即可判断得到答案．
【解答】解：由散点图的特征可知，（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关，
所以，，，，
又（1）（2）中的散点更为集中，更接近于一条直线，故，，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了相关系数的理解与应用，当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关；，且越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小．属于基础题．
10．（4分）已知可导函数的导函数为，，若对任意的，都有，则不等式的解集为　　
A．
B．
C．
D．
【考点】利用导数研究函数的单调性
【分析】依题意，构造函数，可得，利用导数可得在上单调递增，再由解不等式即可．
【解答】解：令，
对任意的，都有，
，
在上单调递增，又，，
，，
不等式的解集．
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了转化思想与运算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）已知的展开式的二项式系数之和为16，则　4　；展开式的常数项是
　　．
【考点】二项式定理
【分析】由题意利用二项式系数的性质求得，再利用通项公式，求出展开式的常数项．
【解答】解：的展开式的二项式系数之和为，则．
根据它的通项公式，令，可得展开式的常数项是16，
故答案为：4；16．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
12．（5分）甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件为“三个人去的景点各不相同”，
为“甲独自去一个景点”，则概率等于
　　．
【考点】条件概率与独立事件
【分析】利用分步计数原理以及条件概率的计算公式求解即可．
【解答】解：甲独自去一个景点，可有3个景点选择，乙和丙只能在剩下的两个景点中选择，
所以甲独自去一个景点有种，
因为三个人去的景点不同，则有种，
所以概率．
故答案为：．
【点评】本题考查了条件概率的求解，分步计数原理的应用，解题的关键是掌握条件概率的计算公式，属于基础题．
13．（5分）能说明“若，，则”是假命题的一组，的值依次为
　，　．
【考点】命题的真假判断与应用
【分析】直接利用赋值法和不等式的性质的应用求出结果．
【解答】解：当，时，，
与“若，，则”是假命题矛盾，
故，，
故答案为：，．
【点评】本题考查的知识要点：赋值法的应用，不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
14．（5分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是　0.8　．
【考点】等可能事件和等可能事件的概率
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4名男生和2名女生中任选3人，满足条件的事件是3人中至少有1名女生，包括有1个女生，有2个女生，用组合数写出事件数，得到结果．
【解答】解：由题意知，本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从4名男生和2名女生中任选3人，共有种结果，
满足条件的事件是3人中至少有1名女生，包括有1个女生，有2个女生，
共有种结果，
根据等可能事件的概率公式得到．
故答案为：0.8
【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，在解题时，注意题目中所说的至少有一名女生的说法，女生总数是2个，至少有一个就包含两种情况，做到不重不漏．
15．（5分）已知，为正实数，直线与曲线相切，则与满足的关系式为
　　，的最小值为
　　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【分析】求出原函数的导函数，结合在切点处的斜率值是2求出切点，得到切线方程，求得，然后利用基本不等式求的最小值．
【解答】解：由，得，
因此曲线在切点处的切线的斜率等于2，
，即，此时．
则切点为，，
相应的切线方程为，
则，．
又，，．
当且仅当时上式等号成立．
故答案为：；．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（14分）某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名参加赈灾医疗队．其中：
（Ⅰ）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
（Ⅱ）甲、乙均不能参加，有多少种选法？
（Ⅲ）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
（Ⅳ）队中至少有2名内科医生和1名外科医生，有几种选法？
【考点】排列、组合及简单计数问题
【分析】（Ⅰ）根据题意，分析可得在剩下的7人中再选3人即可，由组合数公式计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，分析可得在剩下的7人中选5人即可，由组合数公式计算可得答案；
（Ⅲ）根据题意，用间接法分析：先计算“在9人中选出5人”的选法，排除其中“甲、乙均不能参加”的选法，计算可得答案；
（Ⅳ）根据题意，分3种情况讨论：①队中有2名内科医生和3名外科医生，②队中有3名内科医生和2名外科医生，③队中有4名内科医生和1名外科医生，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，
在剩下的7人中再选3人即可，有种选法；
（Ⅱ）甲、乙均不能参加，在剩下的7人中选5人即可，有种选法；
（Ⅲ）在9人中选出5人，有种选法，甲、乙均不能参加的选法有21种，
则甲、乙两人至少有一人参加的选法有种；
（Ⅳ）分3种情况讨论：
①队中有2名内科医生和3名外科医生，有种选法，
②队中有3名内科医生和2名外科医生，有种选法，
③队中有4名内科医生和1名外科医生，有种选法，
则有种不同的选法．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
17．（14分）已知关于的不等式的解集为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求函数的最小值．
【考点】函数的最值及其几何意义；一元二次不等式及其应用
【分析】（Ⅰ）由方程与不等式的关系知2，是方程的解，从而由韦达定理求解．
（Ⅱ）化简，从而利用基本不等式求解．
【解答】解：（Ⅰ）关于的不等式的解集为，
，，
解得，，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
（当且仅当，即时，等号成立），
故的最小值为20．
【点评】本题考查了方程与不等式的关系，同时考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．
18．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求在处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值；
（Ⅲ）写出函数的零点个数．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求出切线的斜率，求出切点坐标，由点斜式即可得到切线方程；
（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性，结合区间端点的函数值，比较即可得到最值；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的单调性，结合零点的存在性定理进行分析求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）函数，
