2.1等式性质与不等式性质（教案）-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
教学设计
一、教学目标
1.了解不等式（组）的实际背景；
2.了解不等式（组）的基本性质.
二、教学重难点
1.教学重点
用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，初步会比较两个代数式的大小.
2.教学难点
用不等式（组）正确表示出不等关系.
三、教学过程
（一）探究一：不等关系及其表示
教师：
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.
在上述所有的不等号中，要特别注意“≤”“≥”两个符号的含义.如果a,b是两个实数，那么a≥b即为a＞b或a＝b；a≤b即为a＜b或a＝b.
探究二：实数的大小比较
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：
如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b等于0，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a＜b，反过来也对.
这个基本事实可以表示为；；.
从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小.
总结：1.
要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差，这是我们研究不等关系的一个出发点.
2.
差大于0时，被减数不大于减数；差等于0时，被减数等于减数；差小于0时，被减数小于减数.
探究三：一个重要不等式
一般地，，有a?+b?≥2ab
当且仅当a＝b时，等号成立.
事实上，利用完全平方差公式，得a?+b?-2ab=(a-b)?.
因为，(a-b)?
≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以a?+b?-2ab≥0.因此，由两个实数大小关系的基本事实，得a?+b?≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.
探究四：等式的性质
等式有下面的基本性质：
性质1
如果a＝b，那么b＝a；（对称性）
性质2
如果a＝b，b＝c，那么a＝c；（传递性）
性质3
如果a＝b，那么a±c＝b±c；（同加性，同减性）
性质4
如果a＝b，那么ac＝bc；（同乘性）
性质5
如果a＝b，c≠0，那么.（同除性）
探究五：不等式的性质
类比等式的性质1,2，可以猜想不等式有如下性质：
性质1
如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即.
性质2
如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即.
证明：由两个实数大小关系的基本事实知
说明：如果性质2中的两个不等式只有一个带等号，那么等号是传递不过去的.例如：如果
a≥b且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，且b≥c，那么a＞c.如果两个不等式都带有等号，即若a≥b且b≥c，则a≥c，其中a＝c时必须有a＝b且b＝c，否则a＝c不成立.
类比等式的性质3~5，可以猜想不等式还有如下性质：
性质3
如果a＞b，那么a+c＞b+c.
文字语言：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.
性质4
如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.
文字语言：不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向.
性质5
如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d.
事实上，由a＞b和性质3，得a+c＞b+c；由c＞d和性质3，得b+c＞b+d.在根据性质2，即得a+c＞b+d.
性质6
如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
性质7
如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n≥2）.
说明：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.
总结：
性质
性质内容
特别提醒
对称性
传递性
可加性
可乘性
注意c的符号
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
a，b同为正数
可开方性
（二）课堂练习
1.若,则下列不等式中一定成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：对于A，,因为，所以,即,故A错误；
对于B，取,,则,故B错误；
对于C，,因为，所以,即,故C正确；
对于D,,因为，所以,故，故D错误.
2.若,，则下列不等式恒成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：A项，当，时，，所以错误；
B项，当时，，所以错误；
C项，当，时，，所以错误;
D项，因为，，所以，所以正确.
3.已知a,b满足等式,,则x,y的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：,即.故选B.
4.实数a,b,c满足且，则下列关系式成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：因为,所以,所以,
因为,所以,
所以,所以,所以.
（四）小结作业
小结：
1.本节课我们主要学习了哪些内容？
2.不等关系的表示；
3.一个重要的不等式；
4.等式、不等式的性质.
作业：
四、板书设计
2.1等式性质与不等式性质
1不等关系及其表示.
2实数比较大小.
3一个重要不等式.
4等式的性质.
5不等式的性质.