2022届四川省内江市高中零模（高二期末）考试数学（理）试题（PDF版）含答案

内 江 市 高 中 ２０２２ 届 零 模 试 题
　
数 学 （理 科 ）
本 试 卷 共 ４ 页 ，全 卷 满 分 １５０ 分 ，考 试 时 间 １２０ 分 钟 。
注 意 事 项 ：
１．答 题 前 ，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 、考 号 、班 级 用 签 字 笔 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置 ．
２．选 择 题 选 出 答 案 后 ，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 。如 需 改 动 ，用 橡 皮 擦
干 净 后 ，再 选 涂 其 它 答 案 。不 能 答 在 试 题 卷 上 。
３．非 选 择 题 用 签 字 笔 将 答 案 直 接 答 在 答 题 卡 相 应 位 置 上 。
４．考 试 结 束 后 ，监 考 人 员 将 答 题 卡 收 回 。
一 、选 择 题 ：（本 大 题 共 １２ 个 小 题 ，每 小 题 ５ 分 ，共 ６０ 分 ．在 每 小 题 的 四 个 选 项 中 只 有 一 个
是 正 确 的 ，把 正 确 选 项 的 代 号 填 涂 在 答 题 卡 的 指 定 位 置 上 ．）
１．复 数 ｚ满 足 ｚ（１ －ｉ）＝ｉ（ｉ为 虚 数 单 位 ），则 ｚ的 虚 部 为
１ １ １ １
　 Ａ． － Ｂ． Ｃ． ｉ Ｄ． － ｉ
２ ２ ２ ２
π
２．设 ｆ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ，则 ｆ′（ ＝
２ ）
π π
　 Ａ． Ｂ． － Ｃ．１ Ｄ． －１
２ ２
２ ２
３．若 双 曲 线 ｍｘ －ｙ ＝１（ｍ＞０）的 离 心 率 为 ２，则 ｍ＝
１ １
　 Ａ． Ｂ． ３ Ｃ． ３ Ｄ．３
３ 槡 ３ 或
４．已 知 命 题 ｐ：若 珗ａ＝（１，－２，３），ｂ珒 ＝（－２，４，－６），则 珗ａ∥ ｂ珒 ；命 题 ｑ：若 珗ａ＝（１，－２，１），ｂ珒 ＝
（１，０，１），则 珗ａ⊥ ｂ珒 ．下 列 命 题 为 真 命 题 的 是
　 Ａ．ｐ∧ ｑ Ｂ．（? ｐ）∧ （? ｑ） Ｃ．（? ｐ）∨ ｑ Ｄ．ｐ∧ （? ｑ）
５．曲 线 ｙ＝ｆ（ｘ）在 ｘ＝１ 处 的 切 线 如 图 所 示 ，则 ｆ′（１）－ｆ（１）＝
　 Ａ．０ Ｂ．２
　 Ｃ． －２ Ｄ． －１
２ ２
ｘ ｙ
６．以 椭 圆 Ｃ：２ ＋ ２ ＝１ ａ＞ｂ＞０
ａ ｂ （ ）的 短 轴 的 一 个 端 点 和 两 焦 点 为
顶 点 的 三 角 形 为 等 边 三 角 形 ，且 椭 圆 Ｃ上 的 点 到 左 焦 点 的 最 大 距 离 为 ６，则 椭 圆 Ｃ的 标 准 方 程
为
２ ２ ２ ２
ｘ ｙ ｘ ｙ
　 Ａ． ＋ ＝１ Ｂ． ＋ ＝１
４ ３ ８ ４
２ ２ ２ ２
ｘ ｙ ｘ ｙ
　 Ｃ． ＋ ＝１ Ｄ． ＋ ＝１
１６ １２ ６４ ４８
５ ２ ３
７．若 （１ ＋ａｘ）（１ ＋ｘ）的 展 开 式 中 ，ｘ 项 与 ｘ 项 的 系 数 和 为 －１０，则 实 数 ａ＝
　 Ａ． －２ Ｂ． －１ Ｃ．０ Ｄ．１
高 二 数 学 （理 科 ）试 卷 第 　　　　１页 （共 ４ 页 ）
书书书
ｘ
