4.3.2 函数的极大值和极小值 教案-湘教版数学选修2-2

函数的极值与导数
一．教材分析
本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材1.3.2 函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学 、物理中都有所涉及可见它的重要性.
二．教学目标
1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质；
2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件；
3. 会用导数求函数的极值；
4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力；
5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用三．重点与难点
重点：会用导数求函数的极值．
难点：导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解.
四．学情分析
基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数．
五．教具教法
多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学
六．学法分析
借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤．
七．教学过程
<一>、创设情景，导入新课
【问题情景】我们学过毛泽东的诗《清平乐·六盘山》，请同学们一起背诵。
[生]：背诵《清平乐·六盘山》：天高云淡，望断南飞雁。不到长城非好汉，屈指行程二万。六盘山上高峰，红旗漫卷西风，今日长缨在手，何时缚住苍龙？
[师]：这首诗是大家熟悉的毛主席翻越六盘山时的咏怀之作，生活在六盘山脚下的我们，更为熟悉它的连绵起伏，形成许多的山峰与山谷，函数图象在上升下降的转折点处形成“峰”与“谷”，这就是数学上研究的函数的极值，从而引出课题．
【设计意图】从毛泽东的诗《清平乐·六盘山》出发，结合学生熟悉的六盘山来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么．
<二>、探索研讨
【问题1】 “山峰”顶端的高度与其附近的高度有什么关系？“山峰”从左到右有什么样的变化趋势？如何用导数描述它的这种变化趋势？
【问题2】观察下图，表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题
（1）函数在点 t=a处 的函数值与这点附近的函数值有什么关系?
（2） 函数h(t)在t=a处的导数是多少？
（3）函数h(t) 在点 t=a 处的左右有什么样的变化趋势？ 如何用导数描述函数的变化趋势？
共同归纳: 函数在点t=a处的函数值h(a)比它附近的函数值都大。函数h(t)在a点处h/(a)=0。当t＜a时,函数单调递增, ＞0;当t＞a时,函数单调递减, ＜0。
【问题3】观察函数图象，回答下列问题。
a

（1）函数y=f(x)在点 a 处的函数值与它 附近点的函数值有什么关系?
（2）函数y=f(x)在点a处的导数值是多少?
（3）函数图象在点a处的左右有什么样的变化趋势？ 如何用导数描述函数的变化趋势？
[生]：观察分析后发表自己的见解．
[师]：总结后给出函数极大值的定义并要求学生类比极小值给出极大值的定义．
【极值定义】
[生]：极大值定义：函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都大, f′(a)=0 ，且在点x=a附近的左侧f′(x）>0,右侧f′ (x)<0，我们就说f(a)是函数y=f(x)的一个极大值.点a叫做极大值点．
【思考】请同学们类比极大值的定义，给出极小值的定义。
[生]：极小值的定义：函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其它点的函数值都小, f′(a)=0 ，且在点x=a附近的左侧f′(x）>0,右侧f′ (x)<0，我们就说f(a)是函数y=f(x)的一个极大值.点a叫做极大值点．类比得出极大值的定义．
[师]：极小值点、极大值点统称为极值点，极小值、极大值统称为极值；强调极值点是横坐标，极值是纵坐标．
【设计意图】使学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程，了解极值点和极值的概念．
【牛刀小试】指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.哪些是极大值，哪些是极小值？ 思考：极大值一定大于极小值吗？
[生]：学生抢答；互评．
[师]：1、极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. 2、极值是一个局部的性质，在其定义域内可能有多个极值点 ．
【设计意图】使学生知道极值刻画的是函数的局部性质，进一步了解极值点和极值的概念．
<三>、讲解例题
例4．求函数的极值.
[师]：板演解题过程
解:∵∴=x2-4=(x-2)(x+2)
令=0,解得x=2,或x=-2.
当＞0,即x＞2,或x＜-2时;
当＜0,即-2＜x＜2时.
当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
+
0
_
0
+
f(x)
单调递增
单调递减
单调递增
因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)= ;当x=2时,f(x)有极
小值,且极小值为f(2)=
[生]：教师板演师生共同完成后让学生总结用导数求极值的步骤：
（1）确定定义域并求导；
（2）令f’(x)=0并求出方程的根；
（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格
（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况
[师]：教师利用作图软件做出函数图象如下，通过设计蒙层的方法，达到学生眼见为实的效果．
【设计意图】 通过对典型例题的板演，让学生明确求极值的方法与步骤，突出本节课的重点，培养学生规范的表达能力．
【课堂探究】导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
[生]：学生分组完成课堂探究，并选派代表回答问题，进而突破教学难点：导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解.
<四>、课堂练习
【巩固练习1】观察下图并回答问题
如图是函数y=f(x)的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？
如果把函数图象改为导函数 y=f′(x)的图象?
[生]：思考后抢答；互评．
[师]：点拨；总评．
【设计意图】 通过此问题使学生会从原函数及导函数的图象判断极值点，进一步理解导数值为0的点不一定是函数的极值点（如）．
【巩固练习2】求函数 f(x)=3x-x3 的极值
学生独立完成后展示（电子展台）互相评价
【设计意图】学生通过练习反馈所学知识及规范表达能力，突出本节课的重点.
<五>、课堂小结:
[师问生答，师生共同回忆]
一、极值的概念
二、用导数法求极值的步骤
（1）确定定义域并求导；
（2）令f’(x)=0并求出方程的根；
（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格
（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况
三、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极值
<六>、作业 课本32页A组题4、5
<七>．板书设计
课题：函数的极值与导数
1．极值
2．导数法求极值步骤
（1）确定定义域并求导；
（2）令f’(x)=0并求出方程的根；
（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格
（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况
投影
例4：
……………………
【设计意图】给同学们留下深刻的印象，帮助学生构建清晰的知识体系．
教学反思:
本节的教学内容是函数的极值, 从毛泽东的诗《清平乐·六盘山》出发，结合学生熟悉的六盘山来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么．借助函数图形的直观性探索归纳出函数的极值定义,利用定义求函数的极值.教学反馈中主要是书写格式存在着问题.为了统一要求主张用列表的方式表示 ,学生体会到列表方式的简便,同时为能够快速判断导数的正负.本节课的难点是函数在某点取得极值的必要条件与充分条件,让学生采取了小组讨论的方式突破难点.在解答过程中学生还暴露出对复杂函数的求导的准确率比较底,以及求函数的极值的过程板书仍不规范,看样子这些方面还要不断加强训练.