2020年秋人教版七年级数学上册4.3.3 余角和补角教学设计

角（3）
一、内容和内容解析
1．内容
余角、补角概念；余角、补角的性质；方位角．
2．内容解析
余角和补角的内容是在学习了角的度量及角的比较与运算的基础上，对角的数量关系作进一步的探讨．余角和补角的性质在学习对顶角相等、平行线的判定和性质时就要用到，为今后证明角的相等提供了一种依据和方法，在后续内容中有广泛的应用．另外教科书在此已开始对学生提出“简单说理”的要求，这为以后的推理证明作了准备．
对方位角的知识学生在小学就有所了解，但根据题意画出方位角以及运用方位角的知识确定点的位置是学生不熟悉的．方位角的知识在“解直角三角形”等内容中有广泛的应用，也为今后学习平面直角坐标系、极坐标等知识奠定基础．
基于以上分析，本节课教学重点为互余、互补的概念及其性质．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)掌握余角和补角的概念及其性质，会求一个角的余角和补角，能用它们的性质解决相关问题；
(2)认识并理解方位角，能画出方位角所表示方向的射线.
2．目标解析
达成目标(1)的标志：通过余角、补角性质的推导和应用，初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化．初步接触和体会演绎推理的方法和表述，初步体会数学中推理的严谨性．能从图形判断哪些角互为余角或互为补角，培养学生的空间观念，提高学生的抽象概括能力和识图能力；
达成目标(2)的标志：能运用方位角来确定位置，进一步体会数形结合的方法，体会生活中处处有数学．
三、教学问题诊断分析
对推理能力的培养，教科书是分阶段逐步加深地．本节课在推导余角和补角的性质时开始要让学生说点理，要求学生能用数学的语言表达思考过程，不要求严格的推理形式．这是学生刚刚开始接触说理，虽然可以用学生“自己的话”进行说明，但对学生来说也很陌生，因此成为本节课要突破的一个难点．
在理解余角、补角的概念和性质时，学生对由“∠1与∠2互余，∠2与∠3互余”推出“∠1＝∠3”不易理解，即对文字语言“同角的余角相等”与数学语言不能很好的结合与转化．在例3中逆运用了乘法结合律，这一点对个别学生来说也要提前进行复习．
基于以上分析，本节课的教学难点是余角、补角性质的推导和运用．
四、教学过程设计
1．创设情境，引入课题
问题1
请同学们欣赏意大利著名建筑比萨斜塔．
比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次，历经约200年才完工．设计为垂直建造，但是在工程开始后不久由于地基不均匀和土层松软而倾斜．比萨斜塔的底部是石块堆积而成的，如何得到斜塔偏离竖直方向的角度呢？
学生思考讨论：不能直接测量∠2的度数，我们可以把∠1的度数测量出来．
观察∠1和∠3有什么关系？
问题2
如左图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1＝∠2．这个问题可以简单地表示为右图．其中∠EDC＝90°，那么各个角与∠1有什么关系？
学生讨论回答：有的角与∠1的和等于90°，例如(∠ADC)．
有的角与∠1的和等于180°，例如(∠ADF
)．
教师引导学生归纳出互为余角和互为补角的概念：
如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角．
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
教师引导学生观察图形，理解概念．
设计意图：通过实际问题引入互余、互补关系，使得学生更容易理解，体会数学来源于生活，同时培养学生学习新知识的兴趣．
2．理解定义，推导性质
问题3
(1)定义中的“互为”是什么意思？
(2)把下图中∠1与∠ADF分离并多次变换位置，如图，这两角还互为补角吗？
学生分组讨论，并交流答案，教师进行纠正．
设计意图：学生在讨论中辨析：互补与互余只是反映角的数量关系，而不是位置关系．两个角不一定画在一起．同时也培养学生对定义的敏锐的理解能力以及迅速抓住关键词的能力．
练一练
(1)若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2＝
180°
．
(2)
若∠1＝90°－∠2，则∠1与∠2的关系为
互为余角
．
(3)图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