８．已 知 函 数 ｆ（ｘ）＝ｅ －ａｘ，则 “ａ＜０”是 “函 数 ｆ（ｘ）为 增 函 数 ”的
　 Ａ．充 分 不 必 要 条 件 Ｂ．必 要 不 充 分 条 件
　 Ｃ．充 要 条 件 Ｄ．既 不 充 分 也 不 必 要 条 件
９．在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ，已 知 点 Ｏ（０，０，０），Ａ（－１，１，０），Ｂ（０，１，１），若 在 直 线 ＯＡ 上 有 一
点 Ｈ满 足 ＢＨ⊥ ＯＡ，则 点 Ｈ的 坐 标 为
１ １ １ １
　 Ａ．（ － ０ Ｂ． ２ －２ ０ Ｃ． －２ ２ ０ Ｄ． －
２ ， ２ ，） （， ，） （ ，，） （ ０
２ ，２ ，）
１０．“二 进 制 ”来 源 于 我 国 古 代 的 《易 经 》，该 书 中 有 两 类 最 基 本 的 符 号 ：“—”和 “－ －”，其
中 “—”在 二 进 制 中 记 作 “１”，“－ －”在 二 进 制 中 记 作 “０”如 符 号 “ ”对 应 的 二 进 制 数 ００１（２）
２ １ ０
化 为 十 进 制 的 计 算 公 式 如 下 ：０１１（２）＝０ ×２ ＋１ ×２ ＋１ ×２ ＝３（１０）．若 从 两 类 符 号 中 任 取 ２ 个
符 号 进 行 排 列 ，则 得 到 的 二 进 制 数 所 对 应 的 十 进 制 数 大 于 ２ 的 概 率 为
１ １ ２ １
　 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２ ４ ３ ３
２
１１．已 知 直 线 ｌ：ｙ＝ｘ－１ 与 抛 物 线 Ｃ：ｙ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）相 交 于 Ａ、Ｂ 两 点 ，若 ＡＢ 的 中 点 为 Ｎ，
?? → ?? →
且 抛 物 线 Ｃ上 存 在 点 Ｍ，使 得 ＯＭ＝３ ＯＮ（Ｏ为 坐 标 原 点 ），则 抛 物 线 Ｃ的 方 程 为
２ ２ ２ ２
　 Ａ．ｙ ＝８ｘ Ｂ．ｙ ＝４ｘ Ｃ．ｙ ＝２ｘ Ｄ．ｙ ＝ｘ
１２．对 于 函 数 ｙ＝ｆ（ｘ），若 存 在 区 间 ［ａ，ｂ］，当 ｘ∈ ［ａ，ｂ］时 ，ｆ（ｘ）的 值 域 为 ［ｋａ，ｋｂ］，则 称 ｙ
＝ｆ（ｘ）为 ｋ倍 值 函 数 ．若 ｆ（ｘ）＝ｘ＋ｌｎｘ是 ｋ倍 值 函 数 ，则 ｋ的 取 值 范 围 为
１ １ １ １
　 Ａ．（０，ｅ ） Ｂ．（ ＋∞ Ｃ． １ ＋１ Ｄ． ＋１ ＋∞
ｅ ， ） （，ｅ ） （ｅ ， ）
二 、填 空 题 （本 大 题 共 ４ 小 题 ，共 ２０ 分 ．） Ｃ
１３．设 随 机 变 量 Ｘ的 分 布 列 为 Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝ ｋ＝１ ２ ３ Ｃ Ｐ Ｘ＜３ ＝ 　 ．
ｋ（ｋ＋１ ， 、、，为 常 数 ，则 （ ）
）
１４．为 弘 扬 学 生 志 愿 服 务 精 神 ，某 学 校 开 展 了 形 式 多 样 的 志 愿 者 活 动 ．现 需 安 排 ５ 名 学 生 ，
分 别 到 ３ 个 地 点 （敬 老 院 、幼 儿 园 和 交 警 大 队 ）进 行 服 务 ，要 求 每 个 地 点 至 少 安 排 １ 名 学 生 ，则
有 　 　 　 　 种 不 同 的 安 排 方 案 （用 数 字 作 答 ）．
２ ２
ｘ ｙ
１５．设 椭 圆 ２ ＋ ２ ＝１ ａ＞ｂ＞０ Ｆ１ Ｆ２ Ａ ＡＦ２⊥ Ｆ１Ｆ２
