重庆市缙云教育联盟2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷（Word解析版）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
重庆市缙云教育联盟2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.设
的内角
，
，
所对的边为
，
，
，则下列命题不正确的是（???
）
A.?
，则
????????????????????????????????????B.?若
，则
C.?若
，
，
成等差数列，则
??????????????D.?若
，则
2.已知复数
满足
，则
（???
）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
4.下列说法正确的有（???
）
①回归直线一定过样本点中心
；
②我校高一、高二、高三共有学生4800人，其中高三有1200人．为调查学生视力情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为200的样本，那么应从高三年级抽取40人；
③若一组数据
，
，…，
的方差为5，则另一组数据
，
，…，
的方差为6；
④把六进制数
转换成十进制数为：
．
A.?①④?????????????????????????????????????B.?①②?????????????????????????????????????C.?③④?????????????????????????????????????D.?①③
5.北碚区在创建“全国文明城市”活动中大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶．一天，居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有两袋垃圾投对的概率为（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
6.设
的内角
，
，
所对的边为
，
，
，若
，则
的最小值为（???
）
A.?4????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?
7.已知正实数
，
满足
，若
恒成立，则正整数
的最大值是（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
8.已知
为正常数，
,若存在
，满足
，则实数
的取值范围是（??
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.若直线
与函数
（
，且
）的图象有两个公共点，则
的取值可以是（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?2
10.将函数
(
)的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，则下列说法正确的是（???
）
A.?????????????????????????????????????????????????????????????????B.?函数
的最小正周期为
C.?函数
的图象关于点
成中心对称????????D.?函数
的一个单调递减区间为
11.已知
分别是三角形ABC三内角A，B，C的对边，且满足
则下列说法正确的是（???
）
A.?????????B.?????????C.?△ABC的面积最大值为
????????D.?△ABC的面积最大值为
12.在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面
，
，截面
与直线
平行，与
交于点
，则下列判断正确的是（???
）
A.?
为
的中点???????????????????????????B.?
与
所成的角为
C.?
平面
????????????????????????D.?三棱锥
与四棱锥
的体积之比等于
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知复数
满足
（
为虚数单位），
．则一个以
为根的实系数一元二次方程为________．
14.在四边形
中，
，
，
，
，
，
，则对角线
的长为________．
15.欲将一底面半径为
，体积为
的圆锥体模型打磨成一个圆柱体和一个球体相切的模具，如图所示，则打磨成的圆柱体和球体的体积之和的最大值为________
．
16.小明计划周六去长沙参加会议，有飞机和火车两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95、0.8，若当天天晴则乘飞机，否则乘火车，天气预报显示当天天晴的概率为0.8.则小明能准时到达的概率为________；若小明当天准时到达，则他是乘火车去的概率为________.（结果保留两位小数）
四、解答题（本大题共70分）
17.已知集合
，
．
（1）若
，求实数m的值；
（2）若
，求实数m的取值范围．
18.在
中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知
.
（1）求B；
（2）若
，求sinC的值.
19.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝
AB，AF＝
AD，BG＝
BC，设
，
.
（1）用
，
表示
，
；
（2）若EF⊥EG，
，求角A的值.
20.如图，在直三棱柱
中，已知
，
．
（1）求四棱锥
的体积；
（2）求二面角
的大小．
21.2018年1月22日，依照中国文联及中国民间文艺家协会命名中国观音文化之乡的有关规定，中国文联、中国民协正式命名四川省遂宁市为“中国观音文化之乡”.
下表为2014年至2018年观音文化故里某土特产企业的线下销售额（单位：万元）
年份
2014
2015
2016
2017
2018
线下销售额
90
170
210
280
340
为了解“祝福观音、永保平安”活动的支持度.某新闻调查组对40位老年市民和40位年轻市民进行了问卷调查（每位市民从“很支持”和“支持”中任选一种），其中很支持的老年市民有30人，支持的年轻市民有15人.
