帮你归纳总结（四十一）：高中新课标数学考前回扣课本----直线与圆部分

帮你归纳总结（四十一）：高中新课标数学考前回扣课本----直线与圆部分
1.直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角：
①定义：当直线与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线向上方向之 间所成的角α叫做直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的 倾斜角为0°　.
②倾斜角的范围为0°≤α＜180°.
(2)直线的斜率：
①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示， 即k＝tanα，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式：
经过两点的直线的斜率公式为k＝.
注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.
如：过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1　　　　B．4　　　　C．1或3　　　　D．1或4
如：已知m≠0，则过点(1，－1)的直线ax＋3my＋2a＝0的斜率为(　　)
A.　　　　B．－　　　 C．3　　　　 D．－3
如：已知a＞0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝__________.
如： 已知α∈，求直线2xcosα＋3y＋1＝0的倾斜角的取值范围．
直线方程⑴点斜式：（存在） ；⑵斜截式： （存在） ；
⑶截距式：当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为
时，直线方程是：；⑷两点式： ⑸一般式：，（A，B不全为0）。（直线的方向向量：（）。
注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若
则不是这条线.
如：直线l过点P(－2,3)，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，若点P恰为AB 的中点，则直线l的方程为(　　)
A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y＋12＝0
C．3x－4y＋20＝0 D．3x＋y－3＝0
如：经过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距分别为a、b，且满足a＝3b的直 线方程为____________________．
3．两条直线的位置关系：
附：（1）∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线. ②在和 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前 提”都会导致结论的错误.
（2）两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有 这里的前提是的斜率都存在. ②，且的斜率不 存在或，且的斜率不存在. （即是垂直的充要条件）
4．直线系
附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点（0，）的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.
5．几个公式
⑴设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC的重心G：（）；
⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：；
⑶两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是；
如：直线过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是(　　)
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
如：已知直线与两直线：2x－y＋3＝0和：2x－y－1＝0的距离相等，则的方 程为__________．
如：若：x＋(1＋m)y＋(m－2)＝0，：mx＋2y＋6＝0的图像是两条平行直线， 则m的值是(　　)
A．m＝1或m＝－2　　　　 B．m＝1
C．m＝－2 D．m的值不存在
如：求经过直线：3x＋2y－1＝0和：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线： 3x－5y＋6＝0的直线的方程．
如：已知点P(2，－1)．
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，
（1）曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的 与一个二元方程的实
数建立了如下关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.；②以这个方程的解为坐 标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.
⑵ 曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关 系，曲线上任一点是方程的解；反过来，满足方程的解所 对应的点是曲线上的点.
注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0
6．圆的方程：⑴标准方程：① ；② 。
注：特殊圆的方程：①与轴相切的圆方程，
②与轴相切的圆方程，
③与轴轴都相切的圆方程，
（2） 圆的一般方程： .
当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.
当时，方程表示一个点.
当时，方程无图形（称虚圆）.
（3）圆的参数方程：（为参数）.
（4）圆的直径方程：已知，
附：方程表示圆的充要条件是：且且
.
7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。
8．圆系：⑴；
注：当时表示两圆交线。
⑵ 。
如：已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＝2　 B．x2＋y2＝ C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
如：若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1
如：方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　)
A．a＜－2或a＞ B．－＜a＜0 C．－2＜a＜0 D．－2＜a＜
如：圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
如：过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
9．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）
①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）
①相切；②相交；③相离。
附：求切点弦方程：切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD
四点共圆. 已知的方程…①
又以ABCD为圆为方程为…②
…③，所以BC的方程即③代②。
⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）
①相离；②外切；③相交；
④内切；⑤内含。
附：若两圆相切，则相减为公切线方程.
附：若两圆相交：设
有两个交点，则其公共弦方程为.
附：若两圆相离，则相减为圆心的连线的中与线 方程.
10．与圆有关的结论：
⑴过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2；
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；
⑵以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0。
如：圆－2x＝0与＋4y＝0的位置关系是(　　)
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
如：若直线ax＋by＝1与圆＝1相交，则P(a，b)与圆的关系为( )
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能
如：过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋＝0相切的直线的方程为(　　)
A．y＝－3x，或y＝x B．y＝3x，或y＝－x
C．y＝－3x，或y＝－x D．y＝3x，或y＝x
如：已知圆x2＋y2＝4.
(1)求过点(－1，)的圆的切线方程；
(2)求过点(1,2)的圆的切线方程；
(3)求斜率为1的圆的切线方程．
如：已知两圆－2x－6y－1＝0和－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
11.与圆有关的最值问题：涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一 般地：①形如μ＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋ by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值 问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题等．
如：已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求y－x的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
12.关于点对称和关于某直线对称：
⑴ 关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.
⑵ 关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到 对称直线距离相等.
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平 分线.
⑶ 点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两 对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.
注：①曲线、直线关于一直线（）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0 关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.
②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0.
如：已知直线l：x＋2y－2＝0.
①求直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；
②求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．
直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注
有斜率
且 不可写成
（验证） 分式
直线方程
平行直线系
垂直直线系
相交直线系
1