4.3.2 函数的极大值和极小值 教案-湘教版数学选修2-2

§4.3.2函数的极大值与极小值（1）
教学设计（湘教版选修2-2）

一．教学目标
(一)知识目标
结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
(二)能力目标
掌握利用导数判别可导函数极值的方法；
(三)情感目标
体验导数知识和数学方法的作用，逐步形成科学地分析、解决问题的能力；
二、教学重点
利用导数判别可导函数极值的方法.
三、教学难点
对极大、极小值概念的理解，对可导函数极值点的必要条件和充分条件的理解.
四、教学过程
（一）引入课题
上节课我们利用导数来研究函数的单调性，这节课我们要利用导数来研究函数的另一种性质——函数的极值.
（二）传授新知
１．我们观察一下两张图象中，点a与点b处的函数值.与它们附近点的函数值有什么关系？
图1 图2
从图1可以看出，点a处的函数值f(a)比点a附近的点的函数值大；而从图2可以看出，点b处的函数值f(b)比点b附近的点的函数值小.
如果是函数y=f(x)在某个开区间（）上的最大值点，即不等式对一切成立，就说函数f(x)在处取到极大值，并称为f(x)的一个极大值点，为f(x)的一个极大值.
如果是函数y=f(x)在某个开区间（）上的最小值点，即不等式对一切成立，就说函数f(x)在处取到极小值，并称为f(x)的一个极小值点，为f(x)的一个极小值.
极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称极值点.
２．观察课本，看出函数在极值点的导数为零.
观察课本，看出如果函数的曲线在局部最高点处有切线，这切线应与x轴平行.同样，如果函数的曲线在局部最低点处有切线，这切线应与x轴平行.换句话说，函数在极值点的导数为零.（这里的前提是函数在极值点有导数）
３．可导函数极值点的导数为0，那么反过来，导数为0的点一定是极值点吗？
举个例子：，＝0，但x=0不是极值点.
y=｜x｜，在x＝0处取到极小值，但不存在.
也就是说若存在，＝0是f(x)在处取到极值的必要条件，但不是充分条件.
通常，若＝0，则叫作函数f(x)的驻点.
４．判别可导函数f(x)极大、极小值的方法
（１）求导数f′(x)；
（２）求f(x)的驻点，即求f′(x)＝0的根；
（３）检查f′(x)在驻点左右的符号，如果在驻点左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个驻点处取得极大值；如果在驻点左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数在这个驻点处取得极小值.
５．几点注意：
（１）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（２）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（３）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，极小值也未必小于极大值.
（４）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
（三）讲解例题
题型一、求函数的极值
例1、用导数法求函数 的极值
随堂训练:
求f（x）＝x２－x－２的极值.

自我挑战：
求函数f(x)＝＋3lnx的极值．
题型二、已知函数的极值求参数取值范围
（四）拓展训练：
已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－时都取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若f(－1)＝，求f(x)的单调区间和极值．
补充：习题1 求函数＝的驻点和极值点.
分析：，的驻点集合是：.
在驻点左右的符号均为正，所以函数没有极值.
2 求函数的极大值和极小值.
分析：
x
(- ,0) 0 (0,2) 2 (2,+ )

—
+
—
g(x) 0
4
故函数g(x)的极小值为g(0)=0, 极大值为g(2)=4.
（五）课堂小结
本节课学习了函数在某点取得极值的必要条件和充分条件以及利用导数求可导函数的极值的步骤. 注意极大、极小值与最大、最小值的区别.
五、布置作业
P45练习1（1）（2）（3）（4）