（1）从以上5年中任选2年，求其销售额均超过200万元的概率；
（2）请根据以上信息列出列联表，并判断能否有85%的把握认为支持程度与年龄有关.
附：，其中
参考数据：
P（K2≥K0）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
K0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
22.已知定义域为
的函数
是奇函数，
为指数函数且
的图象过点
.
（1）求
的表达式；
（2）若对任意的
.不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）若方程
恰有2个互异的实数根，求实数
的取值集合.
答案解析部分
一、单选题
1.设
的内角
，
，
所对的边为
，
，
，则下列命题不正确的是（???
）
A.?
，则
????????????????????????????????????B.?若
，则
C.?若
，
，
成等差数列，则
??????????????D.?若
，则
【答案】
B
【考点】等差数列的性质，正弦定理
【解析】【解答】解：对于A，在
，因为
，所以由正弦定理可得
，又因在三角形中大边对大角，所以
，所以A符合题意；
对于B，在
中，若
，则
或
，即
或
，所以B不符合题意；
对于C，因为
，
，
成等差数列，所以
，因为
，所以
，所以C符合题意；
对于D，由
，设
，因为
，所以
，所以D符合题意，
故答案为：B．
【分析】对于由正弦定理可判断；对于B，由?
得?
或
，即
或
；对于C由等差中项的性质和三角形内角和可得结果；对于D,利用勾股定理的逆定理可得结果。
?
2.已知复数
满足
，则
（???
）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】【解答】解：因为
，所以
，
则
．
故答案为：D．
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算即可得答案.
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】设正方体棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则D(0,0,0)，E(0，
，1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，
所以
＝(0，
，1)，
＝(－1,1,0)，
则
,
则异面直线DE与AC所成角的余弦值为
.
故答案为：B.
【分析】以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，利用向量法求出异面直线DE与AC所成角的余弦值
。
4.下列说法正确的有（???
）
①回归直线一定过样本点中心
；
②我校高一、高二、高三共有学生4800人，其中高三有1200人．为调查学生视力情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为200的样本，那么应从高三年级抽取40人；
③若一组数据
，
，…，
的方差为5，则另一组数据
，
，…，
的方差为6；
④把六进制数
转换成十进制数为：
．
A.?①④?????????????????????????????????????B.?①②?????????????????????????????????????C.?③④?????????????????????????????????????D.?①③
【答案】
A
【考点】分层抽样方法，众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差，线性回归方程
【解析】【解答】①回归直线一定过样本点中心
，正确；
②应从高三年级抽取
人，故错误；
③设
，
，…，
的平均数为
，则数据
，
，…，
的平均数为
所以方差为
故错误；
④
，正确；
故答案为：A
【分析】
直接利用回归直线的方程，分层抽样，平均数和方差的关系，十进制和六进制的转换判断①②③④的结论.
5.北碚区在创建“全国文明城市”活动中大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶．一天，居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有两袋垃圾投对的概率为（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶．
居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，
基本事件总数
，
其中恰好有两袋垃圾投对包含的基本事件个数
种，
则恰好有一袋垃圾投对的概率为
．
故答案为：D．
【分析】
基本事件总数
，恰好有两袋垃圾投对包含的基本事件个数
，
由此能求出恰好有两袋垃圾投对的概率.
6.设
的内角
，
，
所对的边为
，
，
，若
，则
的最小值为（???
）
A.?4????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，余弦定理
【解析】【解答】由
，得
，即
，
，
，当且仅当号
，即
时等号成立，
的最小值为3。
故答案为：C．
【分析】由
结合余弦定理，得出
，
再利用均值不等式求最值的方法，从而求出
的最小值。
7.已知正实数
，
满足
，若
恒成立，则正整数
的最大值是（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】
B
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为正实数
，
满足
，故
，
所以
，
故
化为
，
又因为
，当且仅当
，等号成立，
故
，即
，
所以正整数
的最大值是2．
故答案为：B．
【分析】
先求出
，
进而得到
，再利用基本不等式求
即可求出正整数??的最大值。
8.已知
为正常数，
,若存在
，满足
，则实数
的取值范围是（??