ａ ｂ （ ）的 左 、右 焦 点 分 别 为 ， ， 是 椭 圆 上 一 点 ， ，
１
若 原 点 Ｏ到 直 线 ＡＦ１ 的 距 离 为 ｜ＯＦ１｜ 　 　 　 　 ．
３ ，则 该 椭 圆 的 离 心 率 为
ｘ１ｌｎｘ２ －ｘ２ｌｎｘ１
１６．若 对 任 意 的 ｘ１，ｘ２∈ （ｍ，＋∞），且 ｘ１ ＜ｘ２，都 有 ＜２ ｍ
ｘ２ －ｘ ，则 的 最 小 值 是
１
　 　 　 　 ．
三 、解 答 题 ：（本 大 题 共 ６ 个 小 题 ，共 ７０ 分 ．解 答 应 写 出 必 要 的 文 科 字 说 明 ，证 明 过 程 或 演
算 步 骤 ．）
１７．（本 小 题 满 分 １０ 分 ）
２
已 知 抛 物 线 Ｃ：ｙ ＝４ｘ，坐 标 原 点 为 Ｏ，焦 点 为 Ｆ，直 线 ｌ：ｙ＝ｋｘ＋１．
（１）若 ｌ与 Ｃ只 有 一 个 公 共 点 ，求 ｋ的 值 ；
（２）过 点 Ｆ作 斜 率 为 １ 的 直 线 交 抛 物 线 Ｃ于 Ａ、Ｂ两 点 ，求 △ ＯＡＢ的 面 积 ．
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　 　 １８．（本 小 题 满 分 １２ 分 ）
３
已 知 函 数 ｆ（ｘ）＝ａｘ ＋ｂｘ在 ｘ＝１ 处 有 极 值 ２．
（１）求 ａ，ｂ的 值 ；１
（２）若 ｘ∈ ［－２， ｇ ｘ ＝ｍ－ｆ
２ ］，函 数 （） （ｘ）有 零 点 ，求 实 数 ｍ的 取 值 范 围 ．
１９．（本 小 题 满 分 １２ 分 ）
为 了 选 拔 培 养 有 志 于 服 务 国 家 重 大 战 略 需 求 且 综 合 素 质 优 秀 或 基 础 学 科 拔 尖 的 学 生 ，教
育 部 开 展 了 招 生 改 革 工 作 ———强 基 计 划 ．现 对 某 高 中 学 校 学 生 对 强 基 课 程 学 习 的 情 况 进 行 调
查 ，在 参 加 数 学 和 物 理 的 强 基 计 划 课 程 学 习 的 学 生 中 ，随 机 抽 取 了 １０ 名 学 生 ．
（１）在 某 次 数 学 强 基 课 程 的 测 试 中 ，超 过 ９０ 分 的 成 绩 为 优 秀 ，否 则 为 合 格 ． 这 １０ 名 学 生
成 绩 的 统 计 数 据 如 茎 叶 图 所 示 ，现 随 机 从 这 １０ 名 学 生 中 抽 取 两 名 ，记 抽 到 成 绩 优 秀 的 学 生 人
数 为 Ｘ，求 随 机 变 量 Ｘ的 分 布 列 及 期 望 ；
男 生 女 生
３ ６ ７ ８ ９ ８
１ ９ ９ ３ ２ １
　 　 （２）已 知 学 生 的 物 理 成 绩 ｙ与 数 学 成 绩 ｘ是 线 性 相 关 的 ，现 统 计 了 小 明 同 学 连 续 ５ 次 在 强
基 课 程 测 试 中 的 数 学 和 物 理 成 绩 （如 下 表 ）．若 第 ６ 次 测 试 该 生 的 数 学 成 绩 达 到 １３２，请 你 估 计
第 ６ 次 测 试 他 的 物 理 成 绩 大 约 是 多 少 ？
数 学 成 绩 ｘ １２０ １１８ １１６ １２２ １２４
物 理 成 绩 ｙ ７９ ７９ ７７ ８２ ８３
ｎ
∧ ｉ∑ ｘ －ｘ珋 ｙ －ｙ珋
＝１（ｉ ）（ｉ ） ∧ ∧
附 ：ｂ ＝ ｎ ２ ，ａ ＝ｙ珋 －ｂｘ珋 ．
ｉ∑ ｘ －ｘ珋
＝１（ｉ ）
高 二 数 学 （理 科 ）试 卷 第 　　　　３页 （共 ４ 页 ）
　 　 ２０．（本 小 题 满 分 １２ 分 ）