学生练习、交流，教师指导．
设计意图：巩固所学知识，及时查缺补漏，深入理解概念，培养学生用几何语言进行推理的习惯与素养．
问题4
(1)已知∠1与∠2，∠3都互为补角．那么∠2和∠3
的大小有什么关系？
(2)已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补．若∠1＝∠3，那么∠2和∠4相等吗？为什么？
学生分组讨论，教师进行指导，关注学生是否能够用数学的语言表达思考过程．关注学生的参与程度，对一些学生要适时帮助．
设计意图：初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化．初步接触和体会演绎推理的方法和表述，初步体会数学中推理的严谨性．
师生共同归纳：
等角(同角)的补角相等．(对于余角是否也有类似性质？)
等角(同角)的余角相等．
设计意图：培养学生在说理过程中应用几何语言的能力．在总结的过程中体会几何语言的简洁与优美．
练习
(1)若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，则
∠1
＝
∠3
，根据
．
(2)若∠3与∠4互补，∠6与∠5互补，且∠3＝∠6，则
∠4
＝
∠5
，
根据
．
学生思考，口述答案，教师予以纠正．教师应重点关注学生运用数学语言的能力，适时加以引导．
3．例题讲解，应用新知
例3
如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？
分析：从余角的定义出发，本题首先要找到直角，再看这个直角是哪两个锐角的和，即可得一对互余的角．接着根据余角的性质找到与这两个锐角相等的角，就可以找齐所有互余的角．
教师引导学生分析，并板书解答过程.
设计意图：这两个练习和例题都旨在巩固互为补角和互为余角概念，通过从图形中观察出哪两个角互为余角，培养学生的空间观念，进而提高学生的抽象概括能力，识图能力．
方位角简介：有时以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．表示方向的角(方位角)在航行、测绘等工作中经常用到．
教师可以让学生设想以操场上某一个点为基准点，描述学校一些重要位置的方位，体会这种方法的实际作用．
例4
如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D．仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线．
教师引导学生理解方位角的概念，强调：一般总以正南或正北方向作角的始边；分清东、南、西、北，理解偏东、偏西的意义．教师给出画法，由学生自己动手用量角器、直尺画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线．
设计意图：教师给出规范的作图语言，让学生体会几何语言的简洁美，熟悉几种数学语言之间的转化，体会数形结合的思想．
4．强化练习，巩固提高
练习1
判断下列说法是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”．
（1），则∠1是余角．（
）
（2），则∠1，∠2，∠3互为余角．（
）
（3）如果有一个角有补角，那么这个角一定是钝角．（
）
（4）钝角没有余角，但一定有补角．（
）
练习2
填空
（1）70°的余角是
，补角是
；
（2）的余角是
，它的补角是
．
练习3
填写下表
∠α
∠α的余角
∠α的补角
5°
32°
45°
77°
x°
练习4
方向角的表达方式
如图，（1）射线OA表示的方向为
；
（2）射线OB表示的方向为
；
（3）射线OC表示的方向为
；
（4）射线OD表示的方向为
．
5．课堂小结，自我完善
教师关注学生小结出互余、互补只与数量有关，与位置无关．同时关注学生语言表达能力．
6．布置作业
教科书第140页习题4.3第8题，第141页第11、12、13题．
五、目标检测设计
1．如图，∠AOB＝90°，∠COD＝∠EOD＝90°，请说出图中互余的角．
设计意图：检测余角、补角的概念及其性质的掌握情况．
2．如图，下列说法正确的是(
)．
A．射线OA表示东偏北30°
B．射线OB表示北偏西25°
C．射线OC表示南偏西70°
D．射线OD表示东南方向
3．一个角的补角是它的3倍，这个角是多少度？
说明：本课程结合了义务教育教科书数学七年级上册（人民教育出版社）第四章第三节的内容，见教科书第137页至第138页．
1