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【考点】函数的单调性及单调区间，奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】设
，则其关于直线
对称的曲线为
所以函数
的图象关于直线
对称，且在
上为增函数．
因为
，
所以
．
又因为
，
．
所以
．
故答案为：D.
【分析】
判断函数的单调性和对称性，根据对称性得出
，
结合θ的范围得出a的范围.
二、多选题
9.若直线
与函数
（
，且
）的图象有两个公共点，则
的取值可以是（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?2
【答案】
A,B
【考点】函数的图象
【解析】【解答】（1）当
时，由题得
，
因为
，所以此种情况不存在；
（2）当
时，由题得
，
因为
，所以
.
故答案为：AB
【分析】
对a进行讨论，作出函数
??
的图象，根据直线
?
与函数(a>?0，且a≠1)的图象有两个公共点，可得a的取值.
10.将函数
(
)的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，则下列说法正确的是（???
）
A.?????????????????????????????????????????????????????????????????B.?函数
的最小正周期为
C.?函数
的图象关于点
成中心对称????????D.?函数
的一个单调递减区间为
【答案】
B,D
【考点】正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的周期性
【解析】【解答】
的图象向右平移
个单位长度后得到
，
而
，则
，即
，A不正确；
此时
，其周期
，B符合题意；
由
，得
，即
的对称中心为
(
)，C不正确；
由
，解得
，即
的单调减区间为
，
当
时，
是函数
的一个递减区间，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】先由三角函数的图像变换求出的值，并判断选项A；再求出的解析式，然后根据三角函数的性质逐项判断B,C,D即可得出答案。
11.已知
分别是三角形ABC三内角A，B，C的对边，且满足
则下列说法正确的是（???
）
A.?????????B.?????????C.?△ABC的面积最大值为
????????D.?△ABC的面积最大值为
【答案】
B,C
【考点】基本不等式，余弦定理
【解析】【解答】因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
，所以
；
因为
，所以
，所以
，所以
，取等号时
，
所以
，
故答案为：BC.
【分析】
化简已知等式可得
，
由余弦定理可得
，结合范围B∈(0,π),可得
，即可判断A,?B,由余弦定理，基本不等式可求ac的最大值,进而根据三角形的面积公式可求△A?BC的面积最大值，即可判断C,?D.
12.在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面
，
，截面
与直线
平行，与
交于点
，则下列判断正确的是（???
）
A.?
为
的中点???????????????????????????B.?
与
所成的角为
C.?
平面
????????????????????????D.?三棱锥
与四棱锥
的体积之比等于
【答案】
A,C,D
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：在A中，连结
，交
于点
，连结
，则平面
平面
，
∵
平面
，
平面
，∴
，
∵四边形
是正方形，∴
，∴
，A符合题意；
在B中，∵
，∴
（或其补角）为
与
所成角，
∵
平面
，
平面
，∴
，
在
中，
，∴
，
∴
与
所成角为
，B不符合题意；
在C中，∵四边形
为正方形，∴
，
∵
平面
，
平面
，∴
，
∵
，
、
平面
，
∴
平面
，C符合题意；
在D中，设
，则
，
．
∴
，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】
A中，连结AC,交BD于点F,连结EF,推导出EF?//PC,可得E为PA的中点；
B中，由CD//AB,得∠PBA?(或其补角)为PB与CD所成角，求出角的大小即可；
C中，推导出
，
，得BD⊥平面PAC；
D中，由V三棱锥A-BDE=V三棱锥P-BDE
，
得出点P与点A到平面BDE的距离相等.