如 图 ，四 棱 柱 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中 ，面 ＡＢＢ１Ａ１⊥ 面 ＡＢＣＤ，面 ＡＤＤ１Ａ１⊥ 面 ＡＢＣＤ，点 Ｅ、Ｍ、
Ｎ分 别 是 棱 ＡＡ１、ＢＣ、ＣＤ的 中 点 ．
（１）证 明 ：ＡＡ１⊥ 面 ＡＢＣＤ．
（２）若 四 边 形 ＡＢＣＤ 是 边 长 为 ２ 的 正 方 形 ，且 ＡＡ１ ＝ＡＤ，面
ＥＭＮ∩ 面 ＡＤＤ１Ａ１ ＝直 线 ｌ，求 直 线 ｌ与 Ｂ１Ｃ所 成 角 的 余 弦 值 ．
２１．（本 小 题 满 分 １２ 分 ）
２
ｘ ２
已 知 Ａ、Ｂ是 椭 圆 Ｃ： ＋ｙ ＝１ ．
３ 上 的 两 点
（１）若 直 线 ＡＢ的 斜 率 为 １，求 弦 长 ｜ＡＢ｜的 最 大 值 ；
（２）设 线 段 ＡＢ的 垂 直 平 分 线 与 ｘ轴 交 于 点 Ｎ（ｔ，０），求 ｔ的 取 值 范 围 ．
２２．（本 小 题 满 分 １２ 分 ）
１ ３
已 知 函 数 ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ｔｘ＋ｔ．
３
（１）讨 论 函 数 ｆ（ｘ）的 单 调 区 间 ；
（２）若 函 数 ｆ（ｘ）有 三 个 不 同 的 零 点 ｘ１、ｘ２、ｘ３，求 ｔ 的 取 值 范 围 ，并 证 明 ：ｘ１ ＋ ｘ２ ＋ ｘ３ ＜
－ｔ．
槡
高 二 数 学 （理 科 ）试 卷 第 　　　　４页 （共 ４ 页 ）
内 江 市 高 中 ２０２２ 届 零 模 试 题
数 学 （理 科 ）参 考 答 案 及 评 分 意 见
一 、选 择 题 ：本 大 题 共 １２ 个 小 题 ，每 小 题 ５ 分 ，共 ６０ 分 ．
１．Ｂ　 ２．Ｂ　 ３．Ｄ　 ４．Ｄ　 ５．Ｃ　 ６．Ｃ　 ７．Ａ　 ８．Ａ　 ９．Ｄ　 １０．Ｂ　 １１．Ｂ　 １２．Ｃ
二 、填 空 题 ：本 大 题 共 ４ 个 小 题 ，每 小 题 ５ 分 ，共 ２０ 分 ．
８ ２ １
１３． 　 　 １４．１５０　 　 １５．槡 　 　 １６．
９ ２ ｅ
三 、解 答 题 ：本 大 题 共 ６ 个 小 题 ，共 ７０ 分 ．
ｙ＝ｋｘ＋１ ２ ２
１７．（１）联 立 ２ ，消 去 ｙ，得 ｋ ｘ ＋（２ｋ－４）ｘ＋１ ＝０．（? ）
!!!!!!!!!! ２ 分
{ｙ ＝４ｘ
２ ２
当 ｋ≠ ０ 时 ，（? ）式 是 一 个 一 元 二 次 方 程 ，△ ＝（２ｋ－４）－４ｋ ＝１６（１ －ｋ）＝０，即 ｋ＝１．
此 时 ｌ与 Ｃ有 一 个 公 共 点 ，ｌ与 Ｃ相 切
!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３ 分
当 ｋ＝０ 时 ，（? ）式 只 有 一 个 解 ，此 时 直 线 ｌ平 行 于 ｘ轴 ．
!!!!!!!!!!! ４ 分
综 上 ，ｋ＝１ 或 ｋ＝０．
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５ 分
（２）焦 点 Ｆ（１，０），直 线 ｌ的 方 程 为 ｙ＝ｘ－１，
!!!!!!!!!!!!!!!!! ６ 分
设 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）．
２
联 立 直 线 与 抛 物 线 的 方 程 整 理 得 ｘ －６ｘ＋１ ＝０，∴ ｘ１ ＋ｘ２ ＝６．
｜ＡＢ｜ ＝ｘ１ ＋ｘ２ ＋２ ＝８
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８ 分
１ ２
点 Ｏ到 直 线 ｌ的 距 离 ｄ＝ ＝槡 ．
!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９ 分
１ ＋１ ２
槡
１ ２
所 以 Ｓ△ ＯＡＢ ＝ ×８ ×槡 ＝２ ２．
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０
２ ２ 槡 分
３ ２
１８．解 ：（１）ｆ（ｘ）＝ａｘ ＋ｂｘ，ｆ′（ｘ）＝３ａｘ ＋ｂ
!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １ 分
３
∵ 函 数 ｆ（ｘ）＝ａｘ ＋ｂｘ在 ｘ＝１ 处 取 得 极 值 ２，
∴ ｆ′（１）＝３ａ＋ｂ＝０
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３ 分
ｆ（１）＝ａ＋ｂ＝２
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４ 分
解 得 ａ＝ －１，ｂ＝３
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５ 分
３
∴ ｆ（ｘ）＝ －ｘ ＋３ｘ，经 验 证 在 ｘ＝１ 处 取 极 值 ２，
故 ａ＝ －１，ｂ＝３
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６ 分
３ １
（２）ｆ（ｘ）＝ －ｘ ＋３ｘ，ｆ′（ｘ）＝ －３（ｘ＋１）（ｘ－１），ｘ∈ ［－２，２ ］
１
则 ｆ（ｘ）在 ［－２，－１）上 递 减 ，在 （－１， ｆ ｘ ｆ －１ ＝ －２
!!
２ ］上 递 增 ，故 （）的 最 小 值 是 （ ）
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８ 分
１ １１
由 ｆ（－２）＝２ ＞ｆ（２ ）＝ ｆ ｘ ２．
!!!!!!!!!!!!!! ９
８ ，知 （）的 最 大 值 是 分
故 ｆ（ｘ）的 值 域 为 ［－２，２］．
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０ 分
因 为 ｇ（ｘ）＝ｍ－ｆ（ｘ）有 零 点 ，则 方 程 ｍ＝ｆ（ｘ）有 实 数 根 ．
故 函 数 ｆ（ｘ）的 值 域 即 为 ｍ的 取 值 范 围
高 二 数 学 （理 科 ）试 题 答 案 第 　　　　１页 （共 ４ 页 ）
因 此 ，ｍ的 取 值 范 围 为 ［－２，２］．
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２ 分
１９．解 ：（１）抽 到 成 绩 优 秀 的 学 生 人 数 Ｘ可 取 ０，１，２
!!!!!!!!!!!!!!!! １ 分
０ ２ １ １ ２ ０
Ｃ５Ｃ５ ２ Ｃ５Ｃ５ ５ Ｃ５Ｃ５ ２
Ｐ（Ｘ＝０）＝ ２ ＝ Ｐ Ｘ＝１ ＝ ２ ＝ Ｐ Ｘ＝２ ＝ ２ ＝
!!!!!!! ４
Ｃ ；（ ） ；（ ） 分
１０ ９ Ｃ１０ ９ Ｃ１０ ９
因 此 Ｘ的 分 布 列 为 ：
Ｘ ０ １ ２
２ ５ ２
Ｐ ９ ９ ９
２ ５ ２
故 随 机 变 量 Ｘ的 数 学 期 望 Ｅ（Ｘ）＝０ × ＋１ × ＋２ × ＝１．
!!!!!!!!!!! ６
９ ９ ９ 分