则，所以（1），（1），
故切点为，切线的斜率为1，
所以在处的切线方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
令，解得，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
又，，（1），
故在上的最大值为和最小值为；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，
又当时，，，即，
所以，
故函数的零点个数为1个．
【点评】本题考查了导数几何意义的应用，利用导数求解函数的最值，函数零点问题的研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
19．（13分）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，小于85分为非优秀统计成绩后，得到列联表如表所示：
优秀
非优秀
总计
甲班
10
乙班
30
总计
105
已知在甲、乙两班全部105人中，随机抽取1人为优秀的概率为．
（Ⅰ）请完成上面的列联表；
（Ⅱ）根据列联表的数据，能否在犯错误的概率不超的前提下认为“成绩与班级有关系”？
参考公式：．
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
【考点】独立性检验
【分析】（Ⅰ）由题中的条件，计算列联表中的数据即可；
（Ⅱ）由列联表中的数据，计算卡方的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，两班优秀人数为人，
所以列联表如下：
分类
优秀
非优秀
总计
甲班
10
45
55
乙班
20
30
50
总计
30
75
105
（Ⅱ）由列联表中的数据可得，，
所以在犯错误的概率不超的前提下认为“成绩与班级有关系”．
【点评】本题考查了列联表的应用以及独立性检验的应用，解题的关键是由公式求出卡方的值，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
20．（15分）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”．现在某社区随机抽取了24人用两种体温计进行体温检测，分别记智能体温计和水银体温计测温结果为和，得到数据如下：
序号
01
02
03
04
05
06
07
08
36.6
36.6
36.5
36.5
36.5
36.4
36.2
36.3
36.6
36.5
36.7
36.5
36.4
36.4
36.2
36.4
序号
09
10
11
12
13
14
15
16
36.6
36.3
36.3
36.5
36.4
36.4
36.3
36.3
36.6
36.4
36.2
36.5
36.4
36.4
36.4
36.3
序号
17
18
19
20
21
22
23
24
37.2
36.8
36.6
36.5
36.4
36.4
36.7
36.3
37.0
36.8
36.6
36.5
36.4
36.4
36.7
36.3
（Ⅰ）试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率；
（Ⅱ）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量为使用智能体温计“测温准确”的人数，求的分布列与数学期望；
（Ⅲ）医学上通常认为，人的体温在不低于且不高于时处于“低热”状态．该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列
【分析】（Ⅰ）先找到用智能体温计与水银体温计测量结果相同的个数，然后由古典概型的概率公式求解即可；
（Ⅱ）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；
（Ⅲ）用古典概型的概率公式求出从社区任意抽取1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率，然后用相互独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式，求解这3个人中至少有1人处于“低热”状态的概率，由计算结果分析即可．
【解答】解：（Ⅰ）表中24人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测量结果相同的序号是：
01，04，06，07，09，12，13，14，16，18，19，20，21，22，23，24，共有16中情况，
所以所求概率为；
（Ⅱ）随机变量的可能取值为，1，2，3，
由（1）可知，用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为，
则，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
0
1
2
3
则；
（Ⅲ）设这3人中至少有1人处于“低热”状态为事件，
表中24人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为02，05，11，17，共4种情况，
所以从社区任意抽取1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为，
故这三人中至少有1人处于“低热”状态的概率为：
，
结论1：因为，接近于1，由此可以认定这3人中至少有1人处于“低热”状态．
结论2：因为，所以有可能这3人都不处于“低热”状态．
【点评】本题考查了古典概型概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，相互独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
21．（15分）已知函数，，．
（Ⅰ）证明：函数在，处的切线恒过定点；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意实数，当时，都有．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【分析】（Ⅰ）先求出切点的坐标，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式求解切线的方程，由此可以证明切线恒过定点；
（Ⅱ）分和两种情况进行讨论，利用导函数的正负研究函数的单调性即可；
（Ⅲ）构造函数，利用导数以及零点的存在性定理可得，在上存在，使得，即可得到的单调性，由此确定的最小值，即可证明，再利用余弦函数的有界性，证明，，从而证明结论．
【解答】（Ⅰ）证明：因为函数，
则，故切点为，
又，则，
故切线方程为，即，
所以函数在，处的切线恒过定点；
（Ⅱ）解：因为，
①当时，，故函数单调递减，所以的单调递减区间为；
②当时，令，解得，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
综上所述，当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（Ⅲ）证明：当时，，，
令，
则，则对于恒成立，
所以在上单调递增，
又，（1），
故在上存在，使得，
即①，
故当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
则②，
由①可知，，代入②中可得，
，，
所以在上单调递减，
则（1），
即，
所以的最小值，
则，即恒成立，
又，则，，
所以，，
故对任意实数，当时，都有．
【点评】本题考查了导数的综合应用，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．
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日期：2021/8/6
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