三、填空题
13.已知复数
满足
（
为虚数单位），
．则一个以
为根的实系数一元二次方程为________．
【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵复数
满足
∴
，
即∴
，
故
．
若实系数一元二次方程有虚根
，则必有共轭虚根
，
∵
，
，
∴所求的一个一元二次方程可以是
．
故答案为：
【分析】
由
复数??满足??（??为虚数单位）?，利用复数的运算法则可得
，
再利用复数的运算法则可得
，
再利用实数系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出答案。
14.在四边形
中，
，
，
，
，
，
，则对角线
的长为________．
【答案】
【考点】正弦定理，余弦定理
【解析】【解答】在四边形
中，
，
，
，
，
，
，
所以，
、
、
、
四点共圆，
由余弦定理得
，
所以，
，
设
的外接圆半径为
，则
，
，
，故
为圆的直径，所以
．
故答案为：
．
【分析】
直接利用余弦定理和正弦定理的性质，求出结果.
15.欲将一底面半径为
，体积为
的圆锥体模型打磨成一个圆柱体和一个球体相切的模具，如图所示，则打磨成的圆柱体和球体的体积之和的最大值为________
．
【答案】
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设球体半径为r，圆锥高为
由圆锥底面半径为
，体积为
，
所以
，解得
，
所以
为等边三角形，
所以可得
，
，
,
，
圆柱体与球体体积之和
,
化简得
,
，
由
时，解得
，
时，
，
时，
，
时，
，
故答案为：
【分析】
根据轴截面图,求出球的半径,圆柱的高及底面半径，得到组合体的体积公式，利用导数求最值即可.
16.小明计划周六去长沙参加会议，有飞机和火车两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95、0.8，若当天天晴则乘飞机，否则乘火车，天气预报显示当天天晴的概率为0.8.则小明能准时到达的概率为________；若小明当天准时到达，则他是乘火车去的概率为________.（结果保留两位小数）
【答案】
0.92；0.17
【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，条件概率与独立事件
【解析】【解答】记“小明能准时到达”为事件A，“小明乘坐火车去”为事件B，则
，
.
故答案为：0.92，0.17
【分析】
记“小明能准时到达”为事件A,“小明乘坐火车去”为事件B,利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出小明能准时到达的概率，利用条件概率计算公式能求出若小明当天准时到达，则他是乘火车去的概率.
四、解答题
17.已知集合
，
．
（1）若
，求实数m的值；
（2）若
，求实数m的取值范围．
【答案】
（1）解不等式
得
，即
，
解不等式
，得
，即
，
因
，则有
，解得
，
所以实数m的值为2；
（2）由(1)知
，而
，
则有
或
，解得
或
，
所以实数m的取值范围
.
【考点】集合关系中的参数取值问题，交集及其运算
【解析】【分析】
(1)根据一元二次不等式的解法,对A,?B集合中的不等式进行因式分解,从而解出集合A,B,再根据A∩B=[0,?3],求出实数m的值；
(2)由(1)解出的集合A,?B,因为
,根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解.
?
?
18.在
中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知
.
（1）求B；
（2）若
，求sinC的值.
【答案】
（1）解：在
中，由
，可得
，又由
，得
，所以
，得
；
（2）解：由
，可得
，则
.
【考点】两角和与差的正弦公式，正弦定理
【解析】【分析】
（1）利用正弦定理化简,即可求B;
（2）利用三角形内角和定理以及和与差公式即可求出sinC的值.
?
?
19.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝
AB，AF＝
AD，BG＝
BC，设
，
.
（1）用
，
表示
，
；
（2）若EF⊥EG，
，求角A的值.
【答案】
（1）解：由平面向量的线性运算可知
，
（2）解：由题意，因为EF⊥EG，所以
，解得
，
所以
，则可化简上式为
，解得
，又
，故
【考点】向量的线性运算性质及几何意义，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】
（1）根据平面向量的加法（或减法）的三角形法则表示
?，?
；
（2）根据垂直关系得出
?，再根据
?