１
（２）由 ｘ珋 ＝ × １２０ ＋１１８ ＋１１６ ＋１２２ ＋１２４ ＝１２０
５ （ ）
ｙ珋 １
＝ × ７９ ＋７９ ＋７７ ＋８２ ＋８３ ＝８０
５ （ ）
ｎ
∧ ｉ∑ ｘ －ｘ珋 ｙ －ｙ珋
＝１（ｉ ）（ｉ ） ０ × －１ ＋ －２ × －１ ＋ －４ × －３ ＋２ ×２ ＋４ ×３
得 ｂ ＝ （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
ｎ ＝
２ ２ ２ ２ ２ ２
ｉ∑ ｘ －ｘ珋 ０ ＋（－２）＋（－４）＋２ ＋４
＝１（ｉ ）
３
＝
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９
４ 分
∧ ∧
ａ ＝ｙ珋 －ｂｘ珋 ３
＝８０ － ×１２０ ＝ －１０
４
３
所 以 ｙ关 于 ｘ的 线 性 回 归 方 程 是 ｙ＝ ｘ－１０
!!!!!!!!!!!!!!! １１
４ 分
３ ３
当 ｘ＝１３２ 时 ，ｙ＝ ｘ－１０ ＝ ×１３２ －１０ ＝８９
４ ４ ，
故 估 计 第 ６ 次 测 试 ，他 的 物 理 成 绩 为 ８９ 分 ．
!!!!!!!!!!!!!!!! １２ 分
２０．解 ：（１）证 明 ：如 图 ，过 点 Ｃ分 别 作 ＡＢ、ＡＤ的 垂 线 ，交 ＡＢ于 点 Ｐ，
交 ＡＤ于 点 Ｑ．
!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １ 分
∵ 面 ＡＢＢ１Ａ１⊥ 面 ＡＢＣＤ，面 ＡＢＢ１Ａ１∩ 面 ＡＢＣＤ ＝ ＡＢ，ＣＰ⊥
ＡＢ，ＣＰ? 面 ＡＢＣＤ
∴ ＣＰ⊥ 面 ＡＢＢ１Ａ１．
!!!!!!!!!!!!!!! ３ 分
又 ∵ ＡＡ１? 面 ＡＢＢ１Ａ１，∴ ＣＰ⊥ ＡＡ１，
!!!!!!!! ４ 分
同 理 可 得 ＣＱ⊥ ＡＡ１
∵ ＣＰ∩ ＣＱ＝Ｃ，ＣＰ、ＣＱ? 面 ＡＢＣＤ
∴ ＡＡ１⊥ 面 ＡＢＣＤ
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６ 分
（２）设 ＭＮ∩ ＡＤ＝Ｆ，连 接 ＥＦ，
∵ Ｆ∈ ＭＮ，ＭＮ? 面 ＥＭＮ，
∴ Ｆ∈ 面 ＥＭＮ，则 ＥＦ? 面 ＥＭＮ．
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７ 分
同 理 ＥＦ? 面 ＡＤＤ１Ａ１．
故 直 线 ＥＦ即 为 直 线 ｌ．
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８ 分
由 几 何 性 质 知 △ ＭＮＣ≌ △ ＦＮＤ，则 ＤＦ＝１．
高 二 数 学 （理 科 ）试 题 答 案 第 　　　　２页 （共 ４ 页 ）
如 图 所 示 ，以 Ａ点 为 原 点 ，ＡＢ 为 ｘ 轴 ，ＡＤ 为 ｙ 轴 ，
ＡＡ１ 为 ｚ轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，
由 Ｆ（０，３，０），Ｅ（０，０，１），Ｂ１（２，０，２），Ｃ（２，２，０）
??→ ?? →
知 ＥＦ＝（０，３，－１），Ｂ１Ｃ＝（０，２，－２）
!!!! １０ 分
??→ ?? →
??→ ?? → ＥＦ Ｂ１Ｃ ２ ５
则 ｃｏｓ＜ＥＦ，Ｂ１Ｃ＞ ＝ ·
??→ ?? → ＝ 槡
｜ＥＦ｜·｜Ｂ１Ｃ｜ ５
２ ５
即 直 线 ｌ与 Ｂ１Ｃ所 成 角 的 余 弦 值 为 槡 ．
!!!
５
!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２ 分
２１．解 ：（１）设 直 线 ＡＢ的 方 程 为 ｙ＝ｘ＋ｍ，Ａ（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２），
ｙ＝ｘ＋ｍ ２ ２
由 ２ ２ ，得 ４ｘ ＋６ｍｘ＋３ｍ －３ ＝０，
!!!!!!!!!!!!!!!!! ２ 分
{ｘ ＋３ｙ ＝３
２
２ ２ ３ｍ ３ｍ －３
由 △ ＝４８ －１２ｍ ＞０ 得 ｍ ∈ ［０，４］．ｘ１ ＋ｘ２ ＝ － ２ ，ｘ１ｘ２ ＝
!!!!!!! ３
４ ， 分
２
所 以 ｜ＡＢ｜ ＝ ２［（ｘ１ ＋ｘ２）－４ｘ１ｘ２］
槡
２
３ｍ ２ ２ １２ －３ｍ
＝ ２［（－ － ３ｍ －３ ＝
!!!!!!!!!!!! ５
２ ） （ ）］ ２ ， 分
槡 槡
易 知 当 ｍ＝０ 时 ，｜ＡＢ｜取 得 最 大 值 ６． ６
槡
!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
（２）设 Ａ（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２），ＡＢ的 中 点 Ｍ（ｘ０，ｙ０），
①若 直 线 ＡＢ平 行 于 ｘ轴 ，则 线 段 ＡＢ的 垂 直 平 分 线 为 ｙ轴 ，故 ｔ＝０，
!!!!!! ７ 分
②若 直 线 ＡＢ不 平 行 于 ｘ轴 ，
因 为 线 段 ＡＢ的 垂 直 平 分 线 与 ｘ轴 相 交 ，所 以 直 线 ＡＢ不 平 行 于 ｙ轴 ，即 ｘ１≠ ｘ２，
２ ２
ｘ１ ＋３ｙ１ ＝３ ｙ１ －ｙ２ ｙ１ ＋ｙ２ １
由 ２ ２ ，两 式 相 减 整 理 · ＝ －
{ｘ２ ＋３ｙ２ ＝３ ｘ１ －ｘ ，
２ ｘ１ ＋ｘ２ ３
设 Ｍ（ｘ０，ｙ０）是 ＡＢ的 中 点 ，∴ ２ｘ０ ＝ｘ１ ＋ｘ２，２ｙ０ ＝ｙ１ ＋ｙ２
ｙ１ －ｙ２ ｘ０
因 此 ｋＡＢ ＝ ＝ －
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９
ｘ 分
１ －ｘ２ ３ｙ０
０ －ｙ０
又 ∵ ｋＭＮ ＝ ＭＮ⊥ ＡＢ
ｔ－ｘ ，且
０ ｘ０ ０ －ｙ０
∴ ｋＡＢ·ｋＭＮ ＝ －１，即 － ＝ －１．
３ｙ ·
０ ｔ－ｘ０
２
解 得 ｔ＝ ｘ０．
３
２ ３ ２ ３
由 － ３ ＜ｘ ＜０ ０ ＜ｘ ＜ ３ － 槡 ＜ｔ＜０ ０ ＜ｔ＜ 槡 ． １１
槡 ０ 或 ０ 槡 知
!!!!!!!!!!