，计算cosA，从而可得出A的值．
20.如图，在直三棱柱
中，已知
，
．
（1）求四棱锥
的体积；
（2）求二面角
的大小．
【答案】
（1）因为
，三棱柱
是直三棱柱，所以
，从而
是四棱锥
的高
四棱锥
的体积为
（2）如图建立空间直角坐标系
则
，
，
，
，
设AC的中点为M，
，
，
平面
，即
是平面
的一个法向量
设平面
的一个法向量是
，
，
令
，解得
，
设法向量
与
的夹角为
，二面角
的大小为
，显然
为锐角
，
二面角
的大小为
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】
(1)证明
?
,说明
?是四棱锥??的高
,然后求解四棱锥??的体积；
(2)建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出
?是平面??的一个法向量，平面
?
的一个法向量利用向量的数量积求解二面角??的大小
.
?
?
21.2018年1月22日，依照中国文联及中国民间文艺家协会命名中国观音文化之乡的有关规定，中国文联、中国民协正式命名四川省遂宁市为“中国观音文化之乡”.
下表为2014年至2018年观音文化故里某土特产企业的线下销售额（单位：万元）
年份
2014
2015
2016
2017
2018
线下销售额
90
170
210
280
340
为了解“祝福观音、永保平安”活动的支持度.某新闻调查组对40位老年市民和40位年轻市民进行了问卷调查（每位市民从“很支持”和“支持”中任选一种），其中很支持的老年市民有30人，支持的年轻市民有15人.
（1）从以上5年中任选2年，求其销售额均超过200万元的概率；
（2）请根据以上信息列出列联表，并判断能否有85%的把握认为支持程度与年龄有关.
附：，其中
参考数据：
P（K2≥K0）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
K0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】（1）分别记“2014年、2015年、2016年、2017年、2018年”为“”
从以上5年中任选2年，其基本事件为：
，共10种，
其中销售额均超过200万元的有，共3种，
故其概率
（2）根据题意，整理数据得如下2×2列联表：
年轻市民
老年市民
合计
支持
15
10
25
很支持
25
30
55
合计
40
40
80
根据列表可以求得K2的观测值：
??
因为1.455＜2.072?
所以没有85%的把握认为支持程度与年龄有关.
【考点】独立性检验的基本思想，列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】
(1)用列举法求出基本事件数,计算所求的概率值;
(2)根据列联表,计算观测值,对照临界值得出结论.
?
?
22.已知定义域为
的函数
是奇函数，
为指数函数且
的图象过点
.
（1）求
的表达式；
（2）若对任意的
.不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）若方程
恰有2个互异的实数根，求实数
的取值集合.
【答案】
（1）由题意，设
，
因为
过点
，可得
，
解得
，即
，所以
，
又因为
为奇函数，可得
，即
，
解答
，
经检验，符合
，所以
.
（2）由函数
，可得
在
上单调递减，
又因为
为奇函数，
因为
，即
，
所以
，即
，
又因为对任意的
，不等式
恒成立，
令
，即
对任意的
恒成立，
可得
，
即
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
（3）由于
为奇函数，所以由
，
可得
，
又因为
在
上递减，即
，
显然
，所以
，
令
，则
，
又由当
时，
，
当且仅当
时，即
时等号成立；
当
时，
，
当且仅当
时，即
时等号成立，
方程有2个互异实数根，画出
的图象，如图所示，
由图可得，实数
的取值集合为
或
【考点】函数解析式的求解及常用方法，奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】
(1)设
设??(a>0且a≠1)?,代入(2,4)?,解得h(x)?,由奇函数的性质，可得n,检验可得f?(x)的解析式；
(2)判断f?(x)在R上单调递减，原不等式
?
，
即??,
令??
，
即??对任意的??恒成立
，
结合二次函数的图像可得
?
，
解不等式组可得所求范围；
（3）函数的性质，把不等式
?
转化为
?
结合函数的图像，即可求解。
?