３ 或 ３ 分
２ ３ ２ ３
综 上 ，ｔ的 取 值 范 围 是 （－ 槡
３ ，槡 ．
!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２
３ ） 分
１ ３ ２
２２．解 ：（１）ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ｔｘ＋ｔ ｆ′ ｘ ＝ｘ ＋ｔ
!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １
３ ，（） 分
①当 ｔ≥ ０ 时 ，ｆ′（ｘ）≥ ０，则 ｆ（ｘ）在 Ｒ上 单 调 递 增 ，无 递 减 区 间 ；
!!!!!!!!! ３ 分
高 二 数 学 （理 科 ）试 题 答 案 第 　　　　３页 （共 ４ 页 ）
②当 ｔ＜０ 时 ，令 ｆ′（ｘ）＝０，得 ｘ＝ ± －ｔ
槡
ｆ′（ｘ）＞０ 的 解 集 为 （－∞，－ －ｔ －ｔ ＋ ｆ′ ｘ ＜０
槡 ）∪ （槡 ， ∞），（） 的 解 集 为 （－ －ｔ －ｔ
槡 ，槡 ）
则 ｆ（ｘ）在 （－ －ｔ －ｔ
槡 ，槡 ）上 单 调 递 减 ，在 （－∞，－ －ｔ －ｔ ＋
槡 ），（槡 ， ∞）上 单 调 递 增
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５ 分
（２）由 （１）知 函 数 ｆ（ｘ）有 三 个 零 点 ，则 ｔ＜０
∵ ｆ（ｘ）在 （－ －ｔ －ｔ
槡 ，槡 ）上 单 调 递 减 ，在 （－∞，－ －ｔ
槡 ），（ －ｔ ＋
槡 ， ∞）上 单 调 递 增 ，
２ ２
∴ ｆ（ｘ）的 极 大 值 为 ｆ（－ －ｔ ＝ｔ－ ｔ －ｔ ｆ －ｔ ＝ｔ＋ ｔ －ｔ ６
槡 ） ３ 槡 ，极 小 值 为 （槡 ）
!!
３ 槡 分
２
∵ ｆ（ｘ）有 三 个 不 同 的 零 点 ｘ１、ｘ２、ｘ３，且 ｆ（ －ｔ ＝ｔ＋ ｔ －ｔ＜０
槡 ） ３ 槡
２
∴ ｆ（－ －ｔ ＝ｔ－ ｔ －ｔ＞０ ７
槡 ）
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
３ 槡 分
９ ９
解 得 ｔ＜ － ． ｔ －∞ － ．
!!!!!!!!!!!!!!! ８
４ 故 的 取 值 范 围 为 （ ， ４ ） 分
又 ∵ ｆ（０）＝ｔ＜０，当 ｘ→ ＋∞时 ，有 ｆ（ｘ）→ ＋∞，当 ｘ→ －∞时 ，有 ｆ（ｘ）→ －∞．
∴ 设 ｘ１ ＜ｘ２ ＜ｘ３，由 零 点 存 在 性 定 理 知 ｘ１ ＜ － －ｔ＜ｘ ＜０ ＜ －ｔ＜ｘ ． ９
槡 ２ 槡 ３
!!!!! 分
∴ ｘ１ ＋ｘ２ ＜ － －ｔ． １０
槡
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
１ ３ ２
又 ∵ ｆ（２ －ｔ ＝ ２ －ｔ ＋ｔ ２ －ｔ ＋ｔ＝ｔ－ ｔ －ｔ
槡 ） ３ （ 槡 ） （ 槡 ） ３ 槡
＝ｆ（－ －ｔ ＞０
槡 ）
∴ －ｔ＜ｘ ＜２ －ｔ １１
槡 ３ 槡 ，
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
因 此 ｘ１ ＋ｘ２ ＋ｘ３ ＜ －ｔ． １２
槡
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
高 二 数 学 （理 科 ）试 题 答 案 第 　　　　４页 （共 ４ 